091153028陈燕芳四阶龙格库塔法在物理学上的应用.doc
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设计题目:
四阶龙格库塔法的研究及其
在物理学上的应用
学院:
计算机与信息学院
专业年级:
数学与应用数学2009级
学号:
091153028
学生姓名:
陈燕芳
指导教师、职称:
简林祥讲师
2013年5月20日
StudyonFourOrderRunge-KuttaMethodandItsApplicationinPhysics
College:
ComputerandInformationScience
SpecialtyandGrade:
MathematicsandAppliedMathematics,2009
Number:
091153028
Name:
Chenyanfang
Advisor:
LecturerJianLinXiang
SubmittedTime:
May20,2013
福建农林大学本科毕业论文
目录
摘要 Ι
Abstract Π
1四阶龙格库塔法 1
1.1四阶龙格库塔法的基本原理 1
1.1.1基本思想 1
1.1.2标准式 1
1.2四阶龙格库塔法的性质 2
1.2.1收敛性 2
1.2.2稳定性 2
1.2.3步长的选取 3
1.3四阶龙格库塔的程序算法 4
2物理学上的常微分方程模型 5
2.1力学方面 5
2.2电磁学方面 6
2.3热学方面 7
3质点运动的常微分方程模型 9
3.1模型建立 9
3.2四阶龙格库塔法求解 10
3.2.1微分方程分析 10
3.3求解模型的程序算法 11
4四阶龙格库塔法与物理学的关系 13
5结束语 14
致谢 16
附录A四阶龙格库塔解振荡方程 17
附录B四阶龙格库塔解边界层问题 19
1
摘要
常微分方程在几百年的发展史上,在每个时期最新的技术科学中建立了自己的落脚点,得到了实际的应用,从而刺激它飞跃地发展,在完善理论的同时继续深入其它新兴技术学科领域。
可以说凡采用无穷小分析方法研究物质世界运动状态的问题大体都离不开微分方程。
常微分方程是数学专业的一门重要基础课,也是理工科高等数学的重要组成部分,应用常微分方程的理论与方法描绘热学、力学、电磁学和量子力学中的诸多规律,是其重要的应用领域,同时物理学中提出的新问题也刺激它的不断发展。
许多本质不同的物理现象都可以用相同类型的微分方程来描述。
而在解决常微分方程中,四阶龙格库塔法以其具有精度高、收敛、稳定(在一定条件下),计算过程中可以改变步长,不需要计算高阶导数等优点,成为了最常用的数值解决方法。
在物理学中的各个领域,几乎都可以用常微分方程的模型对其进行求解。
本文通过四阶龙格库塔法将物理学与常微分方程联系得更加紧密。
关键词:
四阶龙格库塔法;常微分方程;物理学。
Abstract
Ordinarydifferentialequationestablisheditsownfootholdinthelatestscienceandtechnologyoneachperiod,inthehistoryofdevelopmentforseveralhundredyears.Ithasbeenappliedtopractice,soastostimulateleapdevelopmentonthis.Atthesametimeofperfectingthetheoryitcontinuesinotheremergingtechnologyfields.Thatweuseinfinitesimalanalysismethodtostudytheproblemofthematerialworldmovementstateisprobablyinseparablefromthedifferentialequation.Theordinarydifferentialequationisanimportantbasiccourseofmathematics.Itisalsoanimportantpartofhighermathematicsinscienceandengineering.Applingthetheoryandmethodsofordinarydifferentialequationstomapmanyrulesofthermal,mechanical,electromagneticandquantummechanicsisoneofthemostimportantapplicationfields.Atthesametime,newproblemsinphysicsalsostimulatedthedevelopmentoftheordinarydifferentialequation.Manydifferentphysicalphenomenawithdifferentnaturecanbedescribedbythedifferentialequationsofthesametype.
