2020年浙江省台州市中考数学重点题型-圆的综合专题训练含答案-(1).docx
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2020年浙江省台州市中考数学重点题型-圆的综合专题训练
1.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,D为AC的中点,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为5,AB=8,求CE的长.
2.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为点E,以AE为直径的⊙O与边CD相切于点F,连接BF交⊙O于点G,连接EG.
(1)求证:
CD=AD+CE.
(2)若AD=4CE,求tan∠EGF的值.
3.如图,△ABC内接于⊙O,AD与BC是⊙O的直径,延长线段AC至点G,使AG=AD,连接DG交⊙O于点E,EF∥AB交AG于点F.
(1)求证:
EF与⊙O相切.
(2)若EF=23,AC=4,求扇形OAC的面积.
4.如图,M,N是以AB为直径的⊙O上的点,且AN=BN,弦MN交AB于点C,BM平分∠ABD,MF⊥BD于点F.
(1)求证:
MF是⊙O的切线;
(2)若CN=3,BN=4,求CM的长.
5.如图,⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C,D;与边BC相交于点F,OA与CD相交于点E,连结FE并延长交AC边于点G.
(1)求证:
DF∥AO.
(2)若AC=6,AB=10,求CG的长.
6.如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,延长BC至点D,使CD=CA,连接AD交⊙O与点E,连接BE,CE.
(1)求证:
△ABE≌△CDE;
(2)填空:
①当∠ABC的度数为________时,四边形AOCE是菱形;
②若AE=3,AB=22,则DE的长为________.
7.如图,AB为⊙O直径,C、D为⊙O上的点,∠ACD=2∠A,CE⊥DB交DB的延长线于点E.
(1)求证:
直线CE与⊙O相切;
(2)若AC=8,AB=10,求CE的长.
8.已知,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,在CD的延长线上取一点P,PG与⊙O相切于点G,连接AG交CD于点F.
(1)如图①,若∠A=20°,求∠GFP和∠AGP的大小;
(2)如图②,若E为半径OA的中点,DG∥AB,且OA=23,求PF的长.
9.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE//AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EF=ED.
(1)求证:
DF是⊙O的切线;
(2)连接AF交DE于点M,若AD=4,DE=5,求DM的长.
10.已知:
如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
(1)求证:
∠DAC=∠DBA;
(2)求证:
P是线段AF的中点;
(3)连接CD,若CD﹦3,BD﹦4,求⊙O的半径和DE的长.
11.如图,在⊙O中,AB是直径,半径为R,弧AC=π3R.
求:
(1)∠AOC的度数.
(2)若D为劣弧BC上的一动点,且弦AD与半径OC交于E点.试探求△AEC≌△DEO时,D点的位置.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点,且AD=BD,⊙O是△ACD的外接圆
(1)求证:
直线AB是⊙O的切线;
(2)若AB=10,BC=16,求⊙O的半径.
13.如图,A、B是⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合)、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角.
(1)已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角,
①若AB是⊙O的直径,则∠APB=________°;
②若⊙O的半径是1,AB=2,求∠APB的度数;________
(2)已知O2是⊙O1外一点,以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点,∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交⊙O2于M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.
14.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,F是弧AD上的一点,AF,CD的延长线相交于点G.
(1)若⊙O的半径为32,且∠DFC=45°,求弦CD的长.
(2)求证:
∠AFC=∠DFG.
15.如图的⊙O中,AB为直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,过点D、A分别作⊙O的切线交于点G,并与AB延长线交于点E.
(1)求证:
∠1=∠2.
(2)已知:
OF:
OB=1:
3,⊙O的半径为3,求AG的长.
16.如图,已知AB是半圆O的直径,OC⊥AB交半圆于点C,D是射线OC上一点,连结AD交半圆O于点E,连结BE,CE.
(1)求证:
EC平分∠BED.
(2)当EB=ED时,求证:
AE=CE.
17.如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,过点B作⊙O的切线,与CA的延长线相交于点D,E是BD的中点,延长AE与CB的延长线相交于点F.
(1)求证:
AF是⊙O的切线;
(2)若BE=5,BF=12,求CD的长.
