24函数的奇偶性及周期性副本.docx
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24函数的奇偶性及周期性副本
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面:
一是函数奇偶性概念的应用,一般为求参数或求值,如2012年上海T9等,属于容易题;二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等),如2012年陕西T2,福建T7等.
2.高考对函数周期性的考查,题型主要以选择题或填空的形式出现,常涉及函数求值问题,且与函数的单调性、奇偶性相结合命题,如2012年山东T8等.
[归纳·知识整合]
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
[探讨] 1.奇函数、偶函数的概念域具有什么特点?
它是函数具有奇偶性的什么条件?
提示:
概念域关于原点对称,必要不充分条件.
2.若f(x)是奇函数且在x=0处有概念,是不是有f(0)=0?
若是是偶函数呢?
提示:
若是f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则f(0)=0;若是f(x)是偶函数时,f(0)不必然为0,如f(x)=x2+1.
3.是不是存在既是奇函数又是偶函数的函数?
如有,有多少个?
提示:
存在,如f(x)=0,概念域是关于原点对称的任意一个数集,如此的函数有无穷多个.
2.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),若是存在一个非零常数T,使适当x取概念域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为那个函数的周期.
(2)最小正周期:
若是在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么那个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
4.若T为y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期吗?
提示:
不必然.由周期函数的概念知,函数的周期是非零常数,当n∈Z且n≠0时,nT是f(x)的一个周期.
[自测·牛刀小试]
1.(教材习题改编)下列函数是奇函数的有( )
①f(x)=2x4+3x2; ②f(x)=x3-2x;
③f(x)=
;④f(x)=x3+1.
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
解析:
选B 第一肯定这四个函数的概念域都关于原点对称,然后由奇函数的概念逐个判断可知,②③为奇函数.
2.(2013·郑州模拟)设函数f(x)和g(x)别离是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
解析:
选A ∵函数f(x)和g(x)别离是R上的偶函数和奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
令F(x)=f(x)+|g(x)|,
F(-x)=f(-x)+|g(-x)|
=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=F(x).
故F(x)为偶函数.即f(x)+|g(x)|是偶函数.
3.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f
=( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:
选A ∵f(x)是周期为2的奇函数,
∴f
=-f
=-f
=-f
=-2×
×
=-
.
4.(2012·重庆高考)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.
解析:
f(x)=x2+(a-4)x-4a为二次函数,其图象的对称轴为x=-
,因为偶函数的图象关于y轴对称,所以-
=0,解得a=4.
答案:
4
5.设函数f(x)是概念在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则知足f(x)>0的x的取值范围是________.
解析:
∵当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,
∴当x∈(0,1)时,f(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,f(x)>0.
又∵函数f(x)为奇函数,
∴当x∈(-1,0)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-1)时,
f(x)<0.
∴知足f(x)>0的x的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).
答案:
(-1,0)∪(1,+∞)
判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=(x+1)
.
[自主解答]
(1)由
得x=-
或x=
.
∴函数f(x)的概念域为{-
,
}.
又∵对任意的x∈{-
,
},
-x∈{-
,
},
且f(-x)=-f(x)=f(x)=0.
∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
(2)∵
∴-2≤x≤2且x≠0.
∴函数f(x)的概念域关于原点对称.
又∵x+3>0,
∴f(x)=
=
.
又f(-x)=
,
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数.
(3)由
得-1 ∵f(x)的概念域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 若将本例 (1)改成“f(x)= + ”,试判断其奇偶性. 解: ∵函数f(x)= + 的概念域为 ,不关于坐标原点对称, ∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. ————— —————————————— 判断函数奇偶性的方式 (1)第一肯定函数的概念域是不是关于原点对称,若不关于原点对称,则既不是奇函数也不是偶函数. (2)若概念域关于原点对称,则可用下述方式进行判断: ①概念判断: f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数, f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数. ②等价形式判断: f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数, f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.或等价于 =1,则f(x)为偶函数; =-1,则f(x)为奇函数. (3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行. (4)对于抽象函数奇偶性的判断,应充分利用概念,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判定. 1.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=lg ; (2)f(x)= (3)f(x)= . 解: (1)由 >0⇒-1 概念域关于原点对称. 又f(-x)=lg =lg -1=-lg =-f(x), 故原函数是奇函数. (2)函数概念域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时, -x>0,故f(-x)=x2-x=f(x); 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数. (3)由 得概念域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称, ∴f(x)= =- . ∵f(-x)=- =- =f(x), ∴f(x)为偶函数. 