导数与根的个数的问题答案版.docx
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导数与根的个数的问题答案版
根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题解题步骤
第一步:
画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关
系;
第三步:
解不等式(组)即可;
13(k+1)21
例1、已知函数f(x)x3x2,g(x)kx,且f(x)在区间(2「:
)上为增函数.
323
(1)求实数k的取值范围;
2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
解:
(1)由题意f(x)=x2-(k1)x•/f(x)在区间(2「:
)上为增函数,
二f(x)=x2-(k1)x0在区间(2,•:
:
)上恒成立(分离变量法)即kT:
:
:
x恒成立,又x.2kT乞2,故k乞1k的取值范围为k乞1
(2)设h(x)=f(x)-g(x)=x_(k1)x2kx-,
323
h(x)=x2-(k1)xk=(x-k)(x-1)
令h(x)=0得x=k或x=1由
(1)知k乞1,
1当k=1时,h(x)=(x-1)2_0,h(x)在R上递增,显然不合题意,
2当k<1时,h(x),h(x)随x的变化情况如下表:
x
(-00,k)
k
(k,1)
1
(尸)
h(x)
+
0
一
0
+
h(x)
/
极大值
!
3I2“kk1
623
极小值
k—1
2
/
k-1
由于0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程h(x)=0有三个不同的实根,
2
k3k212"k<1厂
故需——+———>0,即(k—1)(k—2k—2)v0.•.」2,解得k£1—V3
623k2-2k-2>0
综上,所求k的取值范围为kd-,3
根的个数知道,部分根可求或已知。
例2、已知函数f(x)二ax31x2-2xc
2
(1)若x=-1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点,求f(x)的极值;
12
(2)若g(x)-xd,在
(1)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的
图像恒有含x=-1的三个不同交点?
若存在,求出实数b的取值范围;否则说明理由。
高…网
解:
(1)vf(x)的图像过原点,贝Uf(0)=0=c=0f(x)=3ax2•x-2,又x=T是f(x)的极值点,贝Uf(T)=3a-1-2=0=a=T
.f(x)=3x1x—2=(3x—2)(x1)=0
f极小值(x)=
(2)设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x--1的三个不同交点,
1
等价于f(x)二g(x)有含x-一1的三个根,即:
f(-1)=g(-1)=d(b-1)
2
312121
.x-x-2xbx-x(b-1)整理得:
222
3121
即:
x(b-1)x-x(b-1)=0恒有含x=-1的三个不等实根
22
11
(计算难点来了:
)h(x)=x-?
(b-1)x2-xg(b-1)=0有含x--1的根,
则h(x)必可分解为(x•1)(二次式)=0,故用添项配凑法因式分解,
322121
x3x-x2(b-1)x-x(b-1)=0
22
x2(x1)一f(b1)x2乂一扣一"=0
x2(x1)-
1)x22x—(b—1)=0
十字相乘法分解:
X2
(1)-1〔b•1x-b」1)x・1=0
-111
(x1)x2-1(b1)x尹-J"
3121
x(b-1)x-x(b-1)=0恒有含X--1的三个不等实根
22
211
等价于x(b1)x(b-1)=0有两个不等于-1的不等实根。
22
题2:
已知f(x)在给定区间上的极值点个数贝V有导函数=0的根的个数解法:
根分布或判别式法
例3、
已知函数/(£)二扌卞‘一寺5+3)x2+(m+6)x,xelt(m为常数)》
(I)当册"时,求函数/(幻的单调区间;
(H)若函数r=/(x)在区间⑴
)上有两个极值点,求实数恥的取值范
解:
函数的定义域为R(I)当m=4时,f(x)=1x3-?
x2+10x,
f(x)=x2-7x+10,令f(x).0,解得x.5,或x:
:
:
2.
