二次函数同步辅导2Word文档格式.docx
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判断C项正确关键点在理解二次
函数y=x2-4x+3,与一元二次方程x2-4x+3=0
的关系,x2-4x+3=0的根为x1=1,x2=3.满足函数y=x2-4x+3<
0的x是图像在(1,0),(3,0)之间x轴下方的部分,所以x2-4x+3<0的解集是1<x<3正确。
例2:
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点,则二次函数y=x2-mx+m-2(m为实数)的零点的个数是( )
A、1B、2C、0D、不能确定
D
由题意可知:
函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点
△=(-m)2-4×
1×
(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4
∵(m-2)2一定为非负数
∴(m-2)2+4>0
∴二次函数y=x2-mx+m-2(m为实数)的零点的个数是2.
故选B.
判断二次函数y=x2-mx+m-2的零点的个数,也就是判断二次函数y=x2-mx+m-2与x轴交点的个数;
根据△与0的关系即可作出判断.
例3:
抛物线y=x2-4x-5与x轴交于点A、B,点P在抛物线上,若△PAB的面积为27,则满足条件的点P有( )
A、1个B、2个C、3个D、4个
∵抛物线y=x2-4x-5与x轴交于点A、B两点.
∴0=x2-4x-5,
∴x1=-1,x2=5,
∴AB=5-(-1)=6,
∵△PAB的面积为27,
∴点P的纵坐标的绝对值为2×
27÷
6=9,
①当纵坐标为9时,
x2-4x-5=9,
x2-4x-14=0,
△>0,
∴在抛物线上有2个点;
②当纵坐标为-9时,
x2-4x-5=-9,
△=0,
∴在抛物线上有1个点;
∴满足条件的点P有3个,故选C.
用到的知识点为,x轴上的点的纵坐标为0;
△>0,与抛物线有2个交点;
△=0,与抛物线有1个交点,△<0,与抛物线没有交点.要注意:
若△PAB的面积为27。
则点P的纵坐标的绝对值为9,有同学粗心写成点P的纵坐标为9出现错误。
例4:
某公司经销一种绿茶,每千克成本为50元.市场调查发现,在一段时间内,销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化,具体关系式为:
w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元),解答下列问题:
(1)求y与x的关系式;
(2)当x取何值时,y的值最大?
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克,公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润,销售单价应定为多少元?
错解
(1)因为y=x∙w=x∙(-2x+240)=-2x2+240x,
所以y与x的关系式为:
y=-2x2+240x.
(2)因为y=-2x2+240x=-2(x-60)2+7200,
所以当x=60时,y的值最大.
(3)当y=2250时,可得方程-2(x-60)2+7200=2250.
解这个方程,得x1=60+15
,x2=60-15
.
所以当销售单价为60+15
元,或60-15
元时,可获得销售利润2250元.
剖析 题目中明确说明销售利润为y元,而销售单价x元/千克中含有成本为50元/千克,所以本题在求销售利润时,错误地认为销售单价就是纯利润的单价,另外,求得的销售单价有一个最高限价,走出这个最高限价的应舍去.
正解
(1)因为y=(x-50)∙w=(x-50)∙(-2x+240)=-2x2+340x-12000,
y=-2x2+340x-12000.
(2)因为y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450,
所以当x=85时,y的值最大.
(3)当y=2250时,可得方程-2(x-85)2+2450=2250.
解这个方程,得x1=75,x2=95.
根据题意,x2=95不合题意应舍去.
所以当销售单价为75元时,可获得销售利润2250元.
点拨 利用二次函数求解实际问题时,除了要能正确求解外,还要注意使求得的结果符合实际意义.
二次函数应用题典例剖析
小强在一次投篮训练中,从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去,球的飞行路线为抛物线,当球达到离地面最大高度3.55米时,球移动的水平距离为2米.现以O点为坐标原点,建立直角坐标系(如图所示),测得OA与水平方向OC的夹角为30o,A、C两点相距1.5米.
(1)求点A的坐标;
(2)求篮球飞行路线所在抛物线的解析式;
(3)判断小强这一投能否把球从O点直接投入
篮圈A点(排除篮板球),如果能的,请说明理由;
如果不能,那么前后移动多少米,就能使刚才那一
投直接命中篮圈A点了.(结果可保留根号)
分析:
(1)利用直角三角形的边角关系得到OC的长,可以确定点A的坐标.
(2)根据球到达的最大高度和移动的水平距离确定抛物线的顶点坐标,设出抛物线的顶点式,然后把O(0,0)代入顶点式,求出抛物线的解析式.(3)把点A的坐标代入抛物线的解析式,发现抛物线的两边不等,说明点A不在抛物线上,那么小强不能从O点把球投入.把y=1.5代入抛物线求出x的值,得到小强后退的距离.
题设结合实际情景给出了一定数与量的关系,要求在分析的基础上直接写出函数关系式,并进行应用。
解答的关键是认真分析题意,正确写出数量关系式。
一点就通二次函数与面积
如图,已知平面直角坐标系xOy中,点A(m,6),B(n,1)为两动点,其中0<m<3,连接OA,OB,OA⊥OB.
