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教学大纲
《高等数学》课程教学大纲
课程名称:
《高等数学》
学 时:
134学时
开课学期:
第1学期、第2学期
课程类别:
必修
课程性质:
基础课
适用专业:
物理系,计算机系
先修课程:
无
教 材:
《高等数学》 高等教育出版社
一、课程的性质、目的与任务:
高等数学在高等工科院校的教学计划中是一门重要的基础理论课,是各专业学生一门必修的重要课程,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的.通过本课程的学习,使学生系统地获得微积分(包括向量代数及空间解析几何)及常微分方程的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法,并注意培养学生比较熟练的运算能力﹑抽象思维能力﹑逻辑推理能力﹑几何直观和空间想象能力,从而使学生学到数学分析法和运用这些方法解决几何﹑力学和物理等实际问题的初步训练,为学习后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。
二、基本要求:
(一)函数﹑极限﹑连续
1.理解函数的概念。
2.了解函数的奇偶性﹑单调性﹑周期性和有界性。
3.理解复合函数的概念,了解反函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
5.会建立简单实际问题中的函数关系式。
6.理解极限的概念(对极限的ε-N﹑ε-δ定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N或δ不作过高要求)。
7.掌握极限四则运算法则。
8.了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。
9.了解无穷小﹑无穷大以及无穷小的阶的概念。
会用等价无穷小代替的方法求极限。
10.理解函数在一点连续的概念。
11.了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。
12.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大最小值定理)。
(二)一元函数微分学
1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
2.会用导数描述一些物理量。
3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数﹑双曲函数的导数公式。
了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性.
4.了解高阶导数的概念。
5.掌握初等函数一阶﹑二阶导数的求法。
6.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶﹑二阶导数。
会求反函数的导数。
7.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理。
8.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。
9.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
10.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描述函数的图形(包括水平和铅直渐近线)。
会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
11.会用洛必达(L’Hospital)法则求未不定式的极限。
12.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。
13.了解求方程近似解的二分法和切线法。
(三)一元函数积分学
1.理解不定积分和定积分的概念及性质。
2.掌握不定积分的基本公式,不定积分﹑定积分的换元法和分部积分法。
3.会求简单的有理函数的积分。
4.理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理,掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。
5.了解广义积分的概念。
6.了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法则)。
7.掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积﹑体积﹑弧长﹑功﹑引力等)的方法。
(四)向量代数与空间解析几何
1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。
2.掌握向量的运算(线性运算﹑点乘法﹑叉乘法),了解两个向量垂直﹑平行的条件。
3.掌握单位向量﹑方向余弦﹑向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。
4.掌握平面的方程和直线的方程及求法,会利用平面﹑直线的相互关系解决有关问题。
5.理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
6.了解空间曲线的参线方程和一般方程。
7.了解曲面的交线在坐标平面上的投影。
(五)多元函数微分学
1.理解多元函数的概念。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质。
3.理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件。
4.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
5.掌握复合函数一阶偏导数的求法,会求复合函数的二阶偏导数。
6.会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。
7.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线,并会求出它们的方程。
8.理解多元函数极值和条件极值的概念,会求二元函数的极值。
了解条件极值的拉格朗日乘数法,会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
(六)多元函数积分学
1.理解二重积分﹑三重积分的概念,了解重积分的性质。
2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标﹑极坐标),了解三重积分的计算方法(直角坐标﹑柱面坐标﹑球面坐标)。
(七)无穷级数
1.理解无穷级数收敛﹑发散以及和的概念,了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
2.掌握几何级数和P—级数的收敛性。
3.了解正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法。
4.了解交错级数的莱布尼兹定理,会估计交错级数的截断误差。
5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7.掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。
