1、一次函数与反比例函数综合题型一次函数与反比例函数综合题型：专题 11 k1、.(2010济宁)如图，正比例函数y x的图象与反比例函数 y (k 0)在第一象限的图象交于 A点, 过A点作x轴的垂线，垂足为 M，已知 OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA PB最小.4 2m , (x 0)的图象于点A、B,x24. (2011聊城)如图，已知一次函数 y= kx+ b的图象交反比例函数 y交x轴于点C.(1)求m的取值范围;(2)若点A的坐标是(2, -4)，且器=，求m的值
2、和一次函数的解析式.AB 33、.(2010年枣庄市)如图，一次函数 y= ax+ b的图象与反比例函数 y = 的图象交于 A、B两点，与x x1轴父于点 C,与y轴父于点 D,已知OA =寸0,点B的坐标为(m, -2) , tan / AOC = 1.3(1)求反比例函数的解析式；(2)求一次函数的解析式；(3)在y轴上存在一点 P,使 PDC与 CDO相似，求P点的坐标.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;4、(2011?临沂)如图，一次函数 y=kx+b与反比例函数y=#的图象相较于 A (2, 3), B (- 3, n)两点.(2)根据所给条件，请直接写出不等式 kx+b 号的
3、解集;5、2010年烟台市18、如图，在平面直角坐标系中，点 。为原点，菱形 OABQ勺对角线OB在x轴上，顶点A的图像上，则菱形的面积为在反比例函数y=0k26、(2011?泰安)如图，一次函数 y=kix+b的图象经过 A (0, -2), B (1, 0)两点，与反比例函数 V = 二的图象在第一象限内的交点为 M若OBM的面积为2.(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)在x轴上是否存在点 P,使AM MP若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由.7.(德州市2010年)2x1 x2 B 为（1, 2）探究 (1)在图1中，已知线段 AB, CD,其中点分别为 E, F.1若A
4、 (-1 , 0), B (3, 0),贝U E点坐标为 ;2若C (-2 , 2), D (-2 , -1),贝U F点坐标为 ;在图2中，已知线段 AB的端点坐标为 A(a, b) , B(c, d), 求出图中AB中点D的坐标(用含a, b, c, d的代数式表示)，并给出求解过程.归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为 A(a, b), B(c, d), AB中点为D(x, y)时，x=, y=.(不必证明)运用 在图2中，一次函数y x 2与反比例函数y E的图象交点为A, B.x1求出交点A, B的坐标；2若以A, O , B, P为顶点的四边形是平行四边形，
5、请利用上面的结论求出顶点 P的坐标.一次函数与反比例函数综合题型：专题 1答案：k1、(2010 济丁.)解：(1) 设 A点的坐标为(a , b )，则 b . ab k.-ab 1 k 1.二 k 2.222反比例函数的解析式为 y -. 3分,口 x 2, 得 - A为（2 , 1）y 1.设A点关于x轴的对称点为C,则C点的坐标为(2, 1)令直线BC的解析式为y mx n .2 m n, m 3,1 2m n. n 5.BC的解析式为y 3x 5.当y 0时，x 5.P点为(5 , 0) . 7分332、(2011聊城24.)解：(1)因为反比例函数 y (x 0)的图象在第四象限，
6、所以4 2m 0 ,解得m 2 .（2）因为点A（2 , 4）在函数所以4 刃，解得m2过点A、B分别作AM OC所以 Z BNC= / AMC=90 .又因为Z BCN= Z ACM , 所以 BCN ACM ,所以因为殷1,所-以竺AB 4 AC 因为AM=4，所以BN=1 . 所以点B的纵坐标是 1 .因为点B在反比例函数y所以点B的坐标是（8. 1）因为一次函数y kx b的I4 2m , r/ 图象上，x6.于点M , BN OC于点N ,BN BC .AM AC1 BN 1，即 .4 AM 48的图象上，所以当y xA(2 , 4)、B(8,1 时，x 8 .1).2k b8k b
7、4，解得1 , ，一，_ ，一，- 1所以一次函数的解析式是 y x 5.23、（ 2010年枣庄市）（1）过点A作AE x轴，垂足为- _ 1 _Qtan AOE OE 3AE.3QOA .10, OE2 AE2 10,AE 1, OE 3.点A的坐标为（3, 1） . 2分Q A点在双曲线上， 1 , k 3 .3双曲线的解析式 岂 3为 y . x3(2)Q点B(m, 2)在双曲线y -,x点B的坐标3a b 1,3-a b 22b 1.一次函数的解析式2(3)C, D两点在直线y x 1上,3C, D的坐标分别是C - ,0 , D(0, 1).23 一 -OC OD 1, DC2过点
