高考数学考点专项突破-椭圆的性质与应用(含解析).doc
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2021高考数学考点专项突破椭圆的性质与应用(含解析)
学习资料
班级:
科目:
椭圆的性质与应用
一、单选题
1、(2019年高考北京卷理数)已知椭圆(a>b>0)的离心率为,则()
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率,化简得,
故选B。
2、(北京师范大学附属实验中学2019—2020学年高三第一学期12月月考)△ABC的两个顶点坐标A(-4,0),B(4,0),它的周长是18,则顶点C的轨迹方程是()
A. B.(y≠0)
C. D.(y≠0)
【答案】D
【解析】
所以定点的轨迹为以A,B为焦点的椭圆,去掉A,B,C共线的情况,即,选D。
3、(2019年高考全国Ⅱ卷理数)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=()
A.2 B.3
C.4 D.8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以,解得,故选D.
4、(河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试)已知椭圆和直线,若过的左焦点和下顶点的直线与平行,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】直线的斜率为,过的左焦点和下顶点的直线与平行,所以,又,所以,
故选A。
5、(河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题)如图,设椭圆:
的右顶点为,右焦点为,为椭圆在第二象限上的点,直线交椭圆于点,若直线平分线段于,则椭圆的离心率是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】如图,设AC中点为M,连接OM,
则OM为△ABC的中位线,
于是△OFM∽△AFB,且,即=可得e==.故答案为:
.
6、(2018年高考全国Ⅱ理数)已知,是椭圆的左、右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为为等腰三角形,,所以,
由的斜率为可得,
所以,,
由正弦定理得,
所以,
所以,,故选D.
7、(2019年高考全国Ⅰ卷理数)已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】法一:
如图,由已知可设,则,
由椭圆的定义有.
在中,由余弦定理推论得.
在中,由余弦定理得,解得.
所求椭圆方程为,故选B.
法二:
由已知可设,则,
由椭圆的定义有.
在和中,由余弦定理得,
又互补,,两式消去,得,解得.所求椭圆方程为,故选B.
8、(2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试)已知,为椭圆的两个焦点,为椭圆短轴的一个端点,,则椭圆的离心率的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由椭圆定义可知:
,
则,
所以,
因为,即,
,即。
。
二、多选题
9、(2020届山东省临沂市高三上期末)已知P是椭圆C:
上的动点,Q是圆D:
上的动点,则()
A.C的焦距为
B.C的离心率为
C.圆D在C的内部
D.的最小值为
【答案】BC
【解析】,
,则C的焦距为,。
设(),
则,
所以圆D在C的内部,且的最小值为。
故选:
BC。
10、(2010栟茶中学期末)设椭圆的左、右焦点分别为,,点为椭圆上一动点,则下列说法中正确的是
A.当点不在轴上时,△的周长是6
B.当点不在轴上时,△面积的最大值为
C.存在点,使
D.的取值范围是,
【答案】.
【解析】:
由椭圆方程可知,,从而.
据椭圆定义,,又,
所以△的周长是6,项正确.
设点,,因为,
则.
因为,则△面积的最大值为,项正确.
由图可知,当点为椭圆短轴的一个端点时,为最大.
此时,,又,
则△为正三角形,,
所以不存在点,使,项错误.
由图可知,当点为椭圆的右顶点时,取最大值,此时;
当点为椭圆的左顶点时,取最小值,此时,
所以,,项正确,
故选:
11、(2019秋•漳州期末)设椭圆的左右焦点为,,是上的动点,则下列结论正确的是
A.
B.离心率
C.△面积的最大值为
D.以线段为直径的圆与直线相切
【答案】
【解析】:
由椭圆可知,,,,
所以左、右焦点为,,
根据椭圆的定义,故正确;
离心率,故错误;
所以△面积的最大值为,故错误;
由原点到直线的距离,
所以以线段为直径的圆与直线相切,故正确;
故选:
.
12、(2020•淄博一模)已知椭圆的左、右焦点分别为、,直线与椭圆相交于点、,则
A.当时,的面积为
B.不存在使为直角三角形
C.存在使四边形面积最大
D.存在,使的周长最大
【答案】
【解析】:
如图所示:
,
对于选项:
当时,,,的面积为,故选项正确;
对于选项:
当时,可以得出,当时,,根据椭圆的对称性,存在使为直角三角形,故选项错误;
对于选项:
根据椭圆的对称性可知,当时,四边形面积最大,故选项正确;
对于选项:
由椭圆的定义得,的周长,
,当过点时取等号,
,
即直线过椭圆的右焦点时,的周长最大,
此时直线的方程为,但是,所以不存在,使的周长最大,故选项错误;
故选:
.
三、填空题
13、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)已知椭圆的左、右焦点分别是,,点是椭圆上位于轴上方的一点,若直线的斜率为,且,则椭圆的离心率为________.
【答案】.
【解析】
设,由直线的斜率为,知,且,即得,
由及椭圆定义知,
由余弦定理即可得,,即,化简得,
故或3(舍)
即.
故答案为:
14、(2019年高考全国Ⅲ卷理数)设为椭圆C:
的两个焦点,M为C上一点且在第一象限。
若为等腰三角形,则M的坐标为___________。
【答案】
【解析】由已知可得,
,∴.
设点的坐标为,则,
又,解得,
,解得(舍去),
的坐标为.
15、(2020·浙江高三)如图,过椭圆的左、右焦点F1,F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A,B两点,记△AOF1,△BOF2的面积分别为S1,S2,若S1:
S2=7:
5,则椭圆C离心率为_____.
【答案】
【解析】作点B关于原点的对称点B1,可得S,则有,
所以.
