点线面关系练习题有答案.docx
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点线面关系练习题有答案
点线面位置关系总复习
知识梳理
一、直线与平面平行
1•判定方法
(1)
定义法:
直线与平面无公共点。
all
2•性质定理:
a
卜allbb」
、平面与平面平行
1•判定方法
(1)定义法:
两平面无公共点。
all、
bll
(2)判定定理:
a>11
b
abP/
all1
卜//
//J
ai
(3)其他方法:
卜ll
a一
//[
2•性质定理:
a卜a//b
b」
三、直线与平面垂直
(1)定义:
如果一条直线与一个平面的所有直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。
(2)判定方法
1用定义•
a
c
②判定定理:
b
cA
>a
b
c
a]
③推论:
Lb
a//bJ
(3)性质
a-1
ai
①
b丿
》a
b
②b}a//b
四、平面与平面垂直
(1)定义:
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直线二面角,就说这两个平面互相垂直。
a]
(2)判定定理a
(3)性质
a
a1丿
1
卜A1
垂足为A」
r
1
〉PA
①性质定理1卜
②
P
PA
3
P
PA
“转化思想”
面面平行*线面平行►线线平行
面面垂直►线面垂直►线线垂直
求二面角
1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.
2.在二面角的棱上任取一点0,在两半平面分别作射线0A丄1,0B丄I,则/A0B叫做二面角的平面角
例1.如图,在三棱锥S-ABC中,SA底面ABC,ABBC,DE垂直平分SC,且分别交AC于D,交SC于E,又SA=AB,SB=BC求以BD为棱,以BDE和BDC为面的二面角的度数。
求线面夹角
定义:
斜线和它在平面的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)方法:
作直线上任意一点到面的垂线,与线面交点相连,利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
例1:
在棱长都为1的正三棱锥S-ABC中,侧棱SA与底面ABC所成的角是.
例2:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
1BC1与平面AB1所成的角的大小是;
2BD1与平面AB1所成的角的大小是;
3CC1与平面BC1D所成的角的大小是;
4BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是;
5BD1与平面BC1D所成的角的大小是;
例3:
已知空间一点0出发的三条射线0A、OB、0C两两夹角为60°,试求0A与平面B0C所成的角的大小.
求线线距离
说明:
求异面直线距离的方法有:
(1)(直接法)当公垂线段能直接作出时,直接求•此时,作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线距离的关键.
(2)(转化法)把线线距离转化为线面距离,如求异面直线a、b距离,先作出过a且平行于b的平面,则
b与距离就是a、b距离.(线面转化法).
也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面,两平行平面的距离就是两条异面直线距离.(面面
转化法).
(3)(体积桥法)利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求.
(4)(构造函数法)常常利用距离最短原理构造二次函数,利用求二次函数最值来解.
两条异面直线间距离问题,教科书要求不高(要求会计算已给出公垂线时的距离),这方面的问题的其他解
法,要适度接触,以开阔思路,供学有余力的同学探求.
例:
在棱长为a的正方体中,求异面直线BD和Bic之间的距离。
线面平行(包括线面距离)
例:
已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SASBSC,SG为SAB上的高,D、E、F分别是AC、BC、SC的中点,试判断SG与平面DEF的位置关系,并给予证明
面面平行(包括面面距离)
例1:
已知正方体ABCDABGD,,求证平面B.AD,//平面BCQ
例2:
在棱长为a的正方体中,求异面直线BD和B,C之间的距离.
面面垂直例1:
已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面,A为垂足。
求证:
平面PAC平面PBDb
例2:
已知直线PA垂直于0所在的平面,A为垂足,AB为0的直径,C是圆周上异于A、B的一点。
求证:
平面PAC平面PBG
课后作业:
、选择题
1•教室任意放一支笔直的铅笔,则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线()
A.平行B.相交
C.异面D.垂直
2.若m、n是两条不同的直线,a氏丫是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是()
A.若m?
B,a丄3,贝ym±a
B.若ad尸m,3门尸n,m//n,贝Vall3
C.若m±3mla,贝Ua丄3
D.若a丄ya丄3,贝V3丄Y
3.(改编题)设P是厶ABC所在平面外一点,P到厶ABC各顶点的距离相等,而且P到厶ABC各边的距离也相等,那么△ABC()
A.是非等腰的直角三角形
B.是等腰直角三角形
C.
