一次函数与反比例函数综合题型.docx
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一次函数与反比例函数综合题型
一次函数与反比例函数综合题型:
专题1
1k
1、.(2010济宁)如图,正比例函数y^x的图象与反比例函数y—(k0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,已知OAM的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点
(点B与点A不重合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PAPB最小.
42m,
(x0)的图象于点A、B,
x
24.(2011聊城)如图,已知一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y
交x轴于点C.
(1)求m的取值范围;
(2)若点A的坐标是(2,-4),且器=《,求m的值和一次函数的解析式.
AB3
3、.(2010年枣庄市)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=~的图象交于A、B两点,与xx
1
轴父于点C,与y轴父于点D,已知OA=寸0,点B的坐标为(m,-2),tan/AOC=1.
3
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求一次函数的解析式;
(3)在y轴上存在一点P,使^PDC与^CDO相似,求P点的坐标.
(1)
求一次函数与反比例函数的解析式;
4、(2011?
临沂)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=#的图象相较于A(2,3),B(-3,n)两点.
(2)
根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>号的解集;
5、2010年烟台市18、如图,在平面直角坐标系中,点。
为原点,菱形OABQ勺对角线OB在x轴上,顶点A
的图像上,则菱形的面积为
在反比例函数y=
0
k2
6、(2011?
泰安)如图,一次函数y=kix+b的图象经过A(0,-2),B(1,0)两点,与反比例函数V=二
的图象在第一象限内的交点为M若^OBM的面积为2.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)在x轴上是否存在点P,使AMMP若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
7.(德州市2010年)
2
x
1x
2
•••B为(1,2)
•探究
(1)在图1中,已知线段AB,CD,其中点分别为E,F.
1若A(-1,0),B(3,0),贝UE点坐标为;
2若C(-2,2),D(-2,-1),贝UF点坐标为;
⑵在图2中,已知线段AB的端点坐标为A(a,b),B(c,d),求出图中AB中点D的坐标(用含a,b,c,d的
代数式表示),并给出求解过程.
•归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置,
当其端点坐标为A(a,b),B(c,d),AB中点为D(x,y)时,
x=,y=.(不必证明)
•运用在图2中,一次函数yx2与反比例函数
yE的图象交点为A,B.
x
1求出交点A,B的坐标;
2若以A,O,B,P为顶点的四边形是平行四边形,
请利用上面的结论求出顶点P的坐标.
一次函数与反比例函数综合题型:
专题1
答案:
k
1、(2010济丁.)解:
(1)设A点的坐标为(a,b),则b—.•'•abk.
-—ab1"•—k1.二k2.
22
2
反比例函数的解析式为y-.3分
口x2,……
得••-A为(2,1)
y1.
设A点关于x轴的对称点为C,则C点的坐标为(2,1)
令直线BC的解析式为ymxn.
2mn,m3,
•••
12mn.n5.
BC的解析式为y3x5.
当y0时,x5..・.P点为(5,0).7分
33
2、(2011聊城24.)解:
(1)因为反比例函数y—(x0)的图象在第四象限,
所以42m0,解得m2.
(2)因为点A(2,4)在函数
所以4^刃,解得m
2
过点A、B分别作AM±OC
所以ZBNC=/AMC=90°.
又因为ZBCN=ZACM,所以△BCNACM,所以
因为殷1,所-以竺
AB4AC因为AM=4,所以BN=1.所以点B的纵坐标是1.
因为点B在反比例函数y
所以点B的坐标是(8.1)
因为一次函数ykxb的I
42m,r
/图象上,
x
6.
于点M,BN±OC于点N,
BNBC
.
AMAC
1BN1
—,即.
4AM4
8的图象上,所以当yx
A(2,4)、B(8,
1时,x8.
1).
2kb
8kb
4…
,解得
1
~,,一,,,_,一,-1
所以一次函数的解析式是y」x5.
2
3、(2010年枣庄市)
(1)过点A作AE±x轴,垂足为
-_1_
QtanAOEOE3AE.
3
QOA.10,OE2AE210,
AE1,OE3.
点A的坐标为(3,1).2分
QA点在双曲线上,1—,k3.
3
双曲线的解析式岂3
为y—.
x
3
(2)Q点B(m,2)在双曲线y-±,
x
点B的坐标
3ab1,
3
-ab2
2
b1.
一次函数的解析式
2
(3)C,D两点在直线y—x1上,
3
C,D的坐标分别是C-,0,D(0,1).
2
—3一』-
OCOD1,DC
2
过点C作CPAB,垂足为点C.
QAPDC^ACDO,
PDDC—
————,PD
DCOD
DC213
OD4
-139
又OPDPOD—1—,44
P点坐标为0,'-10分
4
4、(2011?
