江苏高考数学试卷及答案.pdf
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江苏高考数学试卷及答案.pdf
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数学玉试题参考公式:
(第3题)摇摇圆柱的侧面积公式:
S圆柱侧=cl,其中c是圆柱底面的周长,l为母线长.圆柱的体积公式:
V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积,h为高.一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上踿踿踿踿踿踿踿踿.1.已知集合A=-2,-1,3,4,B=-1,2,3,则A疑B=摇银摇.2.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为摇银摇.3.右图是一个算法流程图,则输出的n的值是摇银摇.4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是摇银摇.5.已知函数y=cosx与y=sin(2x+渍)(0臆渍仔),它们的图象有一个横坐标为仔3的交点,则渍的值是摇银摇.(第6题)6.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:
cm),所得数据均在区间80,130上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有摇银摇株树木的底部周长小于100cm.7.在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是摇银摇.8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且S1S2=94,则V1V2的值是摇银摇.9.在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆x()-22+y()+12=4截得的弦长为摇银摇.10.已知函数()fx=x2+mx-1,若对于任意x沂m,m+1,都有()fxb0)的左、右焦点,顶点B的坐标为0,()b,连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.
(1)若点C的坐标为43,13,且BF2=2,求椭圆的方程;
(2)若F1C彝AB,求椭圆离心率e的值.18.(本小题满分16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:
新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan蚁BCO=43.
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
19.(本小题满分16分)已知函数()fx=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:
()fx是R上的偶函数;
(2)若关于x的不等式()mfx臆e-x+m-1在0,+()上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:
存在x0沂1,+),使得fx()0a-x30+3x()0成立.试比较ea-1与ae-1的大小,并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称an是“H数列冶.
(1)若数列an的前n项和Sn=2n(n沂N*),证明:
an是“H数列冶;
(2)设an是等差数列,其首项a1=1,公差d0),则t1,所以m臆-t-1t2-t+1=-1t-1+1t-1+1对任意t1成立.因为t-1+1t-1+1逸2t()-11t-1+1=3,所以-1t-1+1t-1+1逸-13,当且仅当t=2,即x=ln2时等号成立.因此实数m的取值范围是-,-13.(3)解:
令函数()gx=ex+1ex-a-x3+3()x,则()g忆x=ex-1ex+3ax2()-1.当x逸1时,ex-1ex0,x2-1逸0,又a0,故()g忆x0.所以()gx是1,+)上的单调增函数,因此()gx在1,+)上的最小值是g()1=e+e-1-2a.由于存在x0沂1,+),使ex0+e-x0-a-x30+3x()00成立,当且仅当最小值g
(1)0.故e+e-1-2ae+e-12.02令函数()hx=x()-e-1lnx-1,则()h忆x=1-e-1x.令()h忆x=0,得x=e-1.当x沂(0,e-1)时,()h忆x0,故()hx是(e-1,+)上的单调增函数.所以()hx在0,+()上的最小值是h()e-1.注意到h()1=h()e=0,所以当x沂(1,e-1)哿(0,e-1)时,h()e-1臆()hxh()1=0;当x沂(e-1,e)哿(e-1,+)时,()hxh()e=0.所以()hx0对任意的x沂1,()e成立.淤当a沂e+e-12,e哿1,()e时,()ha0,即a()-1e-1lna,从而ea-1h()e=0,即a()-1e-1lna,故ea-1ae-1.综上所述,当a沂e+e-12,e时,ea-1ae-1.20.本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力及推理论证能力.满分16分.
(1)证明:
由已知,当n逸1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H数列冶.
(2)解:
由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为an是“H数列冶,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d0,所以m-20,y0,证明:
(1+x+y2)(1+x2+y)逸9xy.揖必做题铱第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域踿踿踿踿踿踿踿内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).23.(本小题满分10分)已知函数f0(x)=sinxx(x0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n沂N*.
(1)求2f1仔2+仔2f2仔2的值;
(2)证明:
对任意的n沂N*,等式nfn-1仔4+仔4fn仔4=22都成立.数学域(附加题)参考答案21.揖选做题铱A.选修4-1:
几何证明选讲本小题主要考查圆的基本性质,考查推理论证能力.满分10分.证明:
因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC.故蚁OCB=蚁B.(第21-A题)又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,故蚁B,蚁D为同弧所对的两个圆周角,所以蚁B=蚁D.因此蚁OCB=蚁D.B.选修4-2:
矩阵与变换本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.摇解:
由已知,得住琢=-121x2y=-2+2y2+xy,注琢=112-12y=2+y4-y.因为住琢=注琢,所以-2+2y2+xy=2+y4-y.故-2+2y=2+y,2+xy=4-y.解得x=-12,y=4.所以x+y=72.C.选修4-4:
坐标系与参数方程本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:
将直线l的参数方程x=1-22t,y=2+22t代入抛物线方程y2=4x,22得2+22t2=41-22t.解得t1=0,t2=-82.所以AB=t1-t2=82.D.选修4-5:
不等式选讲本小题主要考查算术-几何平均不等式,考查推理论证能力.满分10分.证明:
因为x0,y0,所以1+x+y2逸33xy20,1+x2+y逸33x2y0,故(1+x+y2)(1+x2+y)逸33xy233x2y=9xy.摇22.揖必做题铱本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:
(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以P=C24+C23+C22C29=6+3+136=518.摇
(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.X=4表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球冶,故P(X=4)=C44C49=1126;X=3表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球,或3个黄球和1个其他颜色的球冶,故P(X=3)=C34C15+C33C16C49=20+6126=1363;于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-1363-1126=1114.所以随机变量X的概率分布如下表:
X234P111413631126因此随机变量X的数学期望()EX=2伊1114+3伊1363+4伊1126=209.23.揖必做题铱本题主要考查简单的复合函数的导数,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.
(1)解:
由已知,得f1()x=f忆0()x=sinxx忆=cosxx-sinxx2,于是f2()x=f忆1()x=cosxx忆-sinxx2忆=-sinxx-2cosxx2+2sinxx3,所以f1仔2=-4仔2,f2仔2=-2仔+16仔3.故2f1仔2+仔2f2仔2=-1.
(2)证明:
由已知,得xf0()x=sinx,等式两边分别对x求导,得f0()x+xf忆0()x=cosx,即f0()x+xf1()x=cosx=sinx+仔2,类似可得摇2f1()x+xf2()x=-sinx=sinx+()仔,摇3f2()x+xf3()x=-cosx=sinx+3仔2,4f3()x+xf4()x=sinx=sinx+2()仔.摇下面用数学归纳法证明等式nfn-1()x+xfn()x=sinx+n仔2对所有的n沂N*都成立.32(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1()x+xfk()x=sinx+k仔2.因为kfk-1(x)+xfk(x)忆=kf忆k-1(x)+fk(x)+xf忆k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),sinx+k仔2忆=cosx+k仔2x+k仔2忆=sinx+(k+1)仔2,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sinx+(k+1)仔2.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1()x+xfn()x=sinx+n仔2对所有的n沂N*都成立.令x=仔4,可得nfn-1仔4+仔4fn仔4=sin仔4+n仔2(n沂N*).所以nfn-1仔4+仔4fn仔4=22(n沂N*).
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