七年级数学上册 第25章 知识总结华东师大版.docx
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七年级数学上册第25章知识总结华东师大版
第二章有理数
1.负数:
像-5,-2,-237,-3
.6这样的数,这是一种新数,叫做负数;正数:
过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数.注意:
0既不是正数,也不是负数.
2.正整数、零和负整数统称整数,正分数和负分数统称分数.整数和分数统称有理数.
.
3.数轴:
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
4.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.
5.相反数:
只有正负号不同的两个数称互为相反数;在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等;规定:
0的相反数是0;我们通常把在一个数前面添上“-”号,表示这个数的相反数;在一个数前面添上“+”号,表示这个数本身.
6.绝对值:
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.记作|a|;一个正数的绝对值是它本身;0的绝对值是0;一个负数的绝对值是它的相反数;任意有理数a,总有|a|≥0.
7.两个负数,绝对值大的反而小.
8.有理数的加法法则:
1)同号两数相加,取相同的正负号,并把绝对值相加;2)绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大加数的正负号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;3)互为相反数的两个数相加得0;4)一个数同0相加,仍得这个数.
注意
一个有理数由正负号和绝对值两部分组成,所以进行加法运算时,应注意确定和的正负号与绝对值.
9.加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,和不变.a+b=b+a.
加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
(a+b)+c=a+(b+c).
10.有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数.
11.有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对植相乘.任何数同0相乘,都得0.
12.乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置,积不变.ab=ba.
乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相积乘,或者先把后两个数相乘,积不变.
(ab)c=a(bc).
分配律:
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
a(b+c)=ab+ac.
几个不等于0的数相乘,积的正负号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.几个数相乘,有一个因数为0,积就为0.
13.倒数:
乘积是1的两个数互为倒数;除以一个数等于乘上这个数的倒数.
注意
:
0不能作除数.
有理数的除法法则:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
14.求几个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在an中,a叫作底数,n叫做指数,an读作a的n次方,an看作是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂.
正数的任何次幂都是正数;
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.
15.科学记数法:
把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫做科学记数法.
16.有理数混合运算的运算顺序规定如下:
1)先算乘方,再算乘除,最后算加减;
2)同级运算,按照从左至右的顺序进行;
3)如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.
17.一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.这时,从左边第一个不是0的数起,到精确到的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.
18.小结
一、知识结构
二、概括
1.数轴是理解有理数概念与运算的重要工具,学习本章要善于结合数轴理解有理数的有关概念(如相反、绝对值),会利用数轴比较两个有理数的大小.
2.在有理数的运算中,要特别注意符号问题,提高运算的正确性,还要善于灵活运用运算律简化运算.
3.在实际运算中经常会遇到近似数,要注意按要求的精确度进行计算和保留结果.对较大的数用科学记数法表示既方便,又容易体现对有效数字的要求.
第三章整式的加减
1.代数式:
数和字母用运算符号连结所成的式子,称为代数式.
注意:
1)代数式中出现的乘号,通常写作“·”或省略不写,如6×b常写作6·b或6b;2)数字与字母相乘时,数字写在字母前面,如6b一般不写作b6;3)除法运算写成分数形式;4)数与字母相乘,带分数要化假分数;5)括号与括号相乘可省略括号.
2.列代数式:
把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来,即列出代数式.
3.代数式的值:
用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算计算得出的结果,叫做代数式的值.
4.单项式:
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式;单独一个数或一个字母也是单项式.
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
注意:
1)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写;
2)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数.
5.多项式:
几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,项:
每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项,叫做常数项.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.
注意:
1)多项式的次数不是所有项的次数之和;
2)多项式的每一项都包括它前面的正负号.
6.单项式与多项式统称整式.
7.降幂排列:
按某一字母的指数从大到小的顺序排列,叫做这个多项式按该字母的降幂排列.
升幂排列:
按某一字母的指数从小到大的顺序排列,叫做这个多项式按该字母的升幂排列.
注意:
1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动;
2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.
8.同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相等的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.
9.合并同类项的法则:
把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数保持不变.
10.去括号法则:
括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不改变正负号;括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变正负号.
11.添括号法则:
所添括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不改变正负号;所添括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变正负号.
12.整式加减的一般步骤是:
先去括号,再合并同类项.
一、知识结构
二、概括
1.整式中,只含一项的是单项式,否则是多项式.分母中含有字母的代数式不是整式,当然也不是单项式或多项式.
2.单项式的次数是所有字母的指数之和;多项式的次数是多项式中最高次项的次数.
3.单项式的系数包括它前面的符号,多项式中每一项的系数也包括它前面的符号.
4.去(添)括号时,要特别注意括号前面是“-”号的情形:
去括号时,括号里各项都改变符号;添括号时,括到括号里的各项都改变符号.
第四章图形的初步认识
1.1)柱体:
圆柱,棱柱(三棱柱,四棱柱,…);2)锥体:
圆锥,棱锥(三棱锥,四棱锥,…);3)球体.
多面体:
围成立体图形的面是平的面,像这样的立体图形,又称为多面体.
2.视图:
从三个不同的方向看一个物体,一般是从正面、上面和侧面,然后描绘三张所看到的图,即视图.
从正面看到的图形,称为正视图;从上面看到的图形,称为俯视图;从侧面看到的图形,称为侧视图(左视图,右视图).
3.表面展开图:
多面体是由平面图
形围成的立体图形,沿着多面体的棱将它剪开,可以把多面体的表面变成一个平面图形.