临沂)考点:
反比例函数与一次函数的交点问题。
分析:
(1)由一次函数y=kx+b与反比例函数y=m的图象相较于A(2,3),B(-3,n)两
比例函数的解析式,则可求得B点的坐标,然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式;
(2)根据图象,观察即可求得答案;
(3)因为以BC为底,贝UBC边上的高为3+2=5,所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案.
解答:
解:
(1)点A(2,3)在y号的图象上,
首先求得反
•■-m=6
.,•反比例函数的解析式为:
v主,
A(2,3),B(-3,-2)两点在y=kx+b上,
[3=2fc+&
解得"?
!
,
lb=l
.••一次函数的解析式为:
y=x+1;
(2)-3vxv0或x>2;
(3)以BC为底,贝UBC边上的高为3+2=5,•Saabc^-X2X5=5.
点评:
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.注意待定系数法的应用是解题的关键
5、考点:
反比例函数与一次函数的交点问题。
专题:
探究型。
分析:
(1)根据一次函数y=kix+b的图象经过A(0,-2),B(1,0)可得到关于b、ki的方程组,进而可
得到一次函数的解析式,设M(mn)作MtXx轴于点D,由^OBM的面积为2可求出n的值,将M(m4)
代入y=2x-2求出m的值,由M(3,4)在双曲线y———上即可求出k2的值,进而求出其反比例函数的x
解析式;
(2)过点M(3,4)作M0AM交x轴于点P,由MIXBP可求出/PMD=MBD=ABQ再由锐角三角函数的定义可得出OP的值,进而可得出结论.
解答:
(1)直线y=kix+b过A(0,-2),B(1,0)两点
-2
应]+6=。
&=2
已知函数的表达式为y=2x-2.(3分)
.••设M(mn)作MUx轴于点D
S△obm=2,
.W2,
••-'!
二
•■-n=4(5分)
.••将M(m4)代入y=2x-2得4=2m-2,
m=3
M(3,4)在双曲线y———上,
1一
k2=12
12
.,•反比例函数的表达式为一
x
(2)过点M(3,4)作M0AM交x轴于点P,
.MDLBP,
PMD=MBD=ABO
必—2…八、
..tanZPMD=ta此MBD=ta此ABO=而—f=2(8分)
..在Rt△PDM中,曲J—£,
..PD=2MD=8..OP=OD+PD=11
..•在x轴上存在点P,使P机AM此时点P的坐标为(11,0)(10分)
点评:
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题,涉及到的知识点为用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义,熟知以上知识是解答此题的关键
6
(2010年烟台市)4
7
(德州市2010年)解:
探究
(1)①(1,
B,贝UAA//BB//CC.
•,•即交点的坐标为
A(-1,-3),B(3,1).
AD=D
••OD=a
②以AB为对角线时,
由上面的结论知AB中点M的坐标为(1,-1).
•.•平行四边形对角线互相平分,
•••OM=OP,即M为OP的中点.
P点坐标为(2,-2).9分
同理可得分别以OA,OB为对角线时,
点P坐标分别为(4,4),(-4,-4).
满足条件的点P有三个,坐标分别是(2,-2),(4,4),(-4,-4).------10分
分类全集反比例2
1.如图,一次函数ykxb的图象经过第一、二、三象限,且与反比例函数图象相交于A,B两点,与
y轴交于点C,与x轴交于点D,OBJ5.且点B横坐标是点B纵坐标的2倍.
(1)求反比例函数的解析式ym;
x
(2)设点A横坐标为n,
△ABO面积为S,求S与n的函数关系式,并求出自变量的取值范围.
△AOD;△BO眺
(3)求方程kxbm0的解(请直接写出答案);
x
(4)求不等式kxbm0的解集(请直接写出答案)
x
2.(2010.十堰)(本小题满分8分)如图所示,直线AB与反比例函数图像相交于A,B两点,已知A(1,4).
(1)求反比例函数的解析式;
k
解:
(1)设反比例函数解析式为y=k,
x
•••点A(1,4)在反比例函数的图象上
•■-4=k,•,.k=4,反比例函数的解析式为y=—.
1x
(2)设直线AB的解析式为y=ax+b(a>0,b>0),则当x=1时,a+b=4即b=4—a.
4
y
联立
x,碍ax2+bx—4=0,即ax2+(4—a)x—4=0,yaxb
4
方法1:
(x—1)(ax+4)=0,解碍x〔=1或x=——,
a
设直线AB交y轴于点C,则C(0,b),即C(0,4-a)
1415.一
a)1—04a)——,整理得
2a2
1,
由SaaoB=Saaoc+SaBOC=
2*4
a2+15a—16=0,..a=1或a=—16(舍去)b=4-1=3
直线AB的解析式为y=x+3
115
方法2:
由,△AOB=2|OC|-|x2-xi|="2"
4a4a4,、
4g;—)=1|=——(a>0),
|OC|=b=4—a,可得一(4a)()
2a
15…,、…
—,解碍a=1或a=-16(舍去).
