第六篇专题3 不讲五德.docx
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第六篇专题3不讲五德
专题叁中冲剑——不讲“五”德
本专题分为五讲,继续介绍极值点偏移问题的复杂题型.第一讲换元构造从消元的基本思想出发,引入了比值换元、差值换元及相似结构换元,为处理多变量极值点偏移问题提供了解决思路及常见做法,第二三讲为ALG不等式及其拓展,借助不等式放缩处理极值点偏移问题是另一种独到的解决方案,苦思冥想不得之时,借助ALG不等式往往令人豁然开朗,取得意想不到的效果.第四讲广义对均将和广义飘带一样将对均问题全面拓展,使对均灵活性更强.第五讲深度剖析讲多元问题,用切线夹,割线夹,切割结合进行破题!
【例1】(2021•成都三诊)已知函数f(x)=x-alnx-1,当a∈(0,1)(1,+∞)时,f(x)恰有两个零点x1,
x(x<x),求证:
f'(x1+2x2)>0
2123
【例2】(2021•南开模拟)已知函数f(x)=lnx的图象C与函数g(x)=1ax2+bx(a≠0)的图象C交于P,Q,
122
过PQ的中点R作x轴的垂线分别交于C1,C2于点M,N,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在
N处的切线平行?
若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
【例3】(2020•天津卷)已知函数f(x)=x2+klnx(k∈R),f'(x)为f(x)的导函数.
(1)当k=6时,(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(ⅱ)求函数g(x)=f(x)-f'(x)+9的单调区间和极值;
x
(2)当k≥-3时,求证:
对任意的x,x
∈[1,+∞),且x>x
,有f'(x1)+f'(x2)>f(x1)-f(x2).
12122
x-x
12
【例4】(2021•鞍山模拟)设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+b-c.(a,b,c∈R).
x
(1)当c=0时,若函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线,求a,b的值;
(2)当b=3-a时,若对任意x0∈(1,+∞)和任意a∈(0,3),总存在不相等的正实数x1,x2,使得
g(x1)=g(x2)=f(x0),求c的最小值;
(3)当a=1时,设函数y=f(x)与y=g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1 x1x2-x2 【例5】(2021•佛山模拟)已知函数f(x)=lnx+ax+1有两个零点x1,x2. (1)求a的取值范围; (2)记f(x)的极值点为x0,求证: x1+x2>2ef(x0). 【例6】(2021•宝鸡模拟)已知函数g(x)=lnx-2x+t(t∈R)有两个零点x,x. e212 (1)求实数t的取值范围; (2)求证: 1+1 x1x2 >4. e2 【例7】(2012•湖南理)已知函数f(x)满足f(x)=eax-x,其中a≠0. (1)若对一切x∈R,f(x)>1恒成立,求a的取值集合; (2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1 是否存在x0∈(x1,x2),使f'(x0)>k成立? 若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由. 【例8】(2010•天津理)已知函数f(x)=xe-x,x∈R,如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明: x1+x2>2 【例9】(2021•武汉模拟)已知函数f(x)=axlnx-bx2-ax. (1)曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为x+y+1=0,求a,b的值; 2 (2)若a≤0,b=1时,∀x,x ∈(1,e),都有 <3,求a的取值范围. 212 【例10】(2021•河北模拟)已知f(x)=ax+1-xlnx的图象在A(1,f (1))处的切线与直线x-y=0平行. (1)求函数f(x)的极值; (2)若∀x,x∈(0,+∞),f(x1)-f(x2)>m(x+x),求实数m的取值范围. 12-x12 【例11】(2021•广东模拟)已知函数f(x)=lnx-1ax2+x(a∈R),函数g(x)=-2x+3. 2 (1)当a=2时,求f(x)的极值; (2)讨论函数F(x)=f(x)+1ag(x)的单调性; 2 (3)若-2≤a≤-1,对任意x1,x2∈[1,2],f(x1)-f(x2)≤tg(x1)-g(x2)恒成立,实数t的最小值. 【例12】(2021•江西联考)已知函数g(x)=lnx-mx-1. (1)讨论g(x)的单调性. (2)若函数f(x)=x⋅g(x)在(0,+∞)上存在两个极值点x1,x2,且x1 lnx1+lnx2>2. 