第十四章+整式的乘法与因式分解预习提纲.docx
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第十四章+整式的乘法与因式分解预习提纲
14.1-14.3幂的运算:
基础知识点:
(仔细阅读课本,完成下列内容)
1、同底数幂的乘法法则:
(
都是正整数)
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如:
;
2、幂的乘方法则:
(
都是正整数)
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
如:
幂的乘方法则可以逆用:
即
如:
;
;
3、积的乘方法则:
(
是正整数)。
积的乘方,等于各因数乘方的积。
如:
(
=
;
;
对于练习:
(尝试完成下列题目,总结知识点的应用)
1.化简2a3+a2•a的结果等于( )A.3a3B.2a3C.3a6D.2a6
2.下列运算中,正确的是( )
A.a3•a2=a6B.b5•b5=2b5C.x4+x4=x8D.y•y5=y6
3.计算x2•x4的结果是( )A.2x6B.x6C.2x8D.x8
4.计算(﹣a3)2的结果是( )A.a6B.﹣a6C.﹣a5D.a5
5.计算(ab2)3的结果是( )A.3ab2B.ab6C.a3b5D.a3b6
6.(﹣am)5•an=( )A.﹣a5+mB.a5+mC.a5m+nD.﹣a5m+n
7.下列运算正确的是( )
A.4m﹣m=3B.2m2•m3=2m5C.(﹣m3)2=m9D.﹣(m+2n)=﹣m+2n
8.下列运算正确的是( )
A.a2+a3=a5B.(﹣a3)2=a6C.ab2•3a2b=3a2b2D.﹣2a6÷a2=﹣2a3
9.下列运算正确的是( )
A.3a2•a3=3a6B.5x4﹣x2=4x2C.(2a2)3•(﹣ab)=﹣8a7bD.2x2÷2x2=0
10.下列运算正确的是( )
A.(x2)3+(x3)2=2x6B.(x2)3•(x2)3=2x12C.x4•(2x)2=2x6D.(2x)3•(﹣x)2=﹣8x5
11.若2n+1•23=210(n为正整数),则n= .12.计算:
a2•a3= .
13.若2m=16,2n=8,2m+n= .14.若am=a3•a4,则m= .
15.计算:
(a3)2= .16.计算(﹣2xy3)2= .
17.计算(﹣4)2017×(
)2017= .18.若8x=4x+2,则x= .
19.已知3×9m×27m=321,求m的值.
20.已知10a=2,10b=3,求:
103a+2b的值.
21.求下列各式中x的值:
①9x=3x+1②33x+1•53x+1=152x+4.
14.1.5整式的乘法
基础知识点:
(仔细阅读课本,完成下列内容)
1.
(1)单项式相乘,把它们的________分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则________.
(2)单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘________,再把所得的积________.
(3)多项式与多项式相乘,先用________乘以________,再把所得的积________.
对于练习:
(尝试完成下列题目,总结知识点的应用)
1.下列运算正确的是( )A.2x+3y=5xyB.a3﹣a2=a
C.a﹣(a﹣b)=﹣bD.(a﹣1)(a+2)=a2+a﹣2
2.若(x+t)(x﹣6)的积中不含有x的一次项,则t的值为( )
A.0B.6C.﹣6D.﹣6或0
3.如果(x﹣3)(2x+4)=2x2﹣mx+n,那么m、n的值分别是( )
A.2,12B.﹣2,12C.2,﹣12D.﹣2,﹣12
4.若(x+3)(2x﹣5)=2x2+bx﹣15,则b的值为( )
A.﹣2B.2C.1D.﹣1
5.下列式子中,计算结果为x2﹣x﹣6的是( )
A.(x+2)(x﹣3)B.(x+6)(x﹣1)C.(x﹣2)(x+3)D.(x﹣6)(x+1)
6.已知m+n=2,mn=﹣2,则(2﹣m)(2﹣n)的值为( )
A.2B.﹣2C.0D.3
7.若(2x+a)(x﹣1)的结果中不含x的一次项,则a= .
8.如果x2﹣kx﹣ab=(x﹣a)(x+b),则k应为 .
9.化简:
(3x+y﹣z)•(x﹣y+3z)= .
10.计算:
(a+1)(a+2)= .
11.若(x﹣1)(x+3)=x2+px﹣3,则p= .
12.如果(x2+px+q)(x2﹣5x+7)的展开式中不含有x3,x2项,则p= ,q= .
13.已知(x2+mx+n)(x2﹣3x+2)中,不含x3项和x项,求m,n的值.
