小四数学整除含答案.docx
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小四数学整除含答案.docx
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小四数学整除含答案
第11讲整除
图形推理
1.整除的性质。
性质1:
如果数a、b都能被c整除,那么它们的和(a+b)或差(a-b)也能被c整除。
性质2:
如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.
性质3:
如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
性质4:
如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
2.2、3、5倍数的特征。
能被2整除的数,个位上的数能被2整除(偶数都能被2整除),那么这个数能被2整除;
能被5整除的数,个位上的数都能被5整除(即个位为0或5)那么这个数能被5整除;
能被3整除的数,各个数位上的数字和能被3整除,那么这个数能被3整除。
能被3(或9)整除的数的特征:
各个数位数字之和能被3(或9)整除。
能被4(或25)整除的数的特征:
末两位数能被4(或25)整除。
能被8(或125)整除的数的特征:
末三位数能被8(或125)整除。
能被11整除的数的特征:
这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。
能被7(11或13)整除的数的特征:
一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
3.因数与倍数。
如果一个数能被另一个数整除,那么这个数是另一个数的倍数,另一个数是这个数的因数。
1只有1个因数。
两个或多个数公有的倍数中,最小的一个叫作最小公倍数;两个或多个数公有的因数中,最大的一个叫作最大公因数。
两个数除了1以外没有其他的公因数,那么这两个数互质(互为质数)。
4.质数和合数。
如果一个数除了1和它本身没有其他的因数,那么这个数叫作质数(素数)。
2是最小的质数。
如果一个数除了1和它本身还有别的因数,那么这个数叫作合数。
1既不是质数也不是合数。
5.奇数和偶数。
如果一个数能够被2整除,那么这个数叫作偶数;如果不能被2整除,那么这个数叫作奇数。
第一,整除的意义;第二,奇数、偶数、质数(素数)、合数的理解;第三,倍数和因数的认识,以及2、3、5倍数的特征;
兔妈妈和小白兔、小黑兔、小灰兔去地里拔萝卜,小白兔拔了2根,小黑兔拔了3根,小灰兔拔了5根,兔妈妈拔的萝卜分别是小白兔的、小黑兔、小灰兔的倍数,兔妈妈至少拔了多少根?
【解析】这是一个典型的求最小公倍数的问题,小白兔拔了2根,小黑兔拔了3根,小灰兔拔了5根,兔妈妈拔的萝卜分别是它们的倍数,求兔妈妈至少拔了多少根,就是求2、3、5的最小公倍数。
此题有两种解法,一是分别列举2、3、5的倍数,找出它们的最小公倍数;二是显然2、3、5除了1以外,没有其他的公因数,因此可以直接相乘求出它们的最小公倍数。
【答案】兔妈妈至少拔了30根。
例1.在3、5、8、14、24、27、30、43、51、62、68、70中,能够被2整除的有_____________,
能够被3整除的有____________,能够被5整除的有_____________。
考点:
2、3、5的倍数特征
分析:
此题在于考察对整除定义的理解,只需要用2、3、5分别去除这些数,看它们的商是否有余数,如果哪个数被除后,得到的商没有余数,则这个数能被相应的数整除。
解答:
能够被2整除的数:
8、14、30、62、68、70;能够被3整除的数:
3、24、27、30、51;能够被5整除的数:
30、70。
点评:
熟练掌握2、3、5的倍数特征
例2.50以内,2和3的公倍数有,2和5的公倍数有,3和5的公倍数有,2、3、5的公倍数有。
考点:
2、3、5的倍数特征和综合倍数的特征
分析:
此题考查的是公倍数,2和3的公倍数就是既是2的倍数,又是3的倍数,2和3的最小公倍数是6,因此只要是6的倍数就是2和3的公倍数;同理可求出2和5、3和5、2和3和5的公倍数。
解答:
2和3的公倍数有:
6、12、18、24、30、36、42、48;2和5的公倍数有10、20、30、40、50;3和5的公倍数有15、30、45;2、3、5的公倍数有:
30。
点评:
掌握2、3、5的倍数特征
例3.30以内的奇数有;
30以内的偶数有;
30以内的质数有;30以内的合数有。
考点:
奇数、偶数、质数、合数
分析:
此题考查对奇数、偶数、质数、合数的掌握情况。
解答:
30以内的奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27,、29;30以内的偶数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30;30以内的质数有2、5、7、11、13、17、19、23、29;30以为的合数有4、6、8、9、10、12,14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30。
点评:
考查对奇数、偶数、质数、合数的掌握
例4.既不是质数也不是合数,最小的合数是,最小的质数是,最小的奇数是,最小的偶数是
考点:
特殊数的考察
分析:
此题考查对一些较为特殊的数的掌握。
解答:
1,,4,2,1,0。
点评:
熟练记忆特殊数
例5.3和一个数的最小公倍数是18,这个数是,12和一个不大于20的数的最大公因数是4,这个数是。
考点:
最大公因数和最小公倍数
分析:
此题考查最小公倍数和最大公因数。
3和一个数的最小公倍数是18,那么这个数一定也是18的因数,18的因数有1、3、6、9、18,,而这些数只有18和3的最小公倍数是18;12和一个不大于20的数的最大公因数是4,求这个数是多少,由最大公因数的定义可知,这个数一定是4的倍数,20以内4的倍数有4、8、12、16、20,这些数中只有4,8,16,20与12的最大公因数是4.