2
aaa
4,
115
OC|yB|=—X5X—=—
224
(二)资料
3.(较好)如图一次函数ykxb的图象与反比例函数
n)
(1)求此一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求^AOB的面积.
解:
1
孚aoc=mOC|yA|=~X5>2=5,Saboc=—
---515
孚AOB=Saaoc—Saboc=5—=——
44
9.(本题满分7分)如图14,已知A(4,n),B(2,4)是一次函数ykxb的图象和
反比例函数ym的图象的两个交点.
X
求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
⑶求方程kxb—0的解(请直接写出答案);
X
(4)求不等式kxb—0的解集(请直接写出答案)
X
解:
(1)QB(2,4)在函数
m8.
反比例函数的解析式为:
Q点A(4,n)在函数y-的图象上
x
A(4,2)2分
Qykxb经过A(4,2),B(2,4),
4kb2
2kb4
解之得
k1
b2
一次函数的解析式为:
yx2
(2)QC是直线AB与x轴的交点
当y0时,x2
点C(2,0)
OC2
11
-2224
22
65分
(3)xi4,x226分
(4)4x0或x2
...一.一k..
7.(9分)如图,点A是反比例函数y—的图象与一次函数y=x+k的图象的一个交点,AC
点C,AD垂直y轴于点D,且矩形OCAD的面积为2.
垂直x轴于
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求这两个函数图象的另一个交点B的坐标;
(3)求^AOB的面积S(点O为坐标原点).
1.如图,直线ymx与双曲线y
—父于点A
x
B.过点A作AMx轴,垂足为点M,
Saabm1,则k的值是()
A.1B.m1
C.2D.m
-…一,一~一4,…
2.如图,正比例函数ykx(k0)与反比例函数y—的图
x
象相交于AC两点,过点A作x轴的垂线交x轴于点B,
连接BC,则△ABC的面积等于()
A.2B.4C.6D.8
4.如图,一次函数ykxb的图象与反比例函数ym的图象交于点A(-2,-5),x
C(5,n),交y轴于点B,交x轴于点D.
(1)求反比例函数ym和一次函数ykx
x
(2)连接OA,OC.求^AOC的面积.
解:
(1)••-反比例函数ym的图象经过点A(-2,-5),x
m=(-2)x(-5)=10.
反比例函数的表达式为y
10
x
•••点C(5,n)在反比例函数的图象上,
10c
n—2.
5
C的坐标为(5,2).
一次函数的图象经过点
52kb,
cu卜解得
25kb.
A,
k
C,将这两个点的坐标代入ykxb,得
1,
3.
所求一次函数的表达式为y=x-3.6分
⑵一次函数y=x-3的图像交y轴于点B,
B点坐标为(0,-3).7分
OB=3.
-亍的图象的交点.
专题:
几何图形问题;数形结合。
分析:
(1)A(4,a),B(-2,-4)两点在反比例函数y=-竺■的图象上,则由m=xy,得4a=(-2)XJi-
(-4)=m,可求a、m的值,再将A、B两点坐标代入y=kx+b中求k、b的值即可;
(2)设直线AB交y轴于C点,由直线AB的解析式求C点坐标,根据Sz\aob=Saaoc+Sz\boc求面积.
..m•一
解答:
解:
(1)将A(4,a),B(-2,-4)两点坐标代入y=-中,碍4a=(-2)※(-4)=m,
4k+b=2
-2k+b=-4'解得
解得a=2,m=8,
将A(4,2),B(-2,-4)代入y=kx+b中,得
反比例函数解析式为y=《,一次函数的解祈式为y=x-2;
(2)设直线AB交y轴于C点,
由直线AB的解析式y=x-2得C(0,-2),
八八八11、…八
--SaAOB=SaAOC+SaBOC=f>2X4%>2X2=6.
点评:
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式.运用数形结合的方法求图形的面积,做此类题要根据图形的特点,将所求三角
、B(2,n)两点,且与x轴交于
点C
(1)
(2)
(3)
6.如图11,一次函数yaxb的图象与反比例函数的图象交于A(-4,2)
试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;
求^AOB勺面积;
根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围。
2.如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=k〔x+b的图象与反比例函数y
m)两点。
(1)求一次函数的解析式;
k2
——的图象父于A(1,4)、B(3,x
⑵求△AOB的面积。
19.川(本小题满分10分)
如图,已知反比例函数yk(k0)的图象经过点(1,8),直线yxb经过该反比例函数图象上x2
的点Q(4,m).