8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10.会利用
sinx,cosx,ln(1+x)和(1+x)
的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
11.了解幂级数在近似计算上的简单应用。
(八)常微分方程
1.了解微分方程﹑解﹑通解﹑初始条件和特解等概念。
2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。
3.会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程,并从中领会用变量代换求解方程的思想,会解全微分方程。
4.会用降阶法解下列方程:
y
=f(x),y″=f(x,y′)和y″=f(y,y′)。
5.理解二阶线性微分方程解的结构。
6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
7.会求自由项形如
、
的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
8.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。
三、教学内容
1.函数、极限、连续
函数:
集合,函数概念,函数的几种特性,反函数,复合函数,初等函数。
极限:
数列的极限,函数的极限,自变量趋向有限值时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限。
无穷小,无穷大。
极限运算法则,极限存在法则,两个重要极限,无穷小的比较。
函数的连续性:
函数的连续性。
函数的间断点,连续函数的和、差、积、商的连续性。
反函数与复合函数的连续性。
初等函数的连续性,闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理。
一元函数的微分学
导数概念:
导数定义。
求导举例,导数的几何意义。
函数的可导性与连续性之间的关系。
函数求导:
函数的和、积、商的求导法则。
指数函数和对数函数的导数,复合函数的求导法则。
反函数的导数,高阶导数,隐函数的导数,由参数方程所确定的函数的导数。
函数的微分:
微分的定义,微分的几何意义,基本初等函数的微分公式及运算法则。
微分的应用:
微分在近似计算中的应用。
微分在误差估计中的应用。
中值定理与导数的应用:
罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理。
罗必塔法则,泰勒中值定理。
函数和曲线性态的研究。
函数图形的描绘。
最大值最小值问题。
曲率、弧微分,曲率及其计算公式,曲率圆与曲率半径。
方程的近似解:
二分法,切线法。
3.一元函数的积分学
不定积分的概念与性质:
原函数与不定积分的概念,基本积分表,不定积分的性质。
换元积分法:
第一类换元积分法,第二类换元积分法。
分部积分法。
几种特殊类型函数的积分:
有理函数积分,三角函数有理式积分,简单无理函数积分举例。
积分表的使用。
定积分的概念:
定积分问题举例,定积分定义。
定积分的性质,微积分基本公式。
定积分的换元法,定积分的分部积分法。
定积分的近似计算:
矩形法,梯形法,抛物线法。
定积分的应用:
定积分的元素法,平面图形的面积,直角坐标情形、极坐标情形,体积,旋转体体积,平行截面面积为已知的立体的体积,平面曲线的弧长,直角坐标情形,参数方程的情形,极坐标方程的情形。
定积分在物理学中的应用:
变力沿直线所作的功,水压力,引力,力矩和重心。
4.微分方程
微分方程的基本概念,可分离变量的微分方程,齐次方程,一阶线性方程,二阶常系数非齐次线性微分方程,
型及
型。
5.向量代数与空间解析几何
空间直角坐标系,空间点的直角坐标,空间两点间的距离。
向量代数:
向量的概念,向量的加法,向量与数量的乘积,向量在轴上的投影,向量的分解和向量的坐标。
向量的模与方向余弦的坐标表示法。
两向量的数量积,两向量的向量积。
曲面及其方程:
平面的点法式方程,平面的一般方程,两平面的夹角。
空间曲线及其方程:
空间直线的一般方程,空间直线的对称式方程与参数方程,两直线的夹角,直线与平面的夹角。
二次曲面:
椭球面,双曲面,抛物面。
6.多元函数微分法及其应用
多元函数的基本概念:
多元函数概念,区域,多元函数的极限,多元函数的连续性。
偏导数:
偏导数的定义及其计算法,高阶偏导数。
全微分,多元复合函数的求导法则。
隐函数的求导公式。
多元函数微分法的几何应用举例:
空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线。
多元函数的极值。
7.多元函数的积分学
二重积分的概念与性质:
曲顶柱体的体积与二重积分,二重积分的性质。
二重积分的计算法:
利用直角坐标计算二重积分,利用极坐标计算二重积分。
二重积分的应用:
曲面的面积,平面薄片的重心,平面薄片的转动惯量。
三重积分:
三重积分的概念,三重积分的计算法,重积分的应用。
对弧长的曲线积分:
对弧长的曲线积分的概念,对弧长的曲线积分的性质,对弧长的曲线积分的计算法。
※对坐标的曲线积分:
对坐标的曲线积分的概念,对坐标的曲线积分的性质。
对坐标的曲线积分的计算法,两类曲线积分之间的联系。
※格林公式及其应用:
格林公式,平面上曲线积分与路径无关的条件。
8.无穷级数
常数项级数的概念和性质:
常数项级数的概念,无穷级数的基本性质。
常数项级数的审敛法:
正项级数及其审敛法,交错级数及其审敛法,绝对收敛与条件收敛。
幂级数:
函数项级数的一般概念,幂级数及其收敛区间。
幂级数的运算。
函数展开成幂级数:
泰勒级数,函数展开成幂级数。
幂级数在近似计算中的应用。
傅立叶级数:
三角级数,三角函数系的正交性。
周期为
的周期函数展开成傅立叶级数。
四、 课程学时分配
第一章 函数
7
第二章极限与连续
10
第三章 导数与微分
9
第四章 导数的应用
12
第五章 不定积分
15
第六章 定积分及其应用
13
第七章 空间解析几何
14
第八章 多元函数
15
第九章 多元函数的积分数
17
第十章 无穷级数
8
第十一章 常微分方程
14
共 计
134
五、课程习题的要求
高等数学的习题大致有基本概念题,如利用极限定义验证极限的存在,利用导数定义求导数等等,还有基本理论题,如利用极限存在准则证明极限的存在,用连续函数的性质与中值定理证明等式、不等式及方程根的存在或唯一等。
最大量的是基本运算技能题。
工科专科本身要求数学以应用为目的,保证知识的覆盖面和数学自身的系统性,而对有关基础理论不作严密论证和推导,但要注重基本运算的训练以及基本方法的掌握,以适应后续课的需要及数学本身的需要。
因而这类题是大量的。
再就是应用题和综合题,如用导数最大值与最小值及用定积分求功、引力等。
这类习题可以培养学生运用所学知识提高分析问题、解决问题的能力,必须引起足够的重视。
基于数学本身的特点、每次授课以后都要留适量的习题,保证基本要求的实现,其习题数量大致为。
1.函数、极限、连续:
65-70题。
2.一元函数微分学:
90-95题。
3.一元函数积分学:
90-95题。
4.微分方程:
60-65题。
5.向量代数与空间解析几何:
35-40题。
6.多元函数微分法及应用:
65-70题。
7.多元函数积分学:
60-65题。
8.无穷级数:
45-50题。
六、课程主要参考书:
《高等数学》同济大学数学教研室 高等教育出版社
数学分析教研室
二○○八年八月
- 配套讲稿:
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