8、C作CP AB，垂足为点C .QA PDCACDO ,PD DC ，PDDC ODDC2 13OD 4- 13 9又 OP DP OD 1 , 4 4P点坐标为 0, - 10 分44、(2011?临沂)考点：反比例函数与一次函数的交点问题。分析：(1)由一次函数y=kx+b与反比例函数y=m的图象相较于 A (2, 3), B (- 3, n)两比例函数的解析式，则可求得 B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；(2)根据图象，观察即可求得答案；(3)因为以BC为底，贝U BC边上的高为3+2=5,所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案.解答：解：(1) 点A (2, 3)
9、在y号的图象上，,首先求得反- m=6.，反比例函数的解析式为：v主,A( 2, 3), B (- 3, - 2)两点在 y=kx+b 上,3=2fc + &解得？ ！，lb=l.一次函数的解析式为：y=x+1 ;(2)- 3vxv 0 或 x2;(3)以BC为底，贝U BC边上的高为3+2=5, S aabc-X 2X 5=5.点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.注意待定系数法的应用是解题的关键5、考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：探究型。分析：(1)根据一次函数 y=kix+b的图象经过A (0, - 2), B (1, 0)可得到关于b、ki的方程组，进而可得到一次
10、函数的解析式，设 M (m n)作MtXx轴于点D,由OBM的面积为2可求出n的值，将M (m 4)代入y=2x - 2求出m的值，由M (3, 4)在双曲线y 上即可求出k2的值，进而求出其反比例函数的 x解析式；(2)过点 M (3, 4)作 M0 AM交x轴于点P,由MIX BP可求出/ PMD=MBD=ABQ再由锐角三角函数的 定义可得出OP的值，进而可得出结论.解答：(1) 直线 y=kix+b 过 A (0, -2), B(1, 0)两点-2应+ 6 =。&= 2已知函数的表达式为 y=2x - 2. (3分).设M (m n)作 MUx轴于点DS obm=2 ,.W 2,- !
11、二- n=4 ( 5 分).将 M ( m 4)代入 y=2x - 2 得 4=2m- 2,m=3M ( 3, 4)在双曲线y 上，1 一k2 = 1212.,反比例函数的表达式为 一x(2)过点M (3, 4)作M0AM交x轴于点P,. MDL BP,PMD =MBD =ABO 必2八、. .tan Z PMD=ta此 MBD=ta此 ABO=而f =2 (8 分). .在 Rt PDM中，曲J ,. . PD=2MD=8 . .OP=OD+PD=11.在x轴上存在点 P,使P机AM此时点 P的坐标为（11, 0） （10分）点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为
12、用待定系数法求一次函数 与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键6（2010年烟台市）47（德州市 2010年）解：探究 （1）（1 ,B ，贝U AA / BB / CC .,即交点的坐标为A(-1, -3), B(3, 1).A D =DOD = a以AB为对角线时,由上面的结论知 AB中点M的坐标为（1 , -1）.平行四边形对角线互相平分, OM=OP,即M为OP的中点.P点坐标为(2, -2) . 9 分同理可得分别以OA , OB为对角线时，点P坐标分别为(4, 4) , (-4, -4).满足条件的点 P有三个，坐标分别是(2, -2) , (4,
13、4) , (-4, -4) . -10分分类全集反比例21.如图，一次函数 y kx b的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于 A, B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D , OB J5 .且点B横坐标是点B纵坐标的2倍.(1)求反比例函数的解析式 y m；x(2)设点A横坐标为n , ABO面积为S,求S与n的函数关系式，并求出自变量的取值范围. AOD ; BO眺(3)求方程kx b m 0的解(请直接写出答案)；x(4)求不等式kx b m 0的解集(请直接写出答案)x2.(2010.十堰)(本小题满分8分)如图所示，直线 AB与反比例函数图像相交于 A, B两点，已知A
14、 (1, 4).(1)求反比例函数的解析式；k解：(1)设反比例函数解析式为 y= k ,x点A (1 , 4)在反比例函数的图象上- 4=k, ，. k=4, 反比例函数的解析式为 y=.1 x(2)设直线 AB的解析式为y= ax+b (a0, b0)，则当x=1时，a+b=4即b=4 a.4y联立x ，碍 ax2 +bx 4=0,即 ax2 + (4 a) x 4=0, y ax b4方法 1： (x 1) (ax+4) = 0,解碍 x=1 或 x=,a设直线AB交y轴于点C,则C (0, b),即C (0, 4-a)14 15 . 一a) 1 04 a) ，整理得2a 21 ,由 S