是等边三角形
D.不是A、B、C所述的三角形
C.1
A..;2
5.如图,已知△ABC为直角三角形,其中/ACB=90°°M为AB的中点,PM垂直于△ACB所在平面,那么
)
A.FA=PB>PC
B.PA=FB C.FA=FB=FC D.FA工FB工FC 、填空题: 6.正四棱锥S—ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE丄AC, 则动点P的轨迹的周长为. 7.aB是两个不同的平面,m、n是平面a及B之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m丄n;②a丄③n丄B; ④m丄a 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: . 三、解答题 11.如图 (1),等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD,/ABC=60°E是BC的中点,如图 (2),将△ABE沿AE折起,使二面角B—AE—C成直二面角,连接BC,BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点. (1)求证: AE丄BD; ⑵求证: 平面PEF丄平面AECD; (3)判断DE能否垂直于平面ABC? 并说明理由 12. 如图,已知PA矩形ABCD所在平面。 M,N分别是AB,PC的中点。 (1求证: MN面PAD (2)求证: MNCD (3)若PDA45°,求证: MN面PCD (4) 12.如图所示,已知△BCD中,/BCD=90°BC=CD=1,AB丄平面BCD,/ADB=60°E、F分别是AC、AD (1)求证: 不论入为何值,总有平面BEF丄平面ABC; ⑵当入为何值时,平面BEF丄平面ACD? 13.如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P、Q分别为线段AB、CD的中点,EP丄平面ABCD. (1)求证: DP丄平面EPC; 一FP (2)问在EP上是否存在点F使平面AFDL平面BFC? 若存在,求出Ap的值• 参考答案 在Rt△SA中,SA=1,SC=2 •••/ECA=30, 在Rt△DE中,/DEC=90, •••/EDC=60, •所求的二面角为60。 求线线距离 解法1: (直接法)如图: DC AyBi 取BC的中点P,连结PD、PB1分别交AC、BC1于M、N两点, 易证.DB1//MNDB1ACDB1BC1 BCMN^DB1—a •MN为异面直线AC与BC1的公垂线段,易证: 33 小结: 此法也称定义法,这种解法是作出异面直线的公垂线段来解•但通常寻找公垂线段时,难度较大.解法2: (转化法)如图: •/AC//平面A1C1B, AC与BC1的距离等于AC与平面AGB的距离, 在RtOB。 1中,作斜边上的高OE,则OE长为所求距离, 小结: 这种解法是将线线距离转化为线面距离. AC与BC1的距离等于平面ACD1与平面AGB的距离. DB平面ACD1,且被平面ACD1和平面AGB三等分; 任取点QBC1,作QRBC于R点,作PKAC于K点,设RC则BRQRax,CKKR,且KR2CK2CR2 21212 KR2CR2x2 22. QK2^x2(ax)2 则2 2(x3a)2 2 3 ...$泳2a)2 小结: 本解法是将线线距离转化为线面距离,再将线面距离转化为锥体化为锥体的高,然后用体积公式求之•这种方法在后面将要学到. 线面平行 例: 分析1: 如图,观察图形,即可判定SG//平面DEF,要证明结论成立,只需证明SG与平面DEF的一条直线 平行. 观察图形可以看出: 连结CG与DE相交于H,连结FH,FH就是适合题意的直线. 怎样证明SG//FH? 只需证明H是CG的中点. 证法1: 连结CG交DE于点H, •/DE是ABC的中位线, DE//AB. 在ACG中,D是AC的中点,且DH//AG, •••H为CG的中点. •/FH是SCG的中位线,•FH//SG. 又SG平面DEF,FH平面DEF, SG//平面DEF. 分析2: 要证明SG//平面DEF,只需证明平面SAB//平面DEF,要证明平面DEF//平面SAB,只需证明 SA//DF,SB//EF而SA//DF,SB//EF可由题设直接推出. 证法2: ■/EF为SBC的中位线, •EF//SB. •/EF平面SAB,SB平面SAB, •EF//平面SAB. 同理: DF//平面SAB,EFDFF, 平面SAB//平面DEF,又SG平面SAB, SG//平面DEF. 面面平行 例一: 证明: •/ABCD-AiBGDi为正方体, D1A//C1B, 故D1A//平面C1BD 又D1AD1B1D1 ...平面AB1D1//平面GBD 例二: 根据正方体的性质,易证: BD//BiDi AB〃DQ 平面ABD//平面CBiDi 连结AG,分别交平面ABD和平面CBiD1于M和N 因为CC1和ACi分别是平面ABCD的垂线和斜线,AC在平面ABCD,ACBD 由三垂线定理: ACiBD,同理: ACiAD •••AG平面ABD,同理可证: AG平面CBiDi •••平面AiBD和平面CBiDi间的距离为线段MN长度. 如图所示: 在对角面ACi中,Oi为AG的中点,0为AC的中点 AMMNNCiACi—a 33 4 BD和BiC的距离等于两平行平面 辽a ABD和CBiDi的距离为3 面面垂直 ACu平0PAC>PAc于面PAC ACflVA-A =>BD丄平iMPAC L平血円II人 RDu 半[filPBDJ 2: AE是圆O勺直径 BCAC C是圆周上异于A、B的一点 PA平面ABC BCPA BC平面PAC BC平面ABC BC平面PBC AC平面PAC,PA 平面PAC 平面PAC平面PBC 例 A^|PAA 作业: 一、选择题: 1.D2.C3.C4.B5.C 6•解析: 如图,取CD的中点F、SC的中点G,连接EF,EG,FG,EF交AC于点H,易知AC丄EF,又GH//SO, UE •••GH丄平面ABCD, •••AC丄GH,「.AC丄平面EFG 故点P的轨迹是AEFG,其周长为.2+,6. 答案: ・.2+,6 7.①③④? ②;②③④? ①
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