线性代数补考模拟卷答案.docx
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线性代数补考模拟卷答案
《线性代数一》2010年下半年补考模拟题答案
、填空题(每小题3分,共18分)
解:
考察知识点:
行列式性质,包括最常见的初等变换(初等行变换3种,哪3
种?
对行列式变化有何影响?
)
x
y
x+y
⑴
2(x+y)
2(x+y)
2(x+y)
'八⑵
1
1
1
y
x+y
x
=
y
x+y
x=2(x+y)
y
x+y
x
x+y
x
y
x+y
x
y
x+y
x
y
其中:
(1)将第二、三行加到第一行;
(2)提出第一行的公因子;
分别加到第三行和第四行。
(3)将第一行依次乘以-y,-(x+y),
注意:
行列式的性质非常重要,一定要熟练掌握,灵活应用。
2.排列123456789的逆序数为0.
解:
一定要理解记住逆序数的定义。
按顺序来,从第一个元素到最后一个元素,都拿它与后面的元素进行比较,结果进行累计。
第一个元素为1,后面的元素均比它大,故有0个逆序;
第二个元素为2,后面的元素都比它大,同样有0个逆序;
依此类推。
。
。
。
得出每个元素,与其后面的元素进行比较,都没有逆序出现,故逆序数为
0+0++0=0
3.已知向量:
1二4,2,1,:
2=(0,1,6),:
3=(8,9,-10),
贝y-2--2.(「2叮)〉2=
解:
考察向量的四则运算
r8、s-2口2+(口2叮)口2=(4,2,1)-2(0,1,6)+((0,1,6)9)(0,1,6)
厂10丿
二4,0,-11(一51)(0,1,6)
-.4,0,-11-(0,51,306)=(4,-51,-317)
沁『01)(-15)口
4•设A=,8=,贝V
J0丿<310丿
AB=;A2」1=。
(其中n为自然数)。
解:
考察矩阵间的乘积运算和幕运算。
直接根据定义计算即可
(310、
AB=,
厂15丿
在求幕方时,由于指数是抽象的,所以必须找出规律,
因为A==I2为单位矩阵,则由单位矩阵性质知对P矩阵P,则PI=p
<01丿
二A3=A,A4=A2=1……
所以,得出规律当幕指数为偶数时,则结果其实就是单位矩阵,当为奇数时,结
<01
果就是A本身,故A2n+=0'.
J0丿
5.设n阶矩阵A非奇异(n一2),A*是A的伴随矩阵,贝U(A*)*
解:
A*=AAl
(A*)*=AA4(AAj)4
=(A)n
若这样看起来比较复杂,则可以令A=AA=B
***_4jI—4
(A)=B=BB=|AA(AA)
则有:
结果其实是一样的,只是看起来容易理解一点
6•设1,2,……,s是非齐次线性方程组Ax二b的解,ki1k2kss也是
Ax=b的解,则k1,k2,ks应满足的关系为k1k^J|lk^。
解:
由题目条件得有Aq=b,i=s,要使得kjj+k?
—十…+ks^s也是解则
应该有:
A(kiik2kss^b,而我们知,
A(K1k22川kss)=kiA1k?