18.如图,⊙O的直径AB长为12,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.
(1)求证:
AC平分∠DAB.
(2)设AD交⊙O于点M,当∠B=60°时,求弧AM的长.
19.如图,在△ABC中,AB=AC=10,以AB为直径的OO与BC相交于点D,与AC相交于点E,DF⊥AC,垂足为F,连接DE,过点A作AG⊥DE,垂足为G,AG与⊙O交于点H.
(1)求证:
DF是⊙O的切线;
(2)若∠CAG=25°,求弧AH的长;
(3)若tan∠CDF=12,求AE的长;
20.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,BD⊥AB,交AC的延长线于点D.
(1)E为BD的中点,连结CE,求证:
CE是⊙O的切线;
(2)若AC=3CD,求∠A的大小.
答案
1.
(1)解:
DE与⊙O相切,理由如下:
如图,连接OD,
∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=90∘,
∵D为AC的中点,∴AD=CD,
∴AD=CD,∴∠ACD=45∘,
∵OA是AC的中点,∴∠ODC=45∘,
∵DE∥AC,∴∠CDE=∠DCA=45∘,
∴∠ODE=90∘,∴DE与⊙O相切
(2)解:
∵⊙O的半径为5,∴AC=10,∴AD=CD=52,
∵AC为⊙O的直径,∴∠ABC=90∘,
∵AB=8,∴BC=6,
∵∠BAD=∠DCE,∠ABD=∠CDE=45∘,
∴ΔABD∼ΔCDE,∴ABCD=ADCE,
∴852=52CE,∴CE=254
2.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵AE⊥BC,
∴AD⊥OA,
∵AO是⊙O的半径,
∴AD是⊙O的切线,
又∵DF是⊙O的切线,
∴AD=DF,
同理可得CE=CF,
∵CD=DF+CF,
∴CD=AD+CE
(2)解:
连接OD,AF相交于点M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC.
∵AD=4CE,
∴设CE=t,则AD=4t,
∴BE=3t,AB=CD=5t,
∴在Rt△ABE中,AE=(5t)2−(3t)2=4t,
∴OA=OE=2t,
∵DA,DF是⊙O的两条切线,
∴∠ODA=∠ODF,
∵DA=DF,∠ODA=∠ODF,
∴AF⊥OD,
∴在Rt△OAD中,tan∠ODA=A0AD=2t4t=12,
∵∠OAD=∠AMD=90°,
∴∠EAF=∠ODA,
∵EF=EF,
∴∠EGF=∠EAF,
∴∠ODA=∠EGF,
∴tan∠EGF=12.
3.
(1)证明:
如图1,连接OE,
∵OD=OE,
∴∠D=∠OED,
∵AD=AG,
∴∠D=∠G,
∴∠OED=∠G,
∴OE∥AG,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∵EF∥AB,
∴∠BAF+∠AFE=180°,
∴∠AFE=90°,
∵OE∥AG,
∴∠OEF=180°﹣∠AFE=90°,
∴OE⊥EF,
∴EF与⊙O相切
(2)解:
如图2,连接OE,过点O作OH⊥AC于点H,
∵AC=4,
∴CH=12AC=2,
∵∠OHF=∠HFE=∠OEF=90°,
∴四边形OEFH是矩形,
∴OH=EF=23,
在Rt△OHC中,
OC=CH2+0H2=22+(23)2=4,
∵OA=AC=OC=4,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠AOC=60°,
∴S扇形OAC=60π⋅42360=83π.
4.
(1)证明:
连接OM,
∵OM=OB,
∴∠OMB=∠OBM,
∵BM平分∠ABD,
∴∠OBM=∠MBF,
∴∠OMB=∠MBF,
∴OM∥BF,
∵MF⊥BD,
∴OM⊥MF,即∠OMF=90°,
∴MF是⊙O的切线
(2)解:
如图,连接AN,ON
∵AN=BN,
∴AN=BN=4
∵AB是直径,AN=BN,
∴∠ANB=90°,ON⊥AB
∴AB=AN2+BN2=42
∴AO=BO=ON=22
∴OC=CN2−ON2=9−8=1
∴AC=22+1,BC=22−1
∵∠A=∠NMB,∠ANC=∠MBC
∴ΔACN∽ΔMCB
∴ACCM=CNBC
∴AC·BC=CM·CN
∴7=3·CM
∴CM=73
5.