14.计算:
2x(x﹣4)+(3x﹣1)(x+3)
15.计算
(1)(x﹣2y)(x+y)
(2)a3•a8•a+(a2)6+(﹣2a4)3.
16.若(x2+mx﹣8)(x2﹣3x+n)的展开式中不含x2和x3项,求m和n的值.
14.2乘法公式
基础知识点:
1、平方差公式:
注意平方差公式展开只有两项
公式特征:
左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
2、完全平方公式:
公式的变形使用:
(1)
;
;
对于练习:
(尝试完成下列题目,总结知识点的应用)
1.已知x+y=﹣5,xy=3,则x2+y2=( )A.25B.﹣25C.19D.﹣19
2.计算(x+2)2,正确的是( )
A.x2+4B.x2+2C.x2+4x+4D.2x+4
3.已知:
x﹣y=5,(x+y)2=49,则x2+y2的值等于( )A.37B.27C.25D.44
4.如果x2+mx+9是一个完全平方式,则m的值为( )A.3B.6C.±3D.±6
5.若x2+2(m﹣3)x+16是完全平方式,则m的值是( )
A.﹣1B.7C.7或﹣1D.5或1
6.若4x2+axy+25y2是一个完全平方式,则a=( )
A.20B.﹣20C.±20D.±10
7.(a+3b)(a﹣3b)计算的结果是( )
A.a2﹣6b2B.a2﹣9b2C.a2﹣6ab+9b2D.a2+6ab+9b2
8.下列运算可直接运用平方差公式的是( )
A.(a+b)(﹣a+b)B.(a+b)(﹣a﹣b)C.(a+b)(b+a)D.(a﹣b)(b﹣a)
9.下列各式中,应用乘法公式计算正确的是( )
A.(x﹣y)(﹣y﹣x)=y2﹣x2B.(2x﹣y)(y﹣2x)=﹣y2﹣4x2
C.(2a﹣1)2=4a2﹣2a+1D.(3﹣x)2=9﹣x2
10.化简(a+2b)(a﹣2b)=( )A.a2﹣2b2B.﹣a2﹣2b2C.﹣a2﹣4b2D.a2﹣4b2
11.下列能平方差公式计算的式子是( )
A.(a﹣b)(b﹣a)B.(﹣x+1)(x﹣1)C.(﹣a﹣1)(a+1)D.(﹣x﹣y)(﹣x+y)
12.如图,在边长为a的正方形的右下角,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个平行四边形,这一过程可以验证一个关于a,b的等式为( )
A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2B.a2+ab=a(a+b)C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
13.由下面的图形得到的乘法公式是( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)D.(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab
14.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是( )
A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C.a(a+b)=a2+abD.a(a﹣b)=a2﹣ab
15.如图1是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积为( )
A.abB.(a+b)2C.(a﹣b)2D.a2﹣b2
16.如图,将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形,则可得出一个等式为( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)D.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab
18.已知x2﹣kx+9是一个完全平方式,则k的值是 .
19.多项式4y2+my+9是完全平方式,则m= .
20.若x+y=2,x2﹣y2=6,则x﹣y= .
21.(x+y)(x﹣y)(x2+y2)= .
22.计算:
(a+2b)(a﹣2b)= .
23.(﹣2b﹣5)(2b﹣5)= .
24.计算:
(﹣3x﹣4y)(3x﹣4y)= .
25.若xm﹣yn=(x+y2)(x﹣y2)(x2+y4),则m= ,n= .
26.已知(a+b)2=25,(a﹣b)2=9,求ab与a2+b2的值.
27.计算:
(y+2x)(2x﹣y)﹣x(y+4x)
28.简便计算
(1)103×97
(2)1232﹣122×124.
29.简便运算
(1)20172﹣2016×2018
(2)9982.
30.计算:
(1)(x﹣2)(x+3)﹣(x+3)2
(2)(x﹣2y+4)(x﹣2y﹣4)
31.探索题:
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1
(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1
(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1
(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)=x5﹣1
根据前面的规律,回答下列问题:
(1)(x﹣1)(xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1)=
(2)当x=3时,(3﹣1)(32016+32015+32014+…+33+32+3+1)=
(3)求:
(22015+22014+22013+…+23+22+2+1)的值.(请写出解题过程)
32.计算:
(1)(2x+3y)2﹣(4x﹣9y)(4x+9y)+(3x﹣2y)2.
