特征方程求解递归方程优质PPT.ppt
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1)求解上述特征方程的根,得到递归方程的通解2)利用递归方程初始条件,确定通解中待定系数,得到递归方程的解考虑2种情况:
1)特征方程的k个根不相同2)特征方程有相重的根,特征方程的k个根不相同:
假设:
q1,q2,qk是k个不同的根,则递归方程的通解为,特征方程的k个根有重根:
r个重根qi,qi+1,qi+r-1,则递归方程的通解为,前面2种情况下的c1,c2,ck均为待定系数;
将初始条件代入,建立联立方程,确定各个系数具体值,得到通解f(n)例1.3阶常系数线性齐次递归方程如下,解:
特征方程为x36x2+11x6=0,改写方程为:
因式分解:
(x-1)(x-2)(x-3)=0得到特征根:
q1=1,q2=2,q3=3递归方程的通解为:
由初始条件得:
得到:
c1=0,c2=-2,c3=2因此,递归方程的解为:
例2。
3阶常系数线性齐次递归方程如下,解:
特征方程为x35x2+7x3=0改写为:
x35x2+6x+x3=0因式分解:
(x-3)(x22x+1)=0(x-3)(x-1)(x-1)=0,得到特征根:
q1=1,q2=1,q3=3递归方程的通解为:
代入初始条件:
得到:
c1=0,c2=-1,c3=1因此,递归方程的解为:
作业1,解下列递归方程:
1.f(n)=3f(n-1),f(0)=52.f(n)=2f(n-1)f(0)=23.f(n)=5f(n-1)6f(n-2),f(0)=1,f
(1)=14.f(n)=-6f(n-1)9f(n-2),f(0)=3,f
(1)=-3,K阶常系数线性非齐次递归方程形如:
二、K阶常系数线性非齐次递归方程,其中,bi为常数,第2项为方程初始条件。
它的通解形式为:
其中,1)为对应齐次递归方程的通解2)f*(n)为原非齐次递归方程的特解,解题原理:
1.一般没有寻找特解的有效方法2.先根据g(n)具体形式,确定特解;
再将特解代入递归方程,用待定系数法,求解特解的系数3.g(n)分为以下几种情况:
g(n)是n的m次的多项式g(n)是n的指数函数,g(n)是n的m次的多项式,g(n)形如:
其中,bi为常数。
此时,特解f*(n)也是n的m次多项式,形如:
各个系数Ai待定,例3。
2阶常系数线性非齐次递归方程如下,解:
对应的齐次方程的特征方程为x27x+10=0因式分解:
(x2)(x5)=0特征根:
q1=2,q2=5对应齐次方程通解:
令非齐次递归方程的特解为:
代入原递归方程得:
!
由此得到联立方程:
解得:
A1=1,A2=13/2,A3=103/8非齐次递归方程的通解为:
化简后得到:
初始条件代入有:
c1=-41/3,c2=43/24最后,非齐次递归方程通解为:
g(n)是n的指数函数,g(n)形如:
其中,a和bi为常数。
1)如果a不是特征方程的重根,特解f*(n)形如:
各个系数Ai待定,2)如果a是特征方程的r重特征根,特解f*(n)形如:
各个系数Ai待定,例4。
对应的齐次方程的特征方程为x27x+12=0因式分解:
(x3)(x4)=0特征根:
q1=3,q2=4对应齐次方程通解:
a=2不是特征方程的重根,故令非齐次递归方程的特解为:
化简后得到:
由此得到联立方程:
A1=2,A2=10非齐次递归方程的通解为:
c1=-14,c2=5最后,非齐次递归方程通解为:
作业2,解下列递归方程:
1.f(n)=f(n-1)+n2,f(0)=02.f(n)=2f(n-1)+n,f(0)=13.f(n)=3f(n-1)+2n,f(0)=34.f(n)=2f(n-1)+2nn2,f(0)=1,
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- 关 键 词:
- 特征 方程 求解 递归