Andinthesolutionofordinarydifferentialequation,thefourorderRunge-Kuttamethodwhichhasadvantagesofhighprecision,convergence,stability(undercertainconditions),thecalculationprocesswhichcanchangethestep,notrequiringthecomputationofhighorderderivativesandsoon,hasbecomethemostcommonlymethodtosolvenumerical.Theordinarydifferentialequationmodelcanbeusedtosolvetheprobleminalmostallfieldsofphysics.ThefourorderRunge-Kuttamethodcontactsthephysicswiththeordinarydifferentialequationmoreclosely.
Keywords:
fourorderRunge-Kuttamethod;ordinarydifferentialequations;physics.
Ι
1四阶龙格库塔法
1.1四阶龙格库塔法的基本原理
1.1.1基本思想
“龙格库塔(Runge-Kutta)方法”是一种在工程上应用广泛的“高精度单步算法”。
由于此算法精度高,采取措施对误差进行抑制,所以其实现原理也较复杂。
该算法是构建在数学支持的基础之上的。
一阶:
对于“一阶精度的欧拉公式”有:
(1-1)
二阶:
当用点处的斜率近似值与右端点处的斜率的算术平均值作为平均斜率的近似值,那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式:
(1-2)
依次类推:
如果在区间内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km,并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值,显然能构造出具有很高精度的“高阶计算公式”。
经数学推导、求解,可以得出四阶龙格库塔公式,也就是在工程中应用广泛的经典龙格库塔算法。
1.1.2标准式
通常所说的龙格库塔法就是指四阶龙格库塔法,我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格库塔法公式,即:
(1-3)
{h表示计算过程中选取的步长;表示点处的斜率;
0
表示利用求得的点处的斜率;
表示利用求得的点处的斜率;
表示利用求得的点处的斜率;}
1.2四阶龙格库塔法的性质
1.2.1收敛性
对龙格库塔公式,必须保证当时平均斜率趋近真正斜率,就是要求成立
这个必要条件称为相容性条件,可以用局部截断误差的阶数表示其相容的程度.
另一方面,数值解的计算必须保证当时收敛于精确解,称为收敛性问题,即
收敛性可以用整体误差表示,它包括从初值条件开始由到每步产生的局部截断误差与舍入误差积累的总和。
对某一计算方法,如存在正数M,其整体误差,则称该方法为p阶收敛的。
虽然相容性表示的是计算公式以方程为极限,收敛性表示的是解的计算公式以方程的解为极限,两者的概念不同,但是只要微分方程满足一定条件,则它们是等价的,具体的说,当略而不计舍入误差时,平均斜率函数满足关于y的利普希姿条件,则p阶相容的方法一定是p阶收敛的,则估计式。
舍入误差是由计算机字长、函数计算精度及定点或浮点运算等多种因素产生,分析困难产生,分析较困难,一般当作随机变量处理。
如同是考察截断误差和舍入误差,则整体误差将变成,这里为每一步舍入误差的上界。
这表示缩小步长h会减少截断误差,但因步长数增加又会大舍入误差。
计算时必须选择适合的步长,在截断误差的积累和舍入误差的积累之间取得平衡。
1.2.2稳定性
通过分析常微分方程数值解法稳定性问题的方法,可得到四阶Runge-Kutta公式的稳定性条件:
(1-4)
龙格—库塔方法的推导基于Taylor展开方法,因而它要求所求的解具有较好的光滑性。
如果解的光滑性差,那么,使用四阶龙格—库塔方法求得的数值解,其精度可能反而不如改进的欧拉方法。
在实际计算时,应当针对问题的具体特点选择合适的算法。
对于光滑性不太好的解,最好采用低阶算法而将步长h取小。
1.2.3步长的选取
单从每一步看,步长越小,截断误差就越小,但随着步长的缩小,在一定求解范围内所要完成的步数就增加了.步数的增加不但引起计算量的增大,而且可能导致舍
入误差的严重积累.因此同积分的数值计算一样,微分方程的数值解法也
有个选择步长的问题.
在选择步长时,需要考虑两个问题:
1°怎样衡量和检验计算结果的精度?
2°如何依据所获得的精度处理步长?