15、aaoB=Saaoc + SaBOC =2*4a2+15a 16=0, . a=1 或 a= 16(舍去) b=4- 1=3直线AB的解析式为y=x+31 15方法 2：由， AOB= 2 |OC| - |x2- xi|=24 a 4 a 4 , 、4g； )=1 | =(a0),|OC |=b=4 a,可得一(4 a)( )2 a15 ,、 ，解碍a=1或a=- 16 (舍去).2a a a4,115OC | yB | = X5 X=2 2 4(二)资料3.(较好)如图一次函数 y kx b的图象与反比例函数n)(1)求此一次函数和反比例函数的解析式；(2)求 AOB的面积.解:1孚aoc=
16、 m OC | yA | = X5 2=5, Saboc=- - - 5 15孚 AOB= Sa aoc Sa boc =5 =4 49.(本题满分7分)如图14,已知A( 4, n) , B(2, 4)是一次函数y kx b的图象和反比例函数y m的图象的两个交点.X求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及 AOB的面积; 求方程kx b 0的解(请直接写出答案)；X(4)求不等式kx b 0的解集(请直接写出答案)X解：(1) Q B(2, 4)在函数m 8.反比例函数的解析式为:Q点A( 4, n)在函数y -的图象上xA( 4,2) 2 分Q y kx b
17、 经过 A( 4,2) , B(2, 4),4k b 22k b 4解之得k 1b 2一次函数的解析式为： y x 2(2) QC是直线AB与x轴的交点当y 0时，x 2点 C( 2,0)OC 211-2 2 2 4226 5分(3) xi 4,x2 2 6 分(4) 4 x 0 或 x 2.一 . 一 k .7. (9分)如图，点 A是反比例函数y 的图象与一次函数 y= x+ k的图象的一个交点， AC点C, AD垂直y轴于点D,且矩形OCAD的面积为2.垂直x轴于(1)求这两个函数的解析式；(2) 求这两个函数图象的另一个交点 B的坐标;(3)求 AOB的面积S (点O为坐标原点).1.
18、如图，直线y mx与双曲线y父于点AxB .过点A作AM x轴，垂足为点M ,Saabm 1，则k的值是( )A. 1 B. m 1C. 2 D. m,- 一， 一 一 4 ,2.如图，正比例函数 y kx(k 0)与反比例函数y 的图x象相交于 A C两点，过点 A作x轴的垂线交x轴于点B,连接BC，则 ABC的面积等于( )A . 2 B . 4 C . 6 D . 84.如图，一次函数 y kx b的图象与反比例函数 y m的图象交于点 A (-2, -5), xC( 5, n),交y轴于点B,交x轴于点D.(1)求反比例函数y m和一次函数y kxx(2)连接OA, OC.求 AOC的
19、面积.解：(1) -反比例函数y m的图象经过点A (-2, -5), xm=(- 2) x ( - 5) = 10.反比例函数的表达式为 y10x点C ( 5, n )在反比例函数的图象上,10 cn 2.5C的坐标为(5, 2 ).一次函数的图象经过点5 2k b,c u卜 解得2 5k b.A,kC,将这两个点的坐标代入 y kx b ,得1, 3.所求一次函数的表达式为 y= x-3. 6分一次函数y=x-3的图像交y轴于点B,B点坐标为(0, -3). 7分OB = 3.-亍的图象的交点.专题：几何图形问题；数形结合。分析：(1) A (4, a), B (- 2, - 4)两点在反
20、比例函数 y=-竺的图象上，则由 m=xy，得4a= (- 2) X Ji-(-4) =m，可求a、m的值，再将 A、B两点坐标代入 y=kx+b中求k、b的值即可；(2)设直线AB交y轴于C点，由直线 AB的解析式求C点坐标，根据 Szaob=Saaoc+Szboc求面积. . m 一解答：解：(1)将A (4, a), B (- 2, - 4)两点坐标代入 y= -中，碍4a= (- 2)(-4) =m ,4k + b = 2-2k + b= -4解得解得 a=2, m=8,将 A (4, 2), B (-2, - 4)代入 y=kx+b 中，得反比例函数解析式为 y=，一次函数的解祈式为
21、 y=x - 2；(2)设直线AB交y轴于C点，由直线AB的解析式y=x - 2得C (0, - 2),八 八 八 1 1、八-SaAOB=SaAOC+Sa BOC=f 2X4% 2X2=6 .点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式.运用数形结合的方法求图形的面积, 做此类题要根据图形的特点，将所求三角、B(2,n)两点，且与x轴交于点C(1)(2)(3)6.如图11, 一次函数y ax b的图象与反比例函数的图象交于 A(-4,2)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；求 AOB勺面积；根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值 x的取值范围。2.如图，在直角坐标系x
22、Oy中，一次函数y= kx+ b的图象与反比例函数 ym)两点。(1)求一次函数的解析式;k2 的图象父于 A(1 , 4)、B(3, x求 AOB的面积。1 9.川(本小题满分1 0分)如图，已知反比例函数 y k(k 0)的图象经过点(1, 8),直线y x b经过该反比例函数图象上 x 2的点 Q(4, m).(1) 求上述反比例函数和直线的函数表达式；(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于 A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为 P,连结0P、OQ求 OPQ勺面积.14、(2011牝丹江)如图，双曲线 y经过点A (2, 2)与点B (4, m),则 AOB的面积为(解：过A、B分别