A2…ksAs=(Kk2HIks)b二b
因此,要求k1k^J11ks=1
二、选择题(每小题3分,共27分)
kk+2
1.式0的充分必要条件是(C)。
k+32k+10
A、k-1B、k--6C、k--6且k=1D、k--6或k--1
=k=-6且k=1,选C
2•设代B,AB以及A」-B」均为n阶可逆矩阵,则(A,-B,)‘等于(C)
A、A,B,B、ABC、A(AB)^BD、(AB)」
解:
考察矩阵的逆运算。
A的逆必须满足AA」二a'*A=I,(Aj'-A。
选项A中,(A‘•BJ)(A4Bj^(A4B’)2不会恒等于I;
选项B中(AB)(A4B‘)=aABA4AB,BB‘=21BA,AB‘,不恒
等于I;同理运算D,不是答案;选项C中,设A(A-B)4B的逆为P,要证P即为A’B^,
(A(AB)_B)P=1=(AB),BP二A*:
BP=(AB)A,
二P=B^(AB)A4=B"*AA4B^BA^-B4A斗
二(A(AB)4B)(A"B"*^I,即(A‘B*)‘为A(AB)^B,选C
3.设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=1,其中I是n阶单位矩阵,则必有(D)。
A、ACB=1B、CBA=IC、BAC=ID、BCA=I
解:
同样考察矩阵,包括逆矩阵、矩阵乘积等运算。
由于ABC=1,—般我们
有ppi=p」p=I,因此题目我们可以得出有以下两种结果:
(AB)C=C(AB)=1
A(BC)=(BC)A=1
将与之四个选项对比,明显选D。
4.已知P,Q为n阶正交矩阵,则下列为错误的是(A)
A、|Q|=1B、PQ也为正交矩阵
CqThQ”d、|Q|
解:
考察正交矩阵的性质,看教材P188:
由性质1和正交矩阵行列式值有两种可能,1或-1,故A错;
由性质3知PQ也为正交矩阵,故B正确;
由性质2知QT,而我们知|Q|=|Q十,因此C项与D项均正确,答案
选Ao
5.下列所指明的各向量组中,(B)中的向量组是线性无关的
A.向量组中含有零向量
B.任何一个向量都不能被其余向量线性表出
C.存在一个向量可以被其余向量线性表出
D.向量组的向量个数大于向量的维数
解:
考察线性相关和无关的性质。
首先,零向量与任何向量都是线性相关的,因此线性无关的向理组中不可能有零向量,A错;
定理3.7,教材P132,向量组线性相关充要条件是其中至少有一个向量是其余向
量的线性组合,即至少有一个向量可以由其余向量线性表出(见P124定义3.5),其逆否定题为:
任何一个向量都不能被其余向量线性表出则是线性无关,B正确;C中是使得定理3.5线性相关成立的条件,故错误;
D中,向量组的维数即等于向量组的秩,即是其极大无关组所含向量的个数,若向量组的向量个数大于向量的维数,说明极大无关组不是向量组本身,而只是其子集,说明向量组线性相关,D错误,选择Bo
6.下列叙述中,错误的有(C)
A、若向量、丄与卩正交,则对于任意实数a,b,a与b-也正交
B若向量:
与向量r,2都正交,贝U:
与r,〉2的任一线性组合也正交
C若向量、£与「■正交,则、<一与『■中至少有一个零向量
D若向量:
-与任意同维向量正交,则:
-是零向量
解:
对于A,因:
=0,则(aT)(b-)=ab(「TJ=0
对于B,因=0,:
T〜0,贝u(kv1Tk2:
T)1=k*i-k2:
J二KOk20=0
对于C,设=(1,0)T,~(0,1)T,则:
【=0,但是:
•与[均为非零向量,C错。
对于D,设G=(Xi,X2,…,Xn)T,可=(1,0,0,…,0)T,则a'i=Xi=0,同理可证
x2=X3二…二xn=0,故、;是零向量。
选Co
7.设A,B为n阶矩阵,且代B相似,则以下错误的是(C
A、r(A)=r(B);B、A=B;
C、A,B有相同的特征向量;
DA,B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。
解:
考察相似的定义及相关性质,教材P117
相似矩阵有相同的特征多项式,有相同的特征值,有相同的秩,有相同的行列式值,但不一定有相同的特征向量,因此,明显选Co
8.若A是mn矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的导出组,则下列结论正确的是(D
A、若Ax=0仅有零解,则Ax=b有惟一解;
B、若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多个解;
C、若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0仅有零解;
D若Ax=b有无穷多个解,则Ax=0有非零解。
解:
考察Ax=0与Ax=b之间的关系,请参看教材第三章第五节。
同时要注意到Ax二0有解时,Ax二b未必有解.