函数奇偶性的应用 [例2] (1)(2012·上海高考)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f (1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________. (2)(2012·新课标全国卷)设函数f(x)= 的最大值为M,最小值为m,则M+m=________. [自主解答] (1)令H(x)=f(x)+x2,则H (1)+H(-1)=f(-1)+1+f (1)+1=0,则f(-1)=-3, 故g(-1)=f(-1)+2=-1. (2)将函数化简,利用函数的奇偶性求解. f(x)= =1+ , 设g(x)= ,则g(-x)=-g(x), 因此g(x)是奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0, 则M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min =2+g(x)max+g(x)min=2. [答案] (1)-1 (2)2 ————— —————————————— 与函数奇偶性有关的问题及解决方式 (1)已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而取得f(x)的解析式. (3)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法: 利用f(x)±f(-x)=0取得关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解. (4)应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 2. (1)设f(x)为概念在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 (2)已知函数f(x)在区间[-5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且f(3) (1),则( ) A.f(-1) C.f(-1) (1)D.f(-3)>f(-5) 解析: (1)选A 因为f(x)为概念在R上的奇函数,所以f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1.所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f (1)=-(21+2×1-1)=-3. (2)选A 函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数,又3>1,且f(3) (1),故此函数在区间[0,5]上是减函数. 由已知条件及奇函数性质,知函数f(x)在区间[-5,5]上是减函数. 选项A中,-3<-1,故f(-3)>f(-1). 选项B中,0>-1,故f(0) 同理选项C中f(-1)>f (1),选项D中f(-3) 函数的周期性及其应用 [例3] (1)(2012·山东高考)概念在R上的函数f(x)知足f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2012)=( ) A.335 B.338 C.1678 D.2012 (2)(2012·江苏高考)设f(x)是概念在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= 其中a,b∈R.若f =f ,则a+3b的值为________. [自主解答] (1)由f(x+6)=f(x)可知,函数f(x)的周期为6,所以f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f (1)=1,f (2)=2,所以在一个周期内有f (1)+f (2)+…+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以f (1)+f (2)+…+f(2012)=f (1)+f (2)+335×1=1+2+335=338. (2)因为f(x)是概念在R上且周期为2的函数,所以f =f ,且f(-1)=f (1),故f =f ,从而 =- a+1,即3a+2b=-2.① 由f(-1)=f (1),得-a+1= ,即b=-2a.② 由①②得a=2,b=-4,从而a+3b=-10. [答案] (1)B (2)-10 ————— —————————————— 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)即可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)按照函数的周期性,能够由函数局部的性质取得函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论: 若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期. 3. (1)(2013·济宁模拟)已知函数f(x)是概念在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数.若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f 的值为( ) A.- B.-5 C.- D.-6 (2)已知函数f(x)是概念域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[1,3]上是( ) A.增函数B.减函数 C.先增后减的函数D.先减后增的函数 解析: (1)选C ∵-3 6<-2,∴-1 6+2<0,即-1 <0.∵f(x)是周期为2的奇函数, ∴f(log 6)=f =-f =-f =- =- . (2)选D 由f(x)在[-1,0]上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在[0,1]上是增函数. 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x), 故2是函数f(x)的一个周期. 结合以上性质,模拟画出f(x)部份图象的转变趋势,如下图. 由图象能够观察出,f(x)在[1,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数. 2个特点——奇、偶函数的概念域及关系式的特点 (1)奇、偶函数的概念域关于原点对称.函数的概念域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是概念域上的恒等式. 5个性质——函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上如有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上如有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数f(x)概念域中含有0,则必有f(0)=0. f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也没必要要条件. (4)概念在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”. (5)设f(x),g(x)的概念域别离是D1,D2,那么在它们的公共概念域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,奇×偶=奇. 3种方式——函数奇偶性的判断方式 判断函数的奇偶性一般有三种方式: (1)概念法; (2)图象法;(3)性质法. 3条结论——关于函数周期性常常利用的结论 (1)若知足f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以2a是函数的一个周期(a≠0); (2)若知足f(x+a)= ,则f(x+2a)=f[(x+a)+a]= =f(x),所以2a是函数的一个周期(a≠0); (3)若函数知足f(x+a)=- ,同理可得2a是函数的一个周期(a≠0). 创新交汇——与奇偶性、周期性有关的交汇问题 1.函数的奇偶性、周期性和单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一路命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求函数值为主. 2.按照奇偶性的概念知,函数的奇偶性主要表现为f(-x)与f(x)的相等或相反关系,而按照周期函数的概念知,函数的周期性主要表现为f(x+T)与f(x)的关系,它们都与f(x)有关,因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函数的奇偶性取得.