(1)证明:
∵AB与⊙O相切于点D,∴∠BCD=∠BDF.
又∵AC与⊙O相切于点C,由切线长定理得AC=AD,
∴CD⊥AO,∴∠BCD=∠CAO=∠DAO,∴∠DAO=∠BDF,∴DF∥AO.
(2)解:
如图,过点E作EM⊥OC于点M.
∵AC=6,AB=10,∴BC=AB2−AC2=8.
∵AD=AC=6,∴BD=AB-AD=4,
∴由△BDF∽△BCD得BD2=BF·BC,解得BF=2,
∴FC=BC-BF=6,OC=12FC=3,∴OA=AC2+CO2=35.
由△OCE∽△OAC得OC2=OE·OA,解得OE=355.∴EMAC=OMOC=OEOA=15,
解得OM=35,EM=65,FM=185.又∵EMGC=FMFC=35,∴CG=53EM=2.
6.
(1)证明:
∵AB=AC,CD=CA
∴∠ABC=∠ACB,AB=CD
.∵四边形ABCE是圆内接四边形
∴∠ABC+∠AEC=180°,∠BAE+∠BCE=180°,
∵∠CED+∠AEC=180°,∠ECD+∠BCE=180°,
∴∠ABC=∠CED,∠BAE=∠ECD
∴∠ACB=∠CED
∴∠ACB=∠AEB
∴∠CED=∠AEB.
在△ABE和△CDE中{∠BAE=∠ECD∠AEB=∠CEDAB=CD
∴△ABE≅△CDE(AAS)
(2)60°;533
7.
(1)解:
连接OC,
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∵∠ACD=2∠A,
∴∠DCO=∠ACO=∠A,
∵∠A=∠D,
∴∠DCO=∠D,
∴OC∥DE,
∵CE⊥DB,
∴OC⊥CE,
∴直线CE与⊙O相切
(2)解:
∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∵AC=8,AB=10,
∴BC=6,
∵直线CE与⊙O相切,
∴∠BCE=∠BAC,
∵∠CEB=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△CBE,
∴ABBC=ACCE,
∴106=8CE,
∴CE=245.
8.
(1)解:
连接OG,
∵CD⊥AB于E,
∴∠AEF=90°,
∵∠A=20°,
∴∠EFA=90°﹣∠A=90°﹣20°=70°,
∴∠GFP=∠EFA=70°,
∵OA=OG,
∴∠OGA=∠A=20°,
∵PG与⊙O相切于点G,
∴∠OGP=90°,
∴∠AGP=∠OGP﹣∠OGA=90°﹣20°=70°.
(2)解:
如图,连结BG,OG,OD,AD,
∵E为半径OA的中点,CD⊥AB,
∴OD=AD=OA,
∴△OAD为等边三角形,
∴∠AOD=60°,
∴∠AGD=12∠AOD=30°,
∵DG∥AB,
∴∠BAG=∠AGD=30°,
∵AB为⊙O的直径,OA=23,
∴∠AGB=90°,AB=43,
∴AG=AB•cos30°=6,.
∵OG=OA,
∴∠OGA=∠BAG=30°,
∵PG与⊙O相切于点G,∴∠OGP=90°,
∴∠FGP=90°﹣30°=60°,
∵∠AEF=90°,AE=3,∠BAG=30°,
∴AF=2,∠GFP=∠EFA=60,
∴△GFP为等边三角形,
∴PF=FG=AG﹣AF=6﹣2=4.
9.
(1)证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠BDE.
∴∠CBD=∠BDE.
∵ED=EF,
∴∠EDF=∠EFD.
∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°,
∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.
∴OD⊥DF.
∵OD是半径,
∴DF是⊙O的切线.
(2)解:
连接DC,
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵∠ABD=∠CBD,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD.
∴CD=AD=4,AB=BC.
∵DE=5,
∴CE=DE2−DC2=3,EF=DE=5.