考察经典的四阶龙格-库塔公式
从节点出发,先以h为步长求出一个近似值,由于公式的局部截断误差为,故有(1-4)
然后将步长折半,即取为步长,从跨两步到,再求得一个近似值,
每跨一步的截断误差是,因此有
(1-5)
比较(1-4)式和(1-5)式我们看到,步长折半后,误差大约减少到
即有
由此易得下列事后估计式(1-6)
这样,可以通过检查步长,折半前后两次计算结果的偏差
来判定所选的步长是否合适.
具体地说,将区分以下两种情况处理:
1.对于给定的精度,如果,反复将步长折半进行计算,直至
为止.这时取最终得到的作为结果;
2.如果,反复将步长加倍,直到为止,这时再将步长折半一次,就得到所要的结果.
这种通过加倍或折半处理步长的方法称为变步长方法.表面上看,为了选择步长,每一步的计算量增加了,但总体考虑往往是合算的.
1.3四阶龙格库塔的程序算法
算法实现龙格库塔算法关键是选择步长h,必须根据题目的要求选出合适的步长,这对龙格库塔算法结果的精确度及其平滑性尤为重要。
在选择了恰当的步长后,利用上述迭代表达式,并根据题目要求的迭代次数,或求解的精度,利用C语言加以实现。
#include
#include
#definef(x,y)(-1*(x)*(y)*(y))
voidmain(void)
{
doublea,b,x0,y0,k1,k2,k3,k4,h;
intn,i;
printf("inputa,b,x0,y0,n:
");
scanf("%If%If%If%If%d",&a,&b,&x0,&y0,&n);
printf("x0\ty0\tk1\tk2\tk3\tk4\n");
for(h=(b-a)/n,i=0;i!
=n;i++)
{
k1=f(x0,y0);
k2=f(x0+h/2,y0+k1*h/2);
k3=f(x0+h/2,y0+k2*h/2);
k4=f(x0+h,y0+h*k3);
printf("%lf\t%lf\t",x0,y0);
printf("%lf\t%lf\t",k1,k2);
printf("%lf\t%lf\n",k3,k4);
y0+=h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
x0+=h;
}
printf("xn=%lf\tyn=%lf\n",x0,y0);
}
2物理学上的常微分方程模型
物理学研究的内容十分广泛,自然界发生的一切物理现象,诸如物理的位置变动,声、热、光、电、磁等现象,以及物质的结构、聚集状态和各种特性,都是物理学所要研究的.按照所研究的物质运动和具体对象的不同,普通物理学包括力学、热学、光学、电磁学、原子物理学.力学研究的是物体的机械运动规律;热学研究分子、原子、电子、光子等质点做不规则运动所引起的热现象极其热运动的的规律;电磁学研究电和磁现象及其电流、电磁辐射、电磁场等;光学研究光的本性,光的发射、传播和接收的规律,光和其他物质的互相作用比如有光的吸收、散射,光的机械作用和光的热、电、化学效应等及其应用.
2.1力学方面
某飞机以匀速沿轴正向飞行,当飞机行到原点时被发现,随即一导弹从轴上点处发射追击飞机,其速度大小为常数,方向始终指向飞机.
(1)试建立导弹运行轨迹所满足的微分方程及初始条件;
(2)求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中飞机所需的时间.
分析首先建立坐标系,设在时刻,导弹的位置为,其速度方向恒指向飞机,位置为,导弹运行轨迹在处的切线斜率等于的斜率.
解
(1)设导弹运行轨迹方程为,在某时刻,飞机的位置为,导弹的位置为因导弹的速度方向始终指向飞机,故在时刻,导弹运行轨迹的切线斜
率等于,线段的斜率,得到一阶微分方程
两端对求导数,得
又由已知导弹的速度大小为常数,得
有
得到导弹轨迹满足的二阶Cauchy问题
(2-1)
(2)对上述可降价的微分方程令,则有
解得(2-2)
又由
进一步解出导弹运行轨迹为(2-3)
令,即当导弹击中飞机,得,令,最后
即导弹自发射到击中飞机的飞行时间为.
2.2电磁学方面
如图1所示的电路,其中伏,亨,欧,欧.试求:
(1)当开关合上秒后,电感上的电流;
(2)当合上秒后,再合上,求合上秒后电感上的电流.