【例13】(2021•十堰三模)已知函数f(x)=x-asinx(a>0). (1)若y=f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围. (2)已知a=1,g(x)=f(x)+blnx+1(b∈R,b≠0),若g(x)=g(x)(x≠x),求证: xx <4b2. 2121212 【例14】(2021•揭阳模拟)设函数f(x)=ax-lnx+1+b(a,b∈R). x (1)讨论f(x)的单调性; (2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求证x1+x1+2>2ax1x2. 【例15】(2018•年新课标I)已知函数f(x)=1-x+alnax,若f(x)存在两个极值点x,x,证明: x12 f(x1)-f(x2)>a-2 x1-x2 【例16】(2021•大同模拟)已知函数f(x)=lnx+1ax2-1x+3,若f(x)存在两个极值点x,x,且x 证明: f(x1)-f(x2)>2a-1 424 1212 x1-x24 【例17】(2021•浙江模拟)已知函数f(x)=ex,其导数记为f'(x).(e为自然对数的底数). ex (1)求函数f(x)的极大值; (2)解方程f(f(x))=x; (3)若存在实数x1,x2 (x1≠x2 )使得f(x1)=f(x2 ),求证: f'(x1+x2)<0. 2 【例18】(2021•重庆模拟)已知f(x)=xlnx-1mx2-x,m∈R.若f(x)有两个极值点x,x,且x 2 求证: x1x2>e2(e为自然对数的底数). 1212 【例19】(2021•株洲模拟)设函数f(x)=ex-ax+a.其中a为实常数,其图像与x轴交于A(x1,0),B(x2,0) 两点,且x1 (1)求a的取值范围; (2)设x0=,证明: f'(x)<0. 【例20】(2016•全国1卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点x1,x2. (1)求a的取值范围 (2)证明: x1+x2<2 【例21】(2021•浙江模拟)已知函数g(x)=ex-ax2-axh(x)=ex-2x-lnx.其中e为自然对数的底数. (1)若f(x)=h(x)-g(x). ①讨论f(x)的单调性; ②若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围. (2)已知a>0,函数g(x)恰有两个不同的极值点x1x2证明: x1+x2 【例22】(2021•镇海月考)已知函数f(x)=ax2-2lnx. (1)当a=1时,求y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若对∀x∈[1,3]都有f(x)≤1恒成立,求a的取值范围; 4 (3)已知a>0,若∃x1,x2且满足0 a(x1+x2)2-2(x1+x2)>0 【例23】(2021•河北模拟)已知函数f(x)=e2x+ax2-2x(a∈R). (1)若f(x)在[0,+∞)上单调递增函数,求实数a的最小值. (2)若g(x)=f(x)+(2e2+2)x有两个极值点x1,x2(x1 2e2a (ii)求证: 1+ 【例24】(2010•天津理)已知函数f(x)=xe-x,x∈R,如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2).证明: x1+x2>2 【例25】(2021•鄱阳模拟)设函数f(x)=ex-ax+a(a∈R)的图像与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,且满足x1 (1)证明: f'(x1x2)<0 (2)求证: x1x2 【例27】(2020•湛江模考)已知函数f(x)=e2x-ax2-1(x∈R). (1)设g(x)=f(x)-xf'(x),当a=1时,求函数g(x)的单调递减区间及极大值. (2)设函数y=f(x)有两个极值点x1,x2. ①求实数a的取值范围.②求证: ae2x1+ae2x2>2⋅e2x1⋅e2x2. 【例28】(2021•河南模拟)g(x)=ax-1-xlnx(a∈R),g(x1)=g(x2)=0证明: x1+x2<3ea-1-1 【例29】(2021•河北模拟)设函数f(x)=axlnx-x+1,a≠0. 2 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a>0时,函数f(x)恰有两个零点x,x(x 1+7 >7a. 1212 x1x2 【例30】(2021•桂林一模)已知函数f(x)=1ax2-x+xlnx,a∈R. 2 (1)若f(x)在其定义域上单调递减,求a的取值范围 (2)若f(x)存在两个不同的极值点x与x,且x≥ex,求证: 3x2-x1>2a. 1221 x2-x2 12 【例31】(2021•南开模拟)已知函数f(x)=(x+b)(ex-a)(b>0),在点(-1,f(-1))处的切线方程为 (e-1)x+ey+e-1=0. (1)求a,b; (2)设曲线y=f(x)与x轴负半轴的交点为点P,曲线在点P处的切线方程为y=h(x),求证: 对于任意的实数x,都有f(x)≥h(x); (3)若关于x的方程f(x)=m有两个实数根x,x且x x -x≤1+m(1-2e). 