∵∠CBD=∠BDE,
∴BE=DE=5.
∴BF=BE+EF=10,BC=BE+EC=8.
∴AB=8.
∵DE∥AB,
∴△ABF∽△MEF.
∴ABME=BFEF.
∴ME=4.
∴DM=DE-EM=1.
10.
(1)证明:
∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA,∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,
∴∠DAC=∠CBD,∴∠DAC=∠DBA;
(2)证明:
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∵DE⊥AB于E,
∴∠DEB=90°,
∴∠1+∠3=∠5+∠3=90°,
∴∠1=∠5=∠2,
∴PD=PA,
∵∠4+∠2=∠1+∠3=90°,
∴∠3=∠4,
∴PD=PF,
∴PA=PF,即P是线段AF的中点;
(3)解:
连接CD,
∵∠CBD=∠DBA,
∴CD=AD,
∵CD﹦3,∴AD=3,
∵∠ADB=90°,
∴AB=5,
故⊙O的半径为2.5,
∵DE×AB=AD×BD,
∴5DE=3×4,
∴DE=2.4.
即DE的长为2.4.
11.
(1)解:
设∠AOC=n°,
∵AC=π3R,
∴π3R=nπR180,
∴n=60°,
∴∠AOC=60°
(2)解:
如图,
∵∠AOC=60°,OA=OC,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠ACO=∠AOC=60°.
∵△AEC≌△DEO,
∴∠CAO=∠DOB=∠C=60°,
∴AC∥OD,
∴∠BOD=∠CAO=60°,∠COD=∠C=60°,
∴D是劣弧BC的中点,
∴D的位置,只要满足∠DOB=60°,或AC∥OD或劣弧BC的中点即可.
12.
(1)证明:
连接AO并延长交⊙O于E,连接DE,
∵AB=AC,AD=BD,
∴∠B=∠BAD,∠B=∠C,
∴∠C=∠E,
∴∠E=∠BAD,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠E+∠DAE=90°,
∴∠BAD+∠DAE=90°,
即∠BAE=90°,
∴直线AB是⊙O的切线
(2)解:
过A作AF⊥BC于F,
∵∠B=∠BAD,∠B=∠C,
∴∠BAD=∠C,
∵∠B=∠B,
∴△BAD∽△BCA,
∴BDBA=BABC
∴BD=BA2BC=254,
∴AD=BD=254,
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=12BC=8,
∴AF=AB2−BF2=6,
∵∠E=∠C=∠B,
∴sinE=sinB,
∴AFAB=ADAE,
∴AE=12512,
∴⊙O的半径为12512÷2=12524.
即⊙O的半径为12524
13.
(1)90;解:
如图,连接AB、OA、OB.
在△AOB中,
∵OA=OB=1.AB=2,
∴OA2+OB2=AB2.
∴∠AOB=90°.
当点P在优弧APB上时,∠APB=12∠AOB=45°;
当点P在劣弧AB上时,∠AP′B=12(360°﹣∠AOB)=135°
(2)解:
根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况.
第一种情况:
点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点B在点P与点N之间,如图①
∵∠MAN=∠APB+∠ANB,
∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB;
第二种情况:
点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点N在点P与点B之间,如图②.
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°﹣∠ANB),
∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°;
第三种情况:
点P在⊙O2外,且点M在点P与点A之间,点B在点P与点N之间,如图③.
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°,
∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB,
第四种情况:
点P在⊙O2内,如图④,
∠APB=∠MAN+∠ANB.
14.
(1)解:
如图1,连接OD,OC,
∵直径AB⊥CD,
∴BD=BC,DE=CE,
∴∠DOE=12∠DOC=∠DFC=45°,
又∵在Rt△DEO中,OD=32,
∴DE=3,
∴CD=6
(2)证明:
如图2,连接AC,
∵直径AB⊥CD,
∴AC=AD,
∴∠ACD=∠AFC,
∵四边形ACDF内接于⊙O,
∴∠DFG=∠ACD,
∴∠DFG=∠AFC.
15.