解答:
18,4、8、16、20。
点评:
会求最大公因数和最小公倍数
A
1.10以内的合数有(),20以内的质数有()。
考点:
质数和合数的概念
分析:
如果一个数除了1和它本身没有其他的因数,那么这个数叫作质数。
如果一个数除了1和它本身还有别的因数,那么这个数叫作合数。
解答:
4、6、8、9、10;2、3、5、7、11、13、17、19
点评:
熟练记忆质数和合数的概念
2.把36分解质因数是(),把63分解质因数是()。
考点:
分解质因数
分析:
把一个合数分解成几个质数相乘的形式
解答:
36=2×2×3×3;63=3×3×7
点评:
掌握分解质因数的方法
3.( 1 )既不是质数也不是合数。
考点:
质数和合数
分析:
如果一个数除了1和它本身没有其他的因数,那么这个数叫作质数。
如果一个数除了1和它本身还有别的因数,那么这个数叫作合数。
1既不是质数,也不是合数。
解答:
1
点评:
熟练记忆质数和合数的知识点
4.自然数中,最小的质数是( ),最小的合数是( ),最小的奇数是( ),最小的偶数是( )。
考点:
质数、合数、奇数、偶数
分析:
如果一个数除了1和它本身没有其他的因数,那么这个数叫作质数。
如果一个数除了1和它本身还有别的因数,那么这个数叫作合数。
如果一个数能够被2整除,那么这个数叫作偶数;如果不能被2整除,那么这个数叫作奇数。
解答:
2,4,1,2
点评:
熟练掌握概念
5.如果A=2×3×3,B=3×3×5,则A、B的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
考点:
分解质因数求最大的公因数和最小公倍数
分析:
两个或多个数公有的倍数中,最小的一个叫作最小公倍数;两个或多个数公有的因数中,最大的一个叫作最大公因数。
解答:
9;90
点评:
最大公因数和最小公倍数的求法
6.18的所有因数分别是(),12的所有因数分别是()。
考点:
求一个数的因数
分析:
18=1×1812=1×12
18=2×912=2×6
18=3×612=3×4
解答:
1、2、3、6、18;1、2、3、4、6、12
点评:
掌握求一个数因数的方法
7.三个质数相乘的积是12,这三个质数分别是( )、( )、( )。
考点:
分解质因数
分析:
12=2×2×3
解答:
2,2,3
点评:
把一个合数分解成几个质数相乘的形式
8.如果A÷B=C,那么A与B的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
考点:
最大公因数和最小公倍数
分析:
两个数是倍数关系时,最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数
解答:
B,A
点评:
最大公因数和最小公倍数的求法
9.一个奇数如果(),结果一定是偶数。
考点:
奇数,偶数的考察
分析:
奇数×奇数=奇数,奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数
解答:
乘以一个偶数
点评:
奇数、偶数的概念
10.一个三位数6□3能被3整除,□中最小填( )。
考点:
3的倍数特征
分析:
能被3整除的数,各个数位上的数字和能被3整除,那么这个数能被3整除。
6+3+0=9
解答:
0
点评:
熟练掌握3的倍数特征
11.在自然数1~20中,最大的质数是( ),两位数中最小的质数是( )。
考点:
质数
分析:
如果一个数除了1和它本身没有其他的因数,那么这个数叫作质数。
解答:
17,11
点评:
考察100以内质数的记忆
12.有一个数,它是2的倍数,又含有因数3,能被5整除。
这个数可能是( )。
考点:
2,3,5倍数的特征
分析:
求2,3,5的公倍数
解答:
30、60……
点评:
熟练求2,3,5的公倍数
B
1.求下列每组数的最大公因数。
30 和 42 18 和 27 15 和 45
考点:
求最大公因数
分析:
用短除法求最大公因数
解答:
最大公因数6;最大公因数9;最大公因数5
点评:
会用短除法求最大公因数
2.求下面每组数的最小公倍数。
75和45 26和39 12、18和24 5、4和10
考点:
求最小公倍数
分析:
用短除法分解质因数求最小公倍数
解答:
最小公倍数225;最小公倍数78;最小公倍数72;最小公倍数20
点评:
掌握求最小公倍数的方法
3.求下面每组数的最大公因数(3个的除外)和最小公倍数。
36和54 15和18 14、3和21 6、15和30
考点:
最大公因数和最小公倍数
分析:
36=2×2×3×3,54=2×3×3×3;15=3×5,18=2×3×3;14=2×7;21=3×7;6=2×3,
15=3×5;30=2×3×5
解答:
最大公因数18,最小公倍数108;最大公因数3,最小公倍数90;最小公倍数42;最小公倍数60
点评:
掌握求两三个数的最大公因数和最小公倍数
4.五个相邻自然数的乘积是55440,求这五个自然数。
考点:
分解质因数
分析:
55440=2×2×2×2×3×3×5×11
解答:
7、8、9、10、11
点评:
遇见这种题型要去分解质因数
5.甲数是乙数的三分之一,甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少?