令f(x):
:
:
0,解得2:
:
:
x:
:
:
5
可知函数f(x)的单调递增区间为(-:
:
2)和(5,+^),单调递减区间为2,5-
(n)f(x)=x2-(m+3)x+m+6,
要使函数y=f(x)在(1,+^)有两个极值点,:
f(x)=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+^)
根分布问题:
f
2
△=(m+3)-4(m+6)>0;
则 (1)=1—(m+3)+m+6>0;,解得m>3 m+3 >1. -2 (2)令g(x)=-x4+f 4 (a・R,a=0) (1)求f(x)的单调区间; (x)(x€R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围. 解: (1)f'(x)=ax2x=x(ax1) 1'1 当a0时,令f(x)-0解得x或x•0,令f(x)”: 0解得x”: 0, aa 所以f(x)的递增区间为(-=-丄)(0,;),递减区间为(-丄,0). aa 当a: : 0时,同理可得f(x)的递增区间为(0,-丄),递减区间为(-: : 0)(-丄「: ).aa 1a1 (2)g(x^4x~x3-x2有且仅有3个极值点 432 3222 =g(x)=xaxx=x(xax1)=0有3个根,则x=0或xax1=0,a: : -2方程x2ax^0有两个非零实根,所以厶=a2-40, a”—2或a2 而当a-2或a.2时可证函数y=g(x)有且仅有3个极值点 题3: 切线的条数问题====以切点X。 为未知数的方程的根的个数 例5、已知函数f(x^ax3bx2cx在点x0处取得极小值—4,使其导数f'(x).0的x的取值范围 为(1,3),求: (1)f(x)的解析式; (2)若过点可作曲线y二f(x)的三条切线,求实数m的取值范围. 2 (1)由题意得: f'(x)=3ax2bxc=3a(x_1)(x_3),(a: : 0) .•.在(一: : 1)上f'(x): : : 0;在(1,3)上f'(x)0;在(3,: : )上f'(x): : : 0 因此f(x)在x0=1处取得极小值-4 .abc=4①,f' (1)=3a2bc=0②,f'(3)=27a6bc=0③ a--1 由①②③联立得: b=6,.f(x)=-x3•6x2-9x c=-9 (2)设切点Q(t,f(t)),y-f(t)二f,(t)(x—t) y=(-3t212t-9)(x-t)(-t36t2-9t) =(-3t212t-9)xt(3t2-12t9)-t(t2-6t9) =(-3t212t-9)xt(2t2-6t)过(-1,m) m=(-3t212t-9)(-1)2t-6t2 g(t)=2t3_2t2-12t9_m=0 令g'(t)=6t2-6t-12=6(t2-t-2)=0, 求得: t=-1,t=2,方程g(t)=0有三个根。 m: 16 m-11 故: -11: : : m: : : 16;因此所求实数m的范围为: (-11,16) 例6、(根分布与线性规划例子) 2 (1)已知函数f(x)x3ax2bxc 3 (I)若函数f(x)在x=1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x^0平行,求 f(x)的解析式; (n)当f(x)在(0,1)取得极大值且在(1,2)取得极小值时,设点M(b-2,a1)所在平 面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1: 3的两部分,求直线L的方程. 解: (I)•由f(x)=2x2•2ax•b,函数f(x)在x=1时有极值, 2ab2=0 f(0)=1c=1 又•••f(x)在(0,1)处的切线与直线3x•y=0平行, 1 •••f(0)=b=—3故 2 2312 f(x)xx-3x1.7分 32 2 (n)解法一: 由f(x)=2x2•2ax•b及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值, x20 2yx0故点M所在平面区域S为如图△ABC, 4yx60 3 易得A(-2,0),B(-2,-1),C(2,-2),D(0,-1),E(0,-3),Sabc=2 2 同时DEABC的中位线, 四边形ABED 所求一条直线L的方程为: x=0 另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为 与AC,BC分别交于F、G贝Vk0,S四边形degf=1 由2阳2=0 得点F的横坐标为: Xf2 2k+1 6 4k+1 由y=得点G的横坐标为: Xg 4yx6=0 —-11-1即16k22k—5=0 2k1 同时DEABC的中位线,Sdec =3^四边形ABED•所求一条直线L的方程为: X=0 3 另一种情况由于直线 BO方程为 y,设直线BO与AC交于H, 2 1 由y=_x 由<2 gy+x+2=0 •••所求直线方程为: 作业讲解 1、(根的个数问题) 已知函数f(x)二ax3•bx2•(c-3a-2b)x•d(a0)的图象如图所示。 (i)求c、d的值; (n)若函数f(x)的图象在点(2,f (2))处的切线方程为3x•y一11=0, 求函数f(x)的解析式; (川)若x0=5,方程f(x)-8a有三个不同的根,求实数a的取值范围。 解: 由题知: f(X)=3ax22bx+c-3a-2b (I)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3),且「1=0 丄d=3— 得= 3a2bc-3a-2b=0 (n)依题意f2=-3且f (2)=5 12a4b-3a-2b=—3 i解得a=1,b=-6 8a4b-6a「4b3=5 32 所以f(x)=x-6x+9x+3(川)依题意f(x)=ax+bx-(3a+2b)x+3(a>0) 2 fx=3ax+2bx-3a-2b由f5=0=b=-9a① 若方程f(x)=8a有三个不同的根,当且仅当满足f(5)v8avf(1丿② —1 由①②得-25a+3v8av7a+3vav3 11 1 所以当一vav3时,方程f(x)=8a有三个不同的根。 ,”,12分 11 21 2.已知函数f(x)=41nx-x,函数g(x)=f(x)mTn4若方程g(x)=0在[-,2]e 上恰有两解,求实数m的取值范围. 2 解: g(x)=41nx-xm-ln4 令g(x)=0得m--4lnxx2ln4 则此方程在[丄2]上恰有两解。 e 记「(x)二x-41nxIn4 讥、c42x2-42(x+J0)(x-V2)c (x)=2x01 xxx得x=V2e[-,2] e 11_在[丄「2]上,(x)<0,「(X)单调递减; e 在[.2,2]上,」(x)0,(x)单调递增; 又「(丄)=丄42ln2,(.2)=2, (2)=4-41n22In2=4-21n2ee 丁半(丄)^ (2)兰4—2In2 e 1 3.设函数f(x)=clnxxbx(b,cR,c=0),且x=1为f(x)的极值点. (I)若x=1为f(x)的极大值点,求f(x)的单调区间(用c表示); (n)若f(x)=o恰有两解,求实数c的取值范围. 所以f(x)=(x—1)(x-c)且C",be1=0 (I)因为x=1为f(x)的极大值点,所以c1 当0: : x : : 1时,f(x)0;当1: xc时,f(x): : : 0;当xc时,f(x)0 所以f(x)的递增区间为(0,1),2,7);递减区间为(1,c). (II)①若c: ;°,则f(x)在(0,1)上递减,在(1,7)上递增 11 b: : 0c: : 0 f(x)二恰有两解,则f (1)"0,即2,所以2; 121 ②若0: : : c<1,则加大(x—nc丁bc,f极小(x)“(1rb 因为b二-1-c c2c2 ,贝Uf(x)的极大值为clncc(T-c)=cInc-c0, 22 1 f(x)的极小值为-? -c,从而f(x)=0只有一解; 1 f(x)的极大值为则f(x)=o只有一解. 1 综上,使f(x)=0恰有两解的c的范围为--: : : c: : : 0. 2 、1 4、(根的个数问题)已知函数f(x)x'-ax2-xT(a・R) (1)若函数f(x)在x=x「x=X2处取得极值,且咅-%=2,求a的值及f(x)的单调区间; 1i5 (2)若a,讨论曲线f(x)与g(x)x2-(2aT)x•—(-2乞x乞1)的交点个数. 226 解: (1)f(x)=x2-2ax-1 二X"i_x2|=+x2)2-4x^2=$4a2+4=2 二a=0 555555555555555555555555555 f(x)=x2「2ax「1=x2「1 令f(x)0得x”一1,或x-1 令f(x)<0得一1: : : x<1 f(x)的单调递增区间为(」: ,-1),(1,二),单调递减区间为(-1,1),,,,5分 (2)由题f(x)二g(x)得-ax2-x1=^x2-(2a1)x- 326 13121 即一x-(a)x2ax0326 13121 令: (x^-x-(a-)x2ax匚(-2乞X乞1),,,,,,,,6分 326 : (X)二x2-(2a1)x2a=(x-2a)(x-1) 令,(x)=0得x=2a或x-1,,,,,,,,,,,,,,,,,7分 当2a岂-2即am-1时 x -2 (-2,1) 1 A(x) 一 ®(x) 9 —8a__ 2 、 a 9 此时,-8a0,a: : : 0,有一个交点;9分 2 1 当2a_-2即_1: : : a时, 2 x -2 (22a) 2a (2a,1) 1 A(x) + 0 一 ®(x) da—9 2 / ? a2(3—2a)+1 36 a 2i a(3-2a)0, 36 99 •••当-8a0即-1■.a时,有一个交点; 216 99 当-8a0,且a_0即a_0时,有两个交点; 216 19 当0: : a时,-8a0,有一个交点.,””,”,13分 22 91 综上可知,当a或0: : : a时,有一个交点; 162 9 当a^0时,有两个交点.,,,,,,,,,,,,,14分 16
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