函数的奇偶性表现的是一种对称关系,而函数的单调性表现的是函数值随自变量转变而转变的规律,因此,在解题时,往往需借助函数的奇偶性或周期性来肯定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性来解决相关问题. [典例] (2012·辽宁高考)设函数f(x)(x∈R)知足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在 上的零点个数为( ) A.5 B.6 C.7D.8 [解析] 由题意知函数f(x)是偶函数,且周期是2.作出g(x),f(x)的函数图象,如图.由图可知函数y=g(x),y=f(x)在 图象有6个交点,故h(x)=g(x)-f(x)在 上的零点有6个. [答案] B 1.本题具有以下创新点 (1)命题方式创新: 本题是以数学符号语言交代了函数f(x)的奇偶性及周期性,考查了自然语言与符号语言转化的能力. (2)考查内容创新: 本题考查幂函数、三角函数及函数的交汇零点,且将数形结合思想融会其中,较好地考查了探讨能力和逻辑推理能力. (3)解题方式创新: 本题也能够通过巧妙转化,将x3=xcosπx转化为咱们熟悉的二次函数与周期函数间的关系,即x>0时,x2=|cosπx|而使问题得以简单解决. 2.解决本题的关键有以下几点 (1)正确识别函数f(x)的性质; (2)注意到x=0是函数h(x)的一个零点,此处极易被轻忽; (3)正确画出函数的图象,将零点问题转化为函数图象的交点问题. 1.(2013·衡阳六校联考)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2011)+f(2012)=( ) A.1+log23 B.-1+log23 C.-1D.1 解析: 选C ∵f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数, ∴f(-2011)=f(2011). 当x≥0时,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的函数.注意到2011=4×502+3,2012=4×503, ∴f(2011)=f(3)=f(1+2)=-f (1)=-log2(1+1)=-1,f(2012)=f(0)=log21=0. ∴f(-2011)+f(2012)=-1. 2.(2013·朝阳模拟)已知函数f(x)是概念在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( ) A.0B.0或- C.- 或- D.0或- 解析: 选D ∵f(x+2)=f(x),∴T=2. 又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图. 显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点. 另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知y′=(x2)′=2x=1,∴x= . ∴A ,又A点在y=x+a上,∴a=- , 综上可知a=0或- . 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.(2012·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x3 C.y= D.y=x|x| 解析: 选D 由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除B、C,由y=x|x|的图象可知当x≥0时此函数为增函数,又该函数为奇函数. 2.已知f(x)是概念在R上的奇函数,且知足f(x+4)=f(x),则f(8)=( ) A.0B.1 C.2D.3 解析: 选A 由题意,f(x)是以4为周期的奇函数, 则f(4)=f(4+0)=f(0)=0,f(8)=f(4+4)=f(4)=0. 3.设偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f (2)=0,则不等式 >0的解集为( ) A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2) 解析: 选B ∵f(x)为偶函数,∴ = >0, ∴xf(x)>0, ∴ 或 又f(-2)=f (2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴x∈(0,2)或x∈(-∞,-2). 4.已知函数f(x)= 则该函数是( ) A.偶函数,且单调递增B.偶函数,且单调递减 C.奇函数,且单调递增D.奇函数,且单调递减 解析: 选C 当x>0时,-x<0,f(-x)+f(x)=(2-x-1)+(1-2-x)=0;当x<0时,-x>0,f(-x)+f(x)=(1-2x)+(2x-1)=0,易知f(0)=0.因此,对任意x∈R,均有 +f(x)=0,即函数f(x)是奇函数.当x>0时,函数f(x)是增函数,因此函数f(x)单调递增. 5.(2013·广州模拟)已知概念在R上的奇函数f(x)知足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25) C.f(11) 解析: 选D 由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数能够推知f(x)在[-2,2]上递增,又f(x-4)=-f(x)⇒f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数f(x)以8为周期,f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f (1),f(80)=f(0),故f(-25) 6.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( ) A.(1,3)B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1) 解析: 选C f(x)的图象如图. 当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0); 当x∈(0,1)时,由xf(x)<0得x∈∅; 当x∈(1,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3). 故x∈(-1,0)∪(1,3). 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 7.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,概念域为[a-1,2a],则a=________,b=________. 解析: 因为偶函数的概念域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a= . 又函数f(x)= x2+bx+b+1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易患b=0. 答案: 0 8.若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且知足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于________. 解析: ∵y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0. ∴a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 答案: -1 9.(2013·徐州模拟)设函数f(x)是概念在R上周期为3的奇函数,若f (1)<1,f (2)= ,则a的取值范围是________. 解析: ∵f(x)是奇函数,∴f (1)=-f(-1)<1. ∴f(-1)>-1.又∵f(x)的周期为3,∴f(-1)=f (2)= >-1.即 >0,解得a>0或a<-1. 答案: (-∞,-1)∪(0,+∞) 三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 10.函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时是增函数,若f (1)=0,求不等式f(x <0的解集. 解: ∵y=f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f (1)=0. 又∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上是增函数, 若f(x <0=f (1)
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- 24 函数 奇偶性 周期性 副本