(2)(a﹣2b)2﹣(2a+b)(b﹣2a)﹣4a(a﹣b)
14.3整式的除法
基础知识点:
(仔细阅读课本,完成下列内容)
1、同底数幂的除法法则:
(
都是正整数,且
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
如:
;
;
2、零指数;
,即任何不等于零的数的零次方等于1。
3、单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
注意:
首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
4、多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。
即:
对于练习:
(尝试完成下列题目,总结知识点的应用)
1.下列运算正确的是( )
A.a+a=2a2B.a2•a3=a6C.a3÷a=3D.(﹣a)3=﹣a3
2.计算a12÷a4(a≠0)的结果是( )A.a3B.a﹣8C.a8D.a﹣3
3.计算6m6÷(﹣2m2)3的结果为( )A.﹣mB.﹣1C.
D.﹣
4.长方形的面积为4a2﹣6ab+2a,若它的一边长为2a,则它的周长为( )
A.4a﹣3bB.8a﹣6bC.4a﹣3b+1D.8a﹣6b+2
5.计算(﹣ab2)3÷(﹣ab)2的结果是( )A.ab4B.﹣ab4C.ab3D.﹣ab3
6.计算(25x2y﹣5xy2)÷5xy的结果等于( )
A.﹣5x+yB.5x﹣yC.﹣5x+1D.﹣5x﹣1
7.计算8a3÷(﹣2a)的结果是( )A.4aB.﹣4aC.4a2D.﹣4a2
8.(2017•红桥区一模)计算a7÷a5,结果等于 .
9.(﹣a)5÷(﹣a)3= .10.若2m=3,2n=4,则23m﹣2n等于 .
11.若2m=3,4n=5,则22m﹣2n= .12.计算(9a2b+6ab2)÷3ab= .
13.一个长方形的面积为a2bc.它的长为
ac,则它的宽为 .
14.长方形面积是3a2﹣3ab+6a,一边长为3a,则它的另一边长是 .
15.小亮与小明在做游戏,两人各报一个整式,小明报的被除式是x3y﹣2xy2,商式必须是2xy,则小亮报一个除式是 .
16.28a4b2÷7a3b= .
17.化简:
(x+y)(x﹣y)﹣(2x3y﹣4xy3)÷2xy.18.化简:
.
19.(6m2n﹣6m2n2﹣3m2)÷(﹣3m2)
20.化简求值:
[(x﹣y)2﹣x(3x﹣2y)+(x+y)(x﹣y)]÷2x,其中x=1,y=﹣2.
21.计算:
(2ab2)4•(﹣6a2b)÷(﹣12a6b7)22.(18a3﹣14a2+6a)÷2a.
23.(x4y+6x3y2﹣x2y3)÷(3x2y)24.(5a3b2﹣6a2)÷(3a)
14.4因式分解
基础知识点:
(仔细阅读课本,完成下列内容)
1、提公因式法
(1)会找多项式中的公因式;公因式的构成一般情况下有三部分:
①系数一各项系数的最大公约数;②字母——各项含有的相同字母;③指数——相同字母的最低次数;
(2)提公因式法的步骤:
第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
(3)注意点:
①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是:
把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式:
①平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式:
a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2
对于练习:
(尝试完成下列题目,总结知识点的应用)
1.下列各式从左到右的变形中,为因式分解的是( )
A.x(a﹣b)=ax﹣bxB.x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
C.y2﹣1=(y+1)(y﹣1)D.ax+by+c=x(a+b)+c
2.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.a(x﹣y)=ax﹣ayB.x3﹣x=x(x+1)(x﹣1)
C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x2+2x+1=x(x+2)+1
3.因式分解:
m2﹣m= .4.分解因式:
4a2﹣4a+1= .
5.分解因式:
x3﹣4x= .6.分解因式:
x2y﹣y= .
7.分解因式:
xy2﹣9x= .8.分解因式:
3x2﹣18x+27=.
9.分解因式:
3ax2﹣6axy+3ay2= .
10.分解因式:
2x2﹣8xy+8y2= .
11.因式分解:
3x2﹣27= .
12.分解因式:
mx2﹣4m= .
13.分解因式:
ma2+2mab+mb2= .
14.在实数范围内因式分解:
x5﹣4x= .
15.分解因式:
4a2﹣b2= .
16.分解因式:
x2﹣6x+9= .
17.因式分解:
m2﹣4m+4= .
18.因式分解:
9x2﹣4= .
19.分解因式:
9x2﹣(x+2y)2= .
20.分解因式:
ax2﹣6ax+9a= .
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