将直线AB1方程,代入椭圆方程后,,
整理可得:
(b2+8a2)y2﹣4b2cy+8b4=0,
由韦达定理解得,,
三式联立,可解得离心率.
故答案为:
.
16、(2020届浙江省杭州市高三3月模拟)设是椭圆的两个焦点,是C上一点,且满足的面积为则的取值范围是____.
【答案】
【解析】
依题意,,所以,则,而,所以.由于,,根据二次函数的性质可知:
所以,所以,解得。
故答案为:
17、(2019年高考浙江卷)已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是___________.
【答案】
【解析】方法1:
如图,设F1为椭圆右焦点.由题意可知,
由中位线定理可得,设,可得,
与方程联立,可解得(舍),
又点在椭圆上且在轴的上方,求得,所以.
方法2:
(焦半径公式应用)由题意可知,
由中位线定理可得,即,
从而可求得,所以。
18、(2020届浙江省高中发展共同体高三上期末)已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点,右焦点,线段中点为,且,则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意可设,,线段中点为,且,
可得为的重心,设,,
由重心坐标公式可得,,,
即有的中点,可得,,
由题意可得点在椭圆内,可得,
由,可得,即有。
故答案为:
.
19、(2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟)双曲线的左焦点为,过的直线交双曲线左支于两点,且,延长交双曲线右支于点,若,则该双曲线的离心率为_________
【答案】
【解析】
取双曲线的右焦点,连接,延长交双曲线于,连接,(如图)
由,
可得四边形为矩形,
设,
由对称性可得:
,,
即有,
由双曲线的定义可得:
①
在直角三角形中,
,
可得,②
由①②可得,即,
代入①可得:
,
化简可得:
,
即有
故答案为:
20、(2018年高考浙江卷)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=___________时,点B横坐标的绝对值最大.
【答案】
【解析】设,,
由得,,
所以,
因为,在椭圆上,所以,,
所以,
所以,
与对应相减得,,
当且仅当时取最大值.
四、解答题
21、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)已知直线与椭圆恰有一个公共点,与圆相交于两点.
(I)求与的关系式;
(II)点与点关于坐标原点对称.若当时,的面积取到最大值,求椭圆的离心率。
【解析】
(I)由,得,
则
化简整理,得;
(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,故的面积是的面积的两倍。
所以当时,的面积取到最大值,此时,
从而原点到直线的距离,
又,故.
再由(I),得,则。
又,故,即,
从而,即.
22、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)已知A、B分别为椭圆E:
(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:
直线CD过定点。
【解析】
(1)由题设得A(–a,0),B(a,0),G(0,1).
则,=(a,–1)。
由=8得a2–1=8,即a=3。
所以E的方程为+y2=1.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t)。
若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知–3〈n〈3.
由于直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3)。
直线PB的方程为y=(x–3),所以y2=(x2–3)。
可得3y1(x2–3)=y2(x1+3).
由于,故,可得,
即①
将代入得
所以,.
代入①式得
解得n=–3(含去),n=.
故直线CD的方程为,即直线CD过定点(,0).
若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点(,0).
综上,直线CD过定点(,0)。
23、(2020届浙江省嘉兴市5月模拟)设点为抛物线上的动点,是抛物线的焦点,当时,.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作圆:
的切线,,分别交抛物线于点.当时,求面积的最小值.
【解析】
(1)当时,,
所以,故所求抛物线方程为.
(2)点为抛物线上的动点,则,
设过点的切线为,
则,
得,
是方程(*)式的两个根,
所以,,
设,
因直线,与抛物线交于点A,
则得,
所以,即,
同理,
设直线,
则,
,
又,
,
所以
令,,
当且仅当,即时,取得最小值.
24、(2020年高考全国Ⅱ卷理数)已知椭圆C1:
(a〉b〉0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点,若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
【解析】
(1)由已知可设的方程为,其中。
不妨设在第一象限,由题设得的纵坐标分别为,;的纵坐标分别为,,故,.
由得,即,解得(舍去),。
所以的离心率为.
(2)由
(1)知,,故,
设,则,,故.①
由于的准线为,所以,而,故,代入①得,即,解得(舍去),。
所以的标准方程为,的标准方程为.
25、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)已知椭圆的离心率为,,分别为的左、右顶点.
(1)求的方程;
(2)若点在上,点在直线上,且,,求的面积.
【解析】
(1)由题设可得,得,
所以的方程为.
(2)设,根据对称性可设,由题意知,
由已知可得,直线BP的方程为,所以,,
因为,所以,将代入的方程,解得或。
由直线BP的方程得或8.
所以点的坐标分别为。
,直线的方程为,点到直线的距离为,故的面积为.
,直线的方程为,点到直线的距离为,故的面积为.
综上,的面积为。
26、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知椭圆的离心率e满足,右顶点为A,上顶点为B,点C(0,-2),过点C作一条与y轴不重合的直线l,直线l交椭圆E于P,Q两点,直线BP,BQ分别交x轴于点M,N;当直线l经过点A时,l的斜率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)证明:
为定值.
【解析】
(1)由解得或(舍去),
∴,又,
,
又,
,,
椭圆E的方程为;
(2)由题知,直线的斜率存在,设直线的方程为,
设,
由得,
∴,
=
∴,
=,
直线BP的方程为,令解得,则,
同理可得,
=
==,
为定值.
27、(2020届山东省烟台市高三上期末)已知椭圆的离心率为,是其右焦点,直线与椭圆交于,两点,。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设,若为锐角,求实数的取值范围。
【解析】
(1)设为椭圆的左焦点,连接,由椭圆的对称性可知,,
所以,所以,
又,,解得,,
所以椭圆的标准方程为
(2)设点,则,,
联立,得,
所以,,
因为为锐角,所以,
所以
,
解得或
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