4.圆是由曲线围成的封闭图形.多边形是由线段围成的封闭图形.
一个n边形至少可以分割成n-2个三角形.
5.射线:
线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线;
直线:
把线段向两方无限延伸所形成的图形就是直线.
表示方法:
点:
用一个大写字母表示;
线段:
用两个端点的大写字母表示;或用一个小写字母表示;
射线:
用端点和射线上任意一点的两个大写字母表示;或用一个小写字母表示;
直线:
用直线上任意两点的大写字母表示;或用一个小写字母表示.
公理1:
两点之间,直段最短.此时线段的长度,就是这两点间的距离.
公理2:
经过两点有一条直线,并且只有一条直线.
6.线段的中点:
把一条险段分成两条相等线段的点,叫做这条线段的中点.
7.角:
由两条有公共端点的射线组成的图形.可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.
角的顶点:
射线的端点;角的始边:
起始位置的射线;角的终边:
终止位置的射线.
表示方法:
(1)用两边和顶点的三个大写字母表示(顶点字母在中间);
(2)用顶点的大写字母表示;(3)用阿拉伯数字表示;(4)用小写的希腊字母表示.
8.平角:
绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线所成的角;
周角:
绕着端点旋转到终边和始边重合所成的角.
9.1周角=360°;1平角=180°;1°=60′;1′=60".
10.角的平分线:
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
11.互余:
两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,简称互余.
互补:
两个角的和等于一平角(180°),就说这两个角互为补角,简称互补.
同角(等角)的余角相等;同角(等角)的补角相等.
两直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4(如图1),我们把其中的∠1和∠3叫做对顶角,∠2和∠4也是对顶角.对顶角相等.
12.互相垂直:
直线AB与直线CD相交,交点为O,当所构成的四个角中有一个为直角时,其他三个角也都成为直角,此时,直线AB、CD互相垂直,记作“AB⊥CD”,他们的交点O叫做垂足.
在同一平面内,经过直线外或直线上一点,有且只有一条直
线与已知直线垂直.
若线段AB垂直于直线BC,垂足为B.线段AB叫做点A到直线BC的垂线段,它的长度就是点A到直线BC的距离.直线外一点与直线上各点连结而得到的所有线段中,垂线段最短.
13.同位角,内错角,同旁内角(见教材P164-165).
14.平行线:
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.
在同一平面内,两条不重合的直线的位置关系只有两种:
相交或平行.
经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
15.平行线的判定方法:
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)内错角相等,两直线平行;
(3)同旁内角互补,两直线平行.
垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
16.平行线的性质:
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)两直线平行,内错角相等;
(3)两直线平行,同旁内角互补.
知识框图
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意点:
⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
⑵垂线性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
3、垂线的画法:
⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意:
①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。
画法:
⑴一靠:
用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:
沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
⑴垂线与垂线段区别:
垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
联系:
具有垂直于已知直线的共同特征。
(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离区别:
两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。
联系:
都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。
⑶线段与距离距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。
5.2平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线
与直线
互相平行,记作
∥
。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
⑴相交;⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵
∥
,
∥
∴
∥
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图,直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
的同侧,同在被截直线
的上方,
叫做同位角(位置相同)
②∠5与∠3在截线
的两旁(交错),在被截直线
之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
③∠5与∠4在截线
的同侧,在被截直线
之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。
例如:
如图,判断下列各对角的位置关系:
⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。
注意:
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:
同位角相等,两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:
内错角相等,两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简称:
同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
请同学们注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。
平行线的判定是写角相等,然后写平行。
注意:
⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。
上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”,判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:
①如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
典型例题:
判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:
⑴不相交的两条直线必定平行线。
⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。
⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解答:
⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。
“在同一平面内”是一项重要条件,不能遗漏。
⑵正确
⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。
因为如果这一点不在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的。
典型例题:
如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么?
解答:
⑴由∠2=∠B可判定AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行;
⑵由∠1=∠D可判定AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行;
⑶由∠3+∠F=180°可判定AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行。
5.3平行线的性质
1、平行线的性质:
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
性质3:
两直线平行,同旁内角互补。
几何符号语言:
∵AB∥CD
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD
∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
2、两条平行线的距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
注意:
直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。
3、命题:
⑴命题的概念:
判断一件事情的语句,叫做命题。
⑵命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……,那么……”的形式。
具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。
有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显。
对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式。
注意:
命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行 同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补。
其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。
典型例题:
已知∠1=∠B,求证:
∠2=∠C
证明:
∵∠1=∠B(已知)
∴DE∥BC(同位角相等,
两直线平行)
∴∠2=∠C(两直线平行
同位角相等)
注意,在了DE∥BC,不需要再写一次了,得到了DE∥BC,这可以把它当作条件来用了。
典型例题:
如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65°
求∠2、∠3的度数
解答:
∵DE∥BC(已知)
∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥DF(已知)
∴AB∥DF(已知)
∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115°
5.4平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征:
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
典型例题:
如图,△ABC经过平移之后成为△DEF,那么:
⑴点A的对应点是点_________;⑵点B的对应点是点______。
⑶点_____的对应点是点F;⑷线段AB的对应线段是线段_______;
⑸线段BC的对应线段是线段_______;⑹∠A的对应角是______。
⑺____的对应角是∠F。
解答:
⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE;⑸EF;⑹∠D;⑺∠ACB。
思维方式:
利用平移特征:
平移前后对应线段相等,对应点的连线段平行或在同一直线上解答。
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