乙数是多少?
考点:
分解质因数
分析:
甲数是乙数的三分之一,所以甲、乙的最小公倍数是乙数,所以乙数是54,甲数是18
解答:
甲数是18,乙数是54
点评:
准确分析题意,抓住关键信息“甲数和乙数的最小公倍数是54”
C
1.有一批零件,设计了三种不同的方法装箱,第一种每箱装18个,第二种每箱24个,第三种每箱装42个,结果都没有多余。
这批零件至少有多少个?
考点:
最小公倍数
分析:
求这批零件至少有多少个,就是求18、24、42的最小公倍数。
解答:
18、24、42的最小公倍数是168。
点评:
抓住题中关键信息,“至少”提示最小公倍数的信息。
2.把一块长48米,宽32米的长方形土地划成若干相同的正方形而没有剩余,至少能划几块?
考点:
最大公因数
分析:
把长48米,宽32米的长方形土地划成相同的正方形,就是求48和32的最大公因数,它们的最大公因数是16,长和宽分别包含正方形边长的个数的乘积,就是能划成正方形的块数。
解答:
48、32的最大公因数是16,48÷16=3,32÷16=2,3×2=6(块)。
点评:
关键信息“划成若干相同的正方形而没有剩余”
3.三根铁丝分别长24厘米、30厘米和42厘米,现把它们截成同样长的小段,不能有剩余,每段铁丝最长是多少厘米?
一共可截成几段?
考点:
最大公因数
分析:
把三根不同长度的铁丝截成同样长度的小段没有剩余,就是求它们的最大公因数。
把每根包含的段数相加,就是可以截成的段数。
解答:
24、30、42的最大公因数是6,24÷6=4(段),30÷6=5(段),42÷6=7(段),4+5+7=16(段)。
点评:
关键信息”截成同样长的小段,不能有剩余”
4.已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31.求这两个自然数。
考点:
分解质因数
分析:
先分解质因数5766,
解答:
设这两个自然数为A和B。
[A,B]=5766÷31=186
∵186=2×3×31,
∴这两个自然数为31和186或62和93。
点评:
根据题意分解质因数分情况解决问题
5.兄弟三人在外工作,大哥6天回家一次,二哥8天回家一次,小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家,下一次三人再见面是哪一天?
考点:
最小公倍数
分析:
找到2,6,8的最小公倍数,十月一日再加24天是十月二十五日
解答:
10月25日。
点评:
根据题意可知是求最小公倍数
1.一个数比100以内最大的质数多1,它和另一个数的最大公因数是7,求这个数是多少?
考点:
质数和最大的公因数
分析:
100以内最大的质数是97,加上1就是98,因为98和另一个数的最大公因数是7,可见另一个数是7的倍数,因此只要找出100以内7的倍数且符合条件的即可。
解答:
100以内最大的质数是97,97+1=98,100以内7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98,在这些数中符合条件的有7、21、35、63、77、91。
点评:
熟练记忆100以内的质数,并会求一个数的倍数。
2.一筐苹果500多个,每次拿3个,每次拿4个,每次拿5个都恰好多1个,这筐苹果
共有多少个?
