小波滤波方法及应用.pdf
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小波滤波方法及应用姚舜理1摘要:
小波分析理论是一种新兴的信号处理理论,它在时间上和频率上都有很好的局部性。
早期的基于傅里叶变换的时不变滤波方法可以将信号与噪声分开,但是当他们的频谱重叠时,这种方法无法完成。
利用小波分析,基于信号和噪声的小波系数在尺度上的不同性质,采用相应的规则,对含噪信号的小波系数进行取舍、抽切或切削等非线性处理,达到滤波的目的。
通过实验证明,这种去噪处理方法已取得良好效果。
关键字:
小波分析,阈值函数,小波系数,小波滤波MethodsandApplicationsofWaveletFilterYaoShunli1ABSTRACT:
Theoryofwaveletanalysisisanewsignalprocessingtheory,whichhasverygoodlocalityintimeandfrequency.Inearlystage,Timeinvariantfilteringmethod,basedonFouriertransforms(FT),canseparatethesignalandnoise,however,thismethodisnotapplicablewhenspectrumoverlay.BasedonthedifferentcharacteristicsofSignalandnoiseonwaveletcoefficients,wecanusewaveletanalysisandCorrespondingrulestomakenonlinearprocessingofnoised-signalthattrade-offs,drawandcut,ordelete,torealizefiltering.Fromtheexperiment,thisdenoisingprocesshasacquiredgoodresults.Keywords:
waveletanalysis,thresholdfunction,waveletcoefficients,waveletfilter1.引言引言近年来,研究者将小波滤波广泛应用于有关信号及图像处理中1-9,由于不同尺度上的信号和噪声具有不同特征,小波分析使信号和图像的多尺度处理技术得到迅速发展。
随着小波分析的发展,基于小波分析和子带分解的边缘检测与滤除噪声的方法得到迅速发展4,10。
不同尺度上的信号和噪声具有不同特征,小波分析使信号和图像的多尺度处理技术得到迅速发展。
小波滤波可按以下特征分类:
按所采用的变换方法分为:
进行基变换、利用框架变换和通过选取最优基变换。
按所利用的小波性质分为:
能量集中性、多分辨率特性、尺度内相关性和时频局部化特性。
按使用的模型分为:
贝叶斯方法、非贝叶斯方法等。
从数学地角度来看,信号与图像处理可以统一看作是信号处理(图像可以看作是二维信号),在小波分析地许多分析的许多应用中,都可以归结为信号处理问题。
对于其性质随时间是稳定不变的信号,处理的理想工具仍然是傅立叶分析。
但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的,而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。
2.小波滤波原理小波滤波原理2.1小波变换简介小波变换简介信号的连续小波变换定义为:
(2.1)其中(2.2)为小波基函数,a为尺度因子,b为平移因子。
适当选择母小波,可使及其傅里叶变换同时具有较好的局部性,因此小波分析是时频分析11。
在离散小波变换中,常用的离散方法是将a按幂级数离散,b在尺度内均匀离散,即,(,j,n为整数。
若取,并将t轴用归一化,有(2.3)信号的离散小波变换为(2.4)2.2小波滤波原理小波滤波原理小波变换具有时域局部变化特性、多分辨特性、去相关特性和选基灵活性。
前两个性质决定了小波滤波方法与传统方法相比具有独特的优势既能够在去除噪声的同时,很好的保留信号的突变部分或图像的边缘。
小波滤波特点:
非平滑性。
平滑是去除高频信息而保留低频信息;而小波滤波主要是试图去除所有噪声,保留所有信号,并不考虑他们的频率范围。
他是小波变换域对小波系数进行非线性处理。
小波滤波的过程如下:
选择合适小波并确定变换层数,对实际信号进行小波分解,图2.1所示是带噪信号,在MATLAB中采用db3对该信号进行分解,得到各尺度的信号如图2.1。
其中a3为四次分解后的近似部分,cd3到cdl分别为第三次、第二次和第一次分解后的细节部分。
从图形上可以看出,信号的主要能量集中在a3上。
从多分辨率的角度来看,也符合其基本规律,因为从信号的表达式可以看出,有效信号全部集中在大尺度下。
选择一定的规则对小波系数进行非线性处理。
用新的小波系数重构信号,即滤波后信号。
含噪信号经小波变换后,小波系数主要由噪声和信号的细节特征组成。
基于此,本文给出如下描述:
小波滤波,就是利用具体问题的先验知识,根据信号系数和噪声系数在不同尺度上具有不同性质的机理,构造相应规则,在小波域对含噪信号的系数进行处理。
目的在于减小甚至完全剔除噪声系数,同时最大限度地保留信号系数,得到真实信号的最优估计。
“最优”的精确定义依赖于应用要求。
关于小波滤波还有几点需要说明:
首先,不是平滑,而是试图去除所有噪声,保留所有信号,并不考虑它们的频率范围。
其次,是在小波域对小波系数进行处理。
第三,滤波过程一般由3个步骤完成:
(1)小波变换:
(2)对小波系数非线性处理,以滤除噪声;(3)小波逆变换。
最后,小波滤波是一种非参数方法12图2.1信号采用db3小波进行3层分解3.小波域的三种滤波法小波域的三种滤波法小波滤波研究主要集中在三个方向,包括基于信号奇异性的模极大值重构滤波、基于信号尺度间相关性的空域相关滤波和基于小波变换解相关性的小波阈值滤波。