1212 211-e 【例32】(2021•山东月考)已知函数f(x)=4x-x4(x∈R). (1)求f(x)的单调区间; (2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证: 对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x); a (3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2且x1 x2-x1≤- 3 1 +43. 【例33】已知函数f(x)=nx-xnx∈R,其中n∈N*,且n≥2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证: 对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x); (3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x,x,求证: x-x 12211-n 【例34】(2021•沙坪坝模拟)已知函数f(x)=ax-ex+1,曲线y=f(x)在原点处的切线为y=2x. (1)证明: 曲线y=f(x)与x轴正半轴有交点; (2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线为直线l,求证: 曲线y=f(x)上的点都不在直线l的上方; (3)若关于x的方程f(x)=m(m为正实数)有不等实根xx(x x -x<2-3m. 1,2,12 214 【例35】(2021•哈尔滨模拟)已知函数f(x)=ax-ex+1,ln3是f(x)的极值点. (1)求a的值; (2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线为直线l.求证: 曲线y=f(x)上的点都不在直线l的上方; (3)若关于x的方程f(x)=m(m>0)有两个不等实根x,x(x>x),求证: x -x<2-7m. 1212 2110 【例36】(2021•江西二模)已知函数f(x)=6x-x6,x∈R (1)求函数f(x)的极值; (2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,求曲线在点P处的切线方程; 1a (3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2且(x1 x2-x1≤65-. 5 【例37】(2021•合肥一模)已知函数f(x)= 1-x2ex (e为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的零点x0,以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程; (2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x,x,求证: x-x<2-m(1+1). 12122e 【例38】(2021•威宁模拟)已知函数f(x)=lnx,g(x)=x-m. (1)当m=0时,求函数y= f(x) g(x)的最大值; (2)设h(x)=f(x)-g(x),若x1 ln(em+x1-x2)+m>0. 【例39】(2020•浙江模拟)已知函数f(x)=lnx与y=a有两个交点x,x,且x x (1)求a的取值范围; (2)证明x2-x1>-2ae+2; (3)证明x2-x1>(e2-2)(1-ae); 1212 (4)通式解析: x2 -x1 >(xn -xm )(1-ae),xm ∈[1,e),xn ∈(e,e+2e e(1- 2e-3 e)]. 【例40】(2020•浙江月考)函数f(x)= x,若f(x)=a有两个零点x,x,且x x2-x1>1-ae. ex12122 【例41】(2021•河北模拟)f(x)=xlnx,f(x)=a有两个零点x1,x2,且x1 (1)x2-x1>1+ae; (2)x2 -x1> e-1(1+ae).. e2 【例42】(2021•MST原创)已知函数f(x)=lnx-ax,f(x)=0有两解x1和x2,且x1 (1)证明: x2-x1>2(e-1); (2)证明: x2-x1>2(e-2); (3)证明: x2-x1>2(e-m); (4)证明: x2 -x1>a. 【例43】(2021•MST原创)函数f(x)=xlnx,若f(x)=a有两解x1,x2,且x1 试证: (1)x1+x2 (2)x2-x1> >2(飘带拟合); e ; (3)x2-x1> 1+4a(切线找点); (4)x2 -x1>e. 【例44】(2021•湖北十一校联考)已知函数f(x)=lnx-ax. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若x1,x2(x1 证明(i)x1 + x2 >2;(ii)xa2 -x1>a. 【例45】(2021•温州一模)已知函数f(x)=lnx-ax有两个不同零点x1,x2(x1 (1)求实数a的取值范围; (2)求证:
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