因为Ax二b解的形式为:
一个特解+Ax=0的基础解系,当然它也可以无解;
若Ax=0仅有零解,等价于Ax=0只有唯一解,即基础解系就为零,因此
Ax=b要么无解,要么解的形式:
一个特解+0(即唯一解),因此A错;
若Ax=O有非零解,即基础解系不等于0,则Ax=b要么无解,要么解的形式:
一个特解+Ax=0的非零基础解系,即有无穷多解,因此B错;
反过来,若Ax=b有无穷多个解,则解的形式必为:
一个特解+Ax=0的非零基
9.设向量组:
-1
础解系,因此Ax=0有非零解,故C错,选D。
二2=(-1,1,一1,3),:
3=(5,-2,8,-9),:
4=(一1,3,1,8),则其极大
线性无关组为(
〉1宀,〉3
A〉1,〉2,〉3,>4
>1,
其中:
倍加到第三行,第一行的(-1)
(1)将第一行的(-1)倍加到第二行,第一行的(-3)倍加到第四行;
(2)
(3)
(4)
(5)
将第二行的(-1)倍加到第三行,第一行的(-2)倍加到第四行;互换第三行和第四行;
将第二行除以2;
将第三行加到第一行;第三行的(-2)倍加到第二行;第二行加到第一行;
由于矩阵的初等变换不改变其列向量的线性关系,故得该向量组有两个极大线性无关组,分别为冷,〉2,〉4或冷,
(实际上,上式只需化简到
(2)后面的矩阵(记为B)即可.对矩阵B,通过观察可知.)
因此,只有选项C符合答案,故选C。
1
0
0..
1..
.0$
.0
b2
三、(8分)计算行列式:
+
+
¥
¥
k
f
■4
4
0
0..
1
bn
01...0
第二行乘以(-a2)加到最后一行亠--
2<4.I.・
依此类推,作如下的初等行变换
第三行乘以(-a3)加到最后一行
第四行乘以(-a4)加到最后一行
第n行乘以(-an)加到最后一行
1
0.
..0
b1
0
+
1.
■i
..0
h
b2
i
+
0
0.
I-
..1
R
bn
0
0.
..0
-玄初-a?
b2-...
…
二-曲-妙2-……-anbn
n
二-'Qb
i&
a〔a?
・・・an0
1
0.
.0
bi
1
0.
.0
bi
0
1.
.0
b2
0
1.
.0
b2
亠
>
■1
第一行乘以(-a.)加到最后一行
-
■
■
-
+
+
+
+
1
I-
:
l
Jj
h
r
卜h
b
F
l!
I-
0
0.
1
bn
0
0.
1
bn
a1
a?
an
0
0
a?
an
-a1b1
解:
考察行列式的计算,期间最多用到的就是初等行变换的性质。
10...0b1
b2
4
4
解:
C二A」(ABA—B‘)二A’ABA—A’B」
r1
2
-2、
广2
-2
0、
r_2
4
-4、
BA=
2
-1
0
-2
1
-2
=:
6
-5
2
<-2
0
1>
<0
-2
°」
V4
2
°」
因此,要先求
BA
1
4
则(BA|I)
一5
1.;
第一行乘以3加到第二行
-10
第一行乘以兰加到第三行T0
-6
第二行乘以*6加到第三行
7
T
-2
一4
-10
第三行乘-7
4
第三行乘以10加到第二行
第二行除以7
-4
-1
-2
-1
-3
-6
-7
-2
1
第一行除以-2
-1
-1
-2
3
2
-1
-1
-2
3
广-2
C=BA-(BA)」=6
4
2
-5
-2
3
"2
5
2
9
2
7
4」
五、(10分)已知向量组二1,1,1「2二1,2,3,:
匕二1,3,k.
(1)试求k为何值时,向量组S,—,:
、线性相关?
(2)试求k为何值时,向量组S,—,:
、线性无关?