(1)证明:
如图,连接OD,
∵DE为⊙O的切线,∴OD⊥DE.∴∠ODE=90°,即∠2∠ODC=90°,∵OC=OD,∴∠C=∠ODC.∴∠2∠C=90°.∵OC⊥OB,∴∠C∠3=90°.∴∠2=∠3,∵∠1=∠3,∴∠1=∠2
(2)解:
∵OF:
OB=1:
3,⊙O的半径为3,∴OF=1.∵∠1=∠2,∴EF=ED,在Rt△ODE中,OD=3,设DE=x,则EF=x,OE=1+x,所以OD2+DE2=OE2,32+x2=(x+1)2,解得x=4.∴DE=4,OE=5.
∵AG为⊙O的切线,∴AG⊥AE.∴∠GAE=90°.∴∠ODE=∠GAE,∵∠OED=∠GEA,∴Rt△EOD∽Rt△EGA.ODAG=DEAE,3AG=43+5,解得AG=6
16.
(1)证明:
∵AB是半圆O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠DEB=90°.
∵OC⊥AB,
∴∠AOC=∠BOC=90°,
∴∠BEC=45°,
∴∠DEC=45°.
∴∠BEC=∠DEC,
即EC平分∠BEC;
(2)解:
连结BC,OE,
∵BE=DE,∠BEC=∠DEC,EC=EC,
在△BEC与△DEC中,{BE=DE∠BEC=∠DECEC=EC,
∴△BEC≌△DEC,
∴∠CBE=∠CDE.
∵∠CDE=90°﹣∠A=∠ABE,
∴∠ABE=∠CBE.
∵∠AOE=2∠ABE,∠COE=2∠CBE.
∴∠AOE=∠COE,
∴AE=CE.
17.
(1)证明:
连接AB,OA,
∵BC是O的直径,
∴∠BAC=90∘,
∵DB是O的切线,
∴DB⊥BC,
∴∠DBO=90∘,
在Rt△ABD中,E是斜边BD的中线,
∴AE=DE=BE,
∴∠EAB=∠EBA,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∴∠EAB+∠OAB=∠EBA+∠OBA∴∠EAO=∠DBO=90∘,
∴OA⊥AF,
∴AF是O的切线;
(2)解:
∵在Rt△BEF中,BE=5,BF=12,
∴EF=BE2+BF2=52+122=13,
∵FA、DB是O的切线,
∴EA=EB=5,
∴AF=EF+EA=13+5=18,
∵AF2=FB⋅FC,
∴FC=AF2÷FB=182÷12=27,
∴BC=FC−FB=27−12=15,
∵E是BD的中点,
∴BD=2BE=10,
在Rt△DBC中,CD=BD2+BC2=152+102=325=513
18.
(1)证明:
连接OC,
∵DC是⊙O的切线,
∴OC⊥DC,
∵AD⊥CD,
∴AD∥OC,
∴∠DAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠DAC=∠OAC,
即AC平分∠DAB
(2)解:
连接BM、OM,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AMB=90°,∠ACB=90°,
∵∠ABC=60°,
∴∠CAB=30°,
∴∠DAB=2×30°=60°,
∴∠MBA=30°,
∴∠MOA=60°,
∴弧AM的长为:
12π×60360 =2π.
19.
(1)证明:
连接OD、AD,
AB是⊙O的半径,
∴∠ADB=90°,
∵AB=AC,
∵点D是BC的中点,O是AB的中点,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∵OD是⊙O的半径,
DF是⊙O的切线
(2)解:
连接OH,
∵AG⊥DG,∴∠G=90°,
∵∠CAG=25°,
∴∠AEG=65°,
∴∠B=∠AEG=65°,
∴∠BAC=180°﹣65°﹣65°=50°,
∴∠OAH=75°,
∴∠AOH=30°,
∴l弧AH=30⋅π×5180=5π6
(3)解:
∵∠CAD+∠C=90°,∠CDF+∠C=90°,
∴∠CAD=∠CDF,
∴tan∠CAD=tan∠CDF=12,
∴AD=2CD,
∴DC2+(2CD)2=102,
∴CD=25,
∵△CDF∽△CAD,
∴DC2=CF
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