3.1小波模极大值滤波算法小波模极大值滤波算法由于小波变换在信号和噪声中有着不同的传播特性,即随着尺度的增大,信号和噪声所对应的模极大值分别是增大和减小,因此,连续做若干次小波变换之后,由噪声对应的模极大值已基本去除或幅值很小,而所余极值点主要由信号控制。
基于这一原理,有如下滤波算法:
(1)对加噪信号进行二进小波变换,一般为45个尺度,并求出每一尺度上小波变换系数的模极大值;
(2)从最大尺度(设为4)开始,选一阈值A,若极值点对应的幅值的绝对值小于A。
则去掉该极值点;否则予以保留。
这样就得到最大尺度上新的模极大值点;(3)在尺度为j=1(j=4,3)上寻找尺度为j上小波变换模极大值点的传播点,即保留由信号产生的极值点,去除由噪声引起的极值点。
(4)在尺度为j上的极大值点位置,构造一个邻域O(),其中,为尺度j的第i个极值点,为仅与尺度j有关的常数。
在尺度为j-1上的极大值点中保留落在每一邻域O()上的极大值点,而去除落在邻域外面的极值点,从而得到j-1尺度上新的极值点。
然后令j=j-1,重复步骤4,直至j=2为止;0100200300300400500原始信号010203040-20020第3层高频分解cd3020406080-20020第2层高频分解cd2050100150-20020第1层高频分解cd1010203040100012001400第3层低频分解ca30204060806008001000第2层低频分解ca2050100150500600700第1层低频分解ca10100200300300400500重构信号(5)在j=2时存在极值点的位置上,保留j=l时的相应极值点,在其余位置将极值点置为0;(6)将每一尺度上保留下来的极值点利用适当的方法重构小波系数,然后利用重构得到的小波系数对信号进行恢复。
3.2小波域阈值滤波算法小波域阈值滤波算法信号经过小波变换后,可以认为由信号产生的小波系数包含有信号的重要信息,其幅值较大,但数目较少,而噪声对应的小波系数幅值小。
通过在不同尺度上选取一合适的阈值,并将小于该阈值的小波系数置零,而收缩或保留大于阈值的小波系数,从而使信号中的噪声得到有效地抑制,最后进行小波逆变换,得到滤波后的重构信号。
经过这样处理的信号就达到了滤波的目的。
小波域阈值滤波是根据信号和噪声在不同尺度上小波变换的不同形态表现,构造出相应的规则,对信号和噪声的小波变换系数进行处理,处理的实质在于减小以完全剔除由噪声产生的系数,同时最大限度地保留有效信号对应的小波系数。
算法实现思路:
对信号求小波变换;除了最粗尺度信号外,将各细节信号作阈值处理,当某位置小波变换值大于阅值时,保留原值,否则置零;利用小波变换重构,求出信号的滤波值。
3.3空域相关滤波算法空域相关滤波算法信号经过小波变换之后,其小波系数在各尺度上有较强的相关性,尤其是在信号的边缘附近,其相关性更加明显,而噪声对应的小波系数在尺度间却没有这种明显的相关性。
因此,可以考虑利用小波系数在不同尺度上对应点处的相关性来确定该系数是信号系数还是噪声系数,从而进行取舍,这样处理后的小波系数基本上对应着信号的边缘,达到了滤除噪声的目的。
信号的突变点在不同尺度的同一位置都有较大的峰值出现,噪声能量却随着尺度的增加而减小。
因此,可以取相邻尺度的小波系数直接相乘进行相关计算,这样做相关计算将在锐化信号边缘与其他重要特征的同时抑制噪声,而且能够提高信号主要边缘的定位精度,更好地刻画真实信号。
具体实现思路:
若则认为点k处的小波变换是由信号控制,相关运算的结果将使该点所对应的小波变换的幅值增大。
将赋给相应位置,并将置0;否则,认为点k处的小波变换由噪声控制,因此保留置相应位置为0,然后在每一尺度上重新计算,。
最后运算的结果为保留由有效信号控制的点,而M中的点全部对应着噪声。
4.小波滤波器应用小波滤波器应用单尺度指进行一层小波分解,形式上是一个高通,一个低筒FIR算法,再分别按两下采样(每两个点舍去一个点)。
利用db4小波单层分解带有随机噪声的信号,并且设置其高、低通过滤波器,从而利用滤波器来分解信号,最后重构信号。
图4.1利用滤波器分解信号02468101214160510原始信号051015051015近似系数051015-202细节系数051015051015利用高低通滤波器分解出近似系数051015-202利用高低通滤波器分解出细节系数图4.2利用滤波器重构信号滤波器设置与利用滤波器重构信号如图4.1和4.2所示。
可见,小波重构过程类似于FIR滤波运算过程5.总结总结尽管小波滤波技术已成功运用于多种领域,但总的来说,目前该方法的工程应用与其理论发展相比还显得滞后和不足,许多应用研究还停留在仿真实验阶段。
相信许多学者也正在为架起该理论与实际应用的桥梁而努力,所有这些努力的意义都在于能够将小波这个数学上十分优美的理论更好、更容易地应用到工程中去。
某一特定的小波滤波方法不可能适用于所有的实际应用问题,目前在方法的选择上尚未形成统一的框架,而在应用设计上则缺乏有效的指导原则,与传统滤波器之间的定量关系的研究更是成效甚微。
参考文献参考文献1.BerknerK.WellsROSmoothnessestimatesforsoft-thresholddenoisingviatranslation-invariantwavelettransforms2002(01)2.ChangSG.YuB.VetterliMSpatiallyadaptivewaveletthresholdingwithcontextmodelingforimagedenoising外文期刊2000(09)3.LuJ.XuYS.WeaverJBNoisereductionbyconstrainedreconstructionsinthewavelet-transformdomain19914.MallatS.HwangWLSingularitydetectionandprocessingwithwavelets外文期刊1992(02)5.XuYS.WeaverJB.HealyDMWavelettransformdomainfilters:
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