⑶当向量组〉1」2」3线性相关时,将:
3表示为:
1和〉2的线性组合。
解:
设有数组k1,k2,k3,使得匕:
j•k2>2•k3:
•3=0
写成方程组即等价于:
k1k2k3=0
k12k23k3=0
k13k2亠kk3=0
则以X=k2为未知量的齐次线性方程组,其系数矩阵的行列为:
111 D=123=k-5, 13k (1)k=5=D=0,则方程组不是仅有唯一解,即有非零解,因此向量组 〉1,〉2,>3线性相关 (2)当k式5=DH0,则齐次线性方程组有唯一解,此解必为零解,即X=k2 =0 © 此时,向量组〉1,〉2,〉3线性无关 (3) 当k=5时,向量组线性相关,贝U系数矩阵的秩小于3,为 因此有以下方程成立: «讥=0 k22k^0 则可取k3为自由未知量,取k3=1,则有k^-2,k^1 因此即: 冷-2〉2比3=0 因此将--3表示为r和■2的线性组合为: >3-22 为+X2+X3+X4+X5=1 六、(12分)已知线性方程组 X2—X3+2X4—X5=1 2x! 3x2x34x4花=3 3x15x2x37x4x5=5 求: (1)对应齐次方程组的基础解系; (2)该方程组的通解。 解: 对方程组的增广矩阵作初等变换,具体过程如下: 广1 0 1 1 1 -1 1 2 1 -1 1、 1 第一行乘以/加到第三行第一行乘以-3加到第四行 <1 0 1 1 1 -1 1 2 1 -1 1' 1 (A|b)= > 2 3 1 4 1 3 0 1 -1 2 -1 1 0 5 1 7 1 5丿 <0 2 -2 4 -2 2丿 (1 1 1 1 1 1' 第二行乘以第二行乘以 -1加到第三行 -2加到第四行 0 1 -1 2 -1 1 ■、 0 0 0 0 0 0 <0 0 0 0 0 0> n 0 2 第二行乘以-1加到第一行 0 1 7 0 0 0 e 0 0 -120 2-11 000 0007 (1)从而得出对于齐次方程组AX=0来讲,有 X1二-2x3x^2x5 X2*_2X4X5 严+2X3—X4+2X5=0 X2-X32人-X^0 两个等式,五个未知量,故让X3,X4,X5为自由变量,故为求基础解系,分别令 从而求得基础解系: ZX1' 2' ,Z-2X X2 1 -2 1 X1= X3 — 1 X2= 0 0 X4 0 1 0 1°丿 3丿 J丿 故齐次线性方程组解的形式为 (2)要求得线性方程组的解,需先求一个特解,我们由 '102-120A 01-12-11 000000 卫00000? 令自由变量X3,X4,X5都等于零,则可以得一个特解为: 从而方程组的通解为: 「-2、 X2 1 1 -2 1 X3 =X°+必8X2+C3X3= 0 1 +C2 0 +C3 0 X4 0 0 1 0 1。 」 X 第二步: 再求特征向量: 当=--1时,解齐次线性方程组(-I-A)x=0,得到基础解系为 X1=(1,—2,0)T,X2=(1,0,—1)T X3=(2,1,2)T 当3=8时,基础解系为X3=(2,1,2)t将其单位正交化得: 宀対灯 1 「5 2 _4_ 45 2 45 5 45 2 3 3 2 3」 ,则QTQ=I,即Q是正交矩阵,而且 -1 Q4AQ=QTAQ= -1 8」 第三行乘以4加到第一行> -1 324" 七、(15分)已知A=202 宀23」 (1)求非奇异矩阵P,使P^AP为对角矩阵• (2)求正交矩阵Q,使Q’AQ二QTAQ为对角矩阵 解: (1)第一步: 先求特征根: 九—3—2-4 丸I—A=—2丸一2=(丸+1)(兀一8)=0 —4—2丸—3 故A的特征值为,1-,2「-1,'3=8
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