考点:
最小公倍数
分析:
一筐苹果500多个,每次拿3个,每次拿4个,每次拿5个都恰好多1个,说明这筐苹果的个数比3、4、5公倍数多1,因此只要求出500到600之间的3、4、5的公倍数再加1即可。
解答:
3、4、5的最小公倍数是60,500到600之间60的倍数有540,因此这筐苹果共有540+1=541(个)。
点评:
抓住关键信息“恰好”,每次、每次、每次……
3.一个400米的环形跑道,原来每隔5米插有一面彩旗,现在需要改成每隔8米插一面彩旗,不需要拨掉的彩旗有几面?
考点:
最小公倍数
分析:
求不需要拔掉的彩旗面数,就是求400以内,既是5的倍数又是8的倍数的数有多少个(因为起点插一面,故不包括400)。
解答:
5和8的最小公倍数是40,400以内它们的公倍数有40、80、120、160、200、240、280、320、360共9个,加上起点那一面共10面。
点评:
将植树问题和求最小公倍数问题结合
4、1+2+3+…+1993的和是奇数?
还是偶数?
考点:
奇数和偶数
分析:
此题可以利用高斯求和公式直接求出和,再判别和是奇数,还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑,利用奇偶数的性质,同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。
解答:
解法1:
∵1+2+3+…+1993
又∵997和1993是奇数,奇数×奇数=奇数, ∴原式的和是奇数。
解法2:
∵1993÷2=996…1,∴1~1993的自然数中,有996个偶数,有997个奇数。
∵996个偶数之和一定是偶数, 又∵奇数个奇数之和是奇数,
∴997个奇数之和是奇数。
因为,偶数+奇数=奇数, 所以原式之和一定是奇数。
点评:
抓住出题核心:
奇数+偶数=奇数;奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数
5、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘,所得的两个积相差150,这个数是多少?
考点:
奇数和偶数
分析:
相邻两个奇数相差2,可以方程解决,也可以根据数之间的关系解决
解答:
解法1:
∵相邻两个奇数相差2,
∴150是这个要求数的2倍。
∴这个数是150÷2=75。
解法2:
设这个数为x,设相邻的两个奇数为2a+1,2a-1(a≥1).则有
(2a+1)x-(2a-1)x=150,
2ax+x-2ax+x=150,
2x=150,
x=75。
∴这个要求的数是75。
点评:
找到数之间的关系,列方程解决是很容易理解的。
1.四名学生恰好一个比一个大一岁,年龄的积为5040,这四名同学的年龄从小到大的顺序是( ),( ),( ),( )。
考点:
分解质因数
分析:
此题可先分解质因数,然后确定7是其中一个学生的年龄,即可算出。
解答:
5040=2×2×2×2×3×3×5×7 ;7,8,9,10
点评:
根据题意可知需要分解质因数即可解决问题
2.把长,宽,高分别是150厘米,90厘米,60厘米的长方体木料,锯成大小一样的正方体木块没有剩余,最少可以锯成( )块。
考点:
最大公因数
分析:
锯成大小一样的正方体木块没有剩,要求正方体的棱长是长方体的长、宽、高的最大公因数
解答:
(150,90,60)=30,150÷30=5,90÷30=3,60÷30=2,5×3×2=30
点评:
“锯成大小一样的正方体木块没有剩余”提示求最大公因数
3.在30和40之间找出两个自然数,使它们的积与21×60相等,那么这两个自然数是( )和( )。
考点:
分解质因数
分析:
把21和60分别分解质因数,观察即可发现。
解答:
21=3×7,60=2×2×3×5,在30-40之间,所以这是35和36
点评:
分解质因数,寻找两个数之间的关系
4.两个数的乘积是432,最小公倍数是144,这两个数是()和()或()和()。
考点:
最小公倍数和分解质因数
分析:
因为乘积为432,最小公倍数是144,可求出它们的最大公因数432÷144=3,144中包含一个它们的最大公因数,144÷3=48,因此只要求出哪两个互质的数是48,并用它们分别乘以3,即可求出这两个数。
解答:
432÷144=3,144÷3=48,所以可以是3和144,也可以是9和54
点评:
找到两数的乘积和最小公倍数之间的关系
5.一个数分别被2,4,5除都余1,这个数在100到130之间,这个数是()或()。
考点:
最小公倍数
分析:
这个数分别被2、4、5除都余1,可知这个数是2、4、5的倍数再加1,100到130之间20的倍数有100和120,分别加1即可得出结果。
解答:
4×5=20,20×6=120,120+1=121或者20×5=100,100+1=101
点评:
被2,4,5除说明是2/4/5的最小公倍数
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