图2-1
解根据法拉第电磁感应定律,可求得的自感电动势,其中是线圈的自感系数且题设为亨,是通过线圈的电流强度.
若把图1简化为图2,则由电路的基尔霍夫第二定律得,即
这是一个线性方程,求得其通解为
当时,,代入求得,故有(2-4)
(1)当仅合上开关时,也就相当于有在图2中的欧,将其代入题设其它数据得(安),即开关合上秒后,上的电流为安培.
图2-2
(2)合上秒后,再合上开关,这时刚合上时初始条件是时(安);
(3)
、都合上时相当于图2中(欧).将初始条件及代入上
面通解表达式得
以,及其它数据代入,算得(安),即合上秒后再合上,再经秒时电感L上的电流强度近似为安培.
2.3热学方面
设长为的金属细杆,两端放在支架上,如图3,金属杆左端维持在一固定温度,右端维持在一固定温度,,设温度与时间无关,杆件导热系数为,截面面积为,截面的周界为,表面对周围介质传热系数设为常数,杆周围介质的温度为,试确定杆件中任何点的温度与此点离热端距离之间的关系.
图2-3
解:
本例中强调金属细杆,意味着杆横截面上任何点温度只与热端距离有关,与垂直于轴心方向上点的温度变化无关,即只是的函数.
首先取时间的微元段和杆件上距离热端的微元段来应用热传导定律列出方程,因此我们取距端距离为处的,长度为的一个微元段研究热量的传导情况.按照热传导定律,在时间内,通过离杆端的距离为的截面上的热量是.在时间内,通过离杆端的距离为的截面上的热量是,由
所以
.
因此在时间内,介于这两个截面之间长为的杆上传导的热量为上面两个热量之差,即
.
而在这一段时间内,这段长为的杆散发在周围介质中的热量损失为
因为,是任意的,所以
(2-5)
这就是金属杆中热传导方程.
通过以上的例子可以看出,常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的.近几十年来,世界科学技术进入了核能、火箭、人造卫星、数字时代,常微分方程定性理论及方法不论在应用上、理论上均不断地扩展着自身的领域,显示出前所未有的强大生命力.它的理论和方法,过去和现在都对力学、天文、物理、化学、生物、各种技术科学(如自动控制、无线电电子学等)及若干社会科学(如人口理论、经济预测等)提供了有力的工具,后者反过来也不断地向它提出新的问题,刺激着它不断地向前发展.
所以微分方程在分析问题和初步解决某些实际问题的能力方面起着显著的作用.四阶龙格库塔法也在解决问题中起到了很大的作用。
3质点运动的常微分方程模型
3.1模型建立
模型1以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量为m的火箭,如图所示。
若不计空气阻力,火箭所受引力F之大小与它到地心距离的平方成反比,求火箭所能到达的最大高度。
解:
(1)取火箭为对象,视为质点。
(2)受力分析,火箭在任意位置x处,仅受地球引力F作用。
由题意知,F的大小与x2成反比,设u为比例系数,则有:
当火箭处于地面时,即x=R时F=mg,由式(a)可得
u=mgR2,于是火箭在任意位置x处所受地球引力F的大小为
(3)列运动方程求解,由于火箭作直线运动,火箭的直线运动
微分方程式为
分离变量积分图3-1
(3-1)
初始条件为:
当t=0时,x=R,v=v0;当火箭到最大高度H时,=R+H,v=0;积分得:
火箭能达到的高度(3-2)
所以取,时,
模型2如图(a),下端固定,上端有一质量为m的物块,使其质量块偏离原位置a后释放。
质量块在杆的弹性恢复力下开始振动,杆的质量不计。
试求质量块的运动规律。
模型分析:
取质量块为研究对象,并视其为质点。
质量块沿x方向作直线运动,弹性杆对质量块的
作用相当于一弹簧,图(b)是该系统的
计算模型。
设弹簧刚度系数为k,任意位置时弹性力的
大小为:
因为图3-2
记,
初始条件t=0,,,积分可得
所以分离变量可得
3.2四阶龙格库塔法求解
3
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