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式;
(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P,连结0P、OQ
求△OPQ勺面积.
14、(2011牝丹江)如图,双曲线y^经过点A(2,2)与点B(4,m),则^AOB的面积为(
解:
过A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,如图,°
•■-SAAOB=SaAOC+S梯形ABDC—SABOD
&aoc=6.则
1.如图,a、B是双曲线y=k(k>0)上的点,a、B两点的横坐标x''
分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若
k=▲.
⑵若一次函数ykxb的图象交y轴于点C,求^AOC勺面积(0为坐标原点);
10.如图,已知直线y=ax+b经过点A(0,-3),与x轴交于点C,且与双曲线相交于点B(-4,-a),D
⑴求直线和双曲线的函数关系式;
解之得:
a1
b3
设双曲线的函数关系式为:
且1k=-4
4
..•双曲线的函数关系式为
.•.△CDO勺面积为1
2
6-
OC=3
叱1金2
11、(2011?
防城港)如图,是反比例函数y=M和v烹(k1vk2)在第一象限的图象,直线AB//x轴,并分
别交两条曲线于A、B两点,若Saaob=2,则k2-k1的值是()
考点:
反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征;三角形的面积。
专题:
计算题。
分析:
设A(a,b),B(c,d),代入双曲线得到Ki=ab,K2=cd,根据三角形的面积公式求出cd-ab=4,
即可得出答案.
解答:
解:
设A(a,b),B(c,d),
代入得:
Ki=ab,K2=cd,
Saaob=2,
^cd-壹ab=2,
cd—ab=4,
•■-K2-K1=4,
故选C.
点评:
本题主要考查对反比例函数系数的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,三角形的面积等知识点的理解和掌握,能求出cd-ab=4是解此题的关键
6.(11•辽阜新)反比例函数y=6与y=X在第一象限的图家雀儿如图所示,作一条平行于x轴的直
线分别交双曲线-于A、B两点,连接OA、OB,则^AOB的面积为
A.2B.2
【答案】A
26.(本小题满分10分)
ko
如图,一次函数yk1xb的图像经过A(0,2),B(1,0)两点,与反比例函数y二的图像在第一象限内
x
的交点为M,若^OBM的面积为2.
(1)求一次函数数的表达式;
(2)在X轴上是否存在点P,使AM±MP?
若存在,坐标;若不存在,说明理由。
(1)
.•直线yk1xb过A(0,2),B(1,0)两点
bki
已知函数的表达式为y2x2.
.••设M(m,n)作MD±x轴于点D
•S“bm=21OB7MD2-n2
22
n45分
.•将M(rm,4)代入y2x2得42m2•■-m3
koko
••-M(3,4)在双曲线y—上4一k212
x3
12
.••反比例函数的表达式为y12
x
(2)过点M(3,4)作MP±AM交x轴于点P
..MD±BP•••/PMD=ZMBD=ZABO
••Jan/PMD=tan/MBD=tan/ABO=°A-=28分
OB1
PDc
..在Rt△PDM中,——2..PD=2MD=8z.OP=OD+PD=11
MD
..•在x轴上存「在点P,使PM±AM,此时点P的坐标为(11,0)……10分
24、(2011?
临沂)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y专的图象相较于A(2,3),B(-3,n)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>¥的解集;
(3)过点B作BC±x轴,垂足为C,求SaABC.
n=^-=-2,-3
.A(2,3),B(-
.A2k+b,
-2=-3k+b,
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题。
分析:
(1)由一次函数y=kx+b与反比例函数y专■的图象相较于A(2,3),B(-3,n)两点,首先求得
反比例函数的解析式,则可求得B点的坐标,然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式;
(2)根据图象,观察即可求得答案;
(3)因为以BC为底,则BC边上的高为3+2=5,所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案.
解答:
解:
(1)点A(2,3)在y=¥的图象上,•二m=6,
反比例函数的解析式为:
y=§,
3,-2)两点在y=kx+b上,
k=1
一次函数的解析式为y=x+1.
b=1,
(2)-3vxv0或x>2;
(3)以BC为底,贝UBC边上的高为3+2=5,.二SWBC壬X2X5=5.
点评:
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.注意待定系数法的应用是解题的关键.
24.(11-柳州)(本题满分10分)
如图,直线y=kx+k(k乒0)与双曲线y=史三在第一象限内相交于点
x
(1)求m的取值范围和点A的坐标;
(2)若点B的坐标为(3,0),AM
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- 一次 函数 反比例 综合 题型