23、作x轴的垂线，垂足分别为 C、D,如图， - SAAOB=SaAOC+S 梯形 ABDC SABOD&aoc =6 .则1.如图，a、B是双曲线y= k (k0)上的点，a、B两点的横坐标 x 分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C,若k= . 若一次函数y kx b的图象交y轴于点C,求 AOC勺面积(0为坐标原点);10.如图，已知直线 y=ax+b经过点A(0 , -3),与x轴交于点C,且与双曲线相交于点 B(-4,-a),D求直线和双曲线的函数关系式;解之得：a 1b 3设双曲线的函数关系式为:且 1 k=-44.双曲线的函数关系式为.CDO勺面积为126-OC=3叱1 金21
24、1、(2011?防城港)如图，是反比例函数 y=M和v烹 (k1v k2)在第一象限的图象，直线 AB / x轴，并分别交两条曲线于 A、B两点，若Saaob=2,则k2 -k1的值是( )考点：反比例函数系数 k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。专题：计算题。分析：设A (a, b), B (c, d)，代入双曲线得到 Ki=ab, K2=cd，根据三角形的面积公式求出 cd - ab=4,即可得出答案.解答：解：设 A (a, b), B (c, d),代入得：Ki=ab, K2=cd,Sa aob=2,cd -壹ab=2,cd ab=4,- K2 - K1=4 ,故
25、选C.点评：本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知 识点的理解和掌握，能求出 cd - ab=4是解此题的关键6. (11 辽阜新)反比例函数y = 6与y = X在第一象限的图家雀儿如图所示，作一条平行于 x轴的直线分别交双曲线-于A、B两点，连接 OA、OB,则 AOB的面积为A . 2 B . 2【答案】A26.(本小题满分10分)ko如图，一次函数 y k1x b的图像经过 A(0, 2), B(1,0)两点，与反比例函数 y 二 的图像在第一象限内x的交点为 M,若 OBM的面积为2. (1)求一次函数 数的表达式；(2)在X轴上是否存
26、在点 P,使AM MP?若存在, 坐标；若不存在，说明理由。(1).直线 y k1x b过 A(0, 2), B(1,0)两点b ki已知函数的表达式为 y 2x 2 .设M ( m , n )作MD x轴于点DS“bm=2 1OB7MD 2 -n 22 2n 4 5 分. 将 M (rm, 4)代入 y 2x 2得4 2m 2 - m 3 ko ko- M (3,4)在双曲线 y 上 4 一 k2 12x 312.反比例函数的表达式为 y 12x(2)过点M (3,4)作MP AM交x轴于点P. . MD BP / PMD=Z MBD =Z AB O Jan / PMD= tan / MBD
27、= tan / ABO= A -=2 8 分OB 1PD c. .在 Rt PDM 中， 2 . .PD=2MD=8 z. OP=OD+PD=11MD.在x轴上存在点P,使PM AM，此时点P的坐标为(11,0)10分24、(2011?临沂)如图，一次函数 y=kx+b与反比例函数y专的图象相较于 A (2, 3), B (- 3, n)两点.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2) 根据所给条件，请直接写出不等式 kx+b 的解集；(3)过点B作BC x轴，垂足为 C,求Sa ABC .n=-= - 2, -3. A (2, 3) , B (-.A2k + b,-2= -3k + b,考
28、点：反比例函数与一次函数的交点问题。分析：（1）由一次函数y=kx+b与反比例函数y专的图象相较于 A （2, 3）, B （ - 3, n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得 B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2） 根据图象，观察即可求得答案；（3） 因为以BC为底，则BC边上的高为3+2=5,所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案.解答：解：（1） 点A （2, 3）在y=的图象上，二m=6,反比例函数的解析式为：y=,3, - 2）两点在y=kx+b上，k=1一次函数的解析式为 y = x + 1.b=1,(2) - 3vxv 0 或 x2;（3）以BC为底，贝U BC边上的高为 3+2=5 ,.二SWBC壬X2X5=5.点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.注意待定系数法的应用是解题的关键.24. （11 -柳州）（本题满分10分）如图，直线y= kx+ k （k乒0）与双曲线y=史三在第一象限内相交于点x（1） 求m的取值范围和点 A的坐标；（2） 若点B的坐标为（3, 0）, AM