(1)求证:
mn=-6;
(2)当S△AOB=10时,抛物线经过A,B两点且以y轴为对称轴,求抛物线对应的二次函数的关系式;
(3)在
(2)的条件下,设直线AB交y轴于点F,过点F作直线l交抛物线于P,Q两点,问是否存在直线l,使S△POF:
S△QOF=1:
3?
若存在,求出直线l对应的函数关系式;
若不存在,请说明理由.
(1)作BC⊥x轴于C点,AD⊥x轴于D点,证明△CBO∽△DOA,
利用线段比求出mn.
(2)由
(1)得OA=mBO推出
OB•OA=10,根据勾股定理求出
mn的值.然后可得A,B的坐标以及抛物线解析式.
(3)假设存在直线l交抛物线于P、Q两点,使
,作
PM⊥y轴于M点,QN⊥y轴于N点,设P坐标为(t,-t2+10),
证明△PMF∽△QNF推出t值,继而可解出点P、Q的坐标.
数学广角
工人王师傅有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4dm,抛物线顶点处到边MN的距离是4dm,要在铁皮上截下一矩形ABCD,使矩形顶点B、C落在边MN上,A、D落在抛物线上,王师傅想截下的矩形铁皮的周长等于8dm,你能否帮他实现?
析解:
由“抛物线”联想到二次函数。
如图4,以MN所在的直线为x轴,点M为原点建立直角坐标系。
设抛物线的顶点为P,则M(0,0),N(4,0),P(2,4)。
用待定系数法求得抛物线的解析式为
。
设A点坐标为(x,y),则AD=BC=2x-4,AB=CD=y。
于是
且x的取值范围是0<
x<
4(x≠2)。
若l=8,则
,即
解得
而0<
故l的值不可能取8,即截下的矩形周长不可能等于8dm。
所以我不能帮他实现。
二次函数同步辅导2试题
选择题
1.二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是-4,则a的值是(
)
A.-4
B.1
C.-1
D.-4或1
2.如图,抛物线
的对称轴是直线
,且经过点
(3,0),则
的值为
A.0B.-1C.1D.2
3.已知二次函数
的图象如图所示,
当
时,
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
或
4足球队在某次训练中,一队员在距离球门12米处挑射,正好射中了2.4米高的球门横梁,若足球运行的路线是抛物线
如图所示,则下列结论①
,②
,③
,④
其中正确的是(
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
填空题
1.若抛物线y=x2+5x+a2与直线y=x-1相交,那么它们的交点必在第象限
2.抛物线y=ax2+bx+c过(2,6),(4,6)两点,一元二次方程ax2+bx+c=k,当k>7时无实数根,当k≤7时有实数根,则抛物线的顶点坐标是(3,7)
3.二次函数y=x2+(2+k)x+2k与x轴交于A,B两点,其中点A是个定点,A,B分别在原点的两侧,且OA+OB=6,则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为,
4.将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值
是cm2.
解答题
1.抛物线过(-1,-1)点,它的对称轴是直线
,且在x轴上截取长度为
的线段,求解析式。
2.如图所示,在直角三角形的内部做一个长方形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上。
(1)设长方形的一边AB=x,那么AD边的长度如何表示?
(2)设长方形的面积为y,当x取何值时,y的值最大,最大值是多少?
3.某公司生产的A种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告。
根据经验,每年投入的广告费是x(十万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表:
x(十万元)
1
2
…
y
1.5
1.8
(1)求y与x的函数关系式;
(2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式;
(3)如果投入的年广告费为10—30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?
4.图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图2).
(1)求抛物线表达式.
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
5.(2011贵州安顺)如图,抛物线y=
x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0).
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
⑵判断△ABC的形状,证明你的结论;
⑶点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.
二次函数同步辅导2试题答案
选择题答案
2.A3.A
填空题答案
1.三
2.解:
∵(2,6),(4,6)两点关于直线x=3对称,
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=3,即抛物线的顶点横坐标为3,
∵一元二次方程ax2+bx+c=k,当k>7时无实数根,当k≤7时有实数根,
∴7为函数y=ax2+bx+c的最值,即抛物线的顶点纵坐标为7,
则抛物线的顶点坐标是(3,7).
3.(
,0)
4.12.5
1.解:
∵对称轴为
∴可设二次函数解析式为
∵在x轴上截取长度为
∴抛物线过
与
两点
又∵(-1,-1)在抛物线上
由<
1>
、<
2>
解得:
∴解析式为
即
(1)∵长方形的一边长AB=x.DA⊥AB,CB⊥AB
∴DC∥AB,∴
,∴AD=30-
(2)∵长方形的面积为y
∴
∵
∴x=20时,
3.解:
(1)因为题中给出了y是x的二次函数关系,所以用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为
(2)由题意得S=10y(3-2)-x
(3)由
(2)
及二次函数性质知,当1≤x≤2.5,即广告费在10—25万元之间时,S随广告费的增大而增大。
4.解:
(1)由题意可得抛物线的顶点坐标为
,与
轴的交点坐标是
.
设抛物线所对应的二次函数表达式是
把
代入
,得
所以
(2)由已知得两景观灯的纵坐标都是
,
所以两景观灯间的距离为
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