完整版抛物线的性质归纳及证明文档格式.docx
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②焦半径|BFIX2占
21cos2
③备+帀十厂p;
④弦长IAB|=Xi+X2+p=—;
特别地,
|AF||BF丨psin2
_p_
1cos
当xi=X2(=90)
时,弦长|AB|最短,称为通径,长为鸟卩:
⑤^AOB的面积S^OAB=
2sin
证明:
根据抛物线的定义,IAF|=IAD|=xi+p,IBF|=IBC|=X2+号,
|AB|=|AF1+|BF|=X1+X2+P
如图2,过A、B引X轴的垂线AAi、BBi,垂足为
Ai、Bi,那么IRF|=|ADI—IFA1|=|AF|-|AF|cos,
•jAF=1—o^=1—cos
同理,IBF|=IRFI=―p—
1+cos1+cos
•jAB=IAFI+IBF=血+1+cos=sin2
S5=SSAF+&
OBF=2|ofIIyi|+1OF||yi|=舟-p-(Iyi
1+1yiI)
■yiy2=—P2,贝yyi、y2异号,因此,Iyi|+|yi|=|yi—y2|
二SgAB=p|yi—y2|=艸(yi+y2)2—4yiy2=哲4m2p2+4p2=^p/i+m2=2Sn
2.求证:
①XX2P:
②yy
4
当AB丄x轴时,有
AF
BF
P,成立;
当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:
•代入抛物线方程:
k2X
2
22PX.化简得:
k2x2
k22
•••方程
(1)之二根为
k2
X1X2p
PP
X1
421
X2
X1,X2,
•-X1
BB1
3.求证:
AC'
B
X1X2
P1X2
A'
FB'
Rt/.
则
先证明:
/AMB=Rt/
•••△ABE为等腰三角形,又M是AE的中点,
•••BM丄AE,即/AMB=Rt/【证法二】取AB的中点N,连结MN,则
|MN|=2(|AD汁IBC|)=2(1AF|+|BF|)=弓AB|,a|MN|=|AN|=|BN|
pp2(y1—y2)2
=X1X2+2(X1+X2)+4——
=齐瞪+i+臭沁4
p!
+迤=p!
+»
=0
•••MA丄1Mb,故/AMB=Rt/.
【证法五】由下面证得/DFC=90,连结FM,贝UFM=DM.
又AD=AF,故△ADMAFM,如图4
•••/1=/2,同理/3=/4
•••/2+/3=2X180=90•••/AMB=Rt/.
接着证明:
/DFC=Rt/
【证法一】如图5,由于IAD|=|AF|,AD//RF,
同理,设/BFC=/BCF=/CFR=,而/AFD+/DFR+/BFC+/CFR=180
与抛物线方程y2=2px联立消去x得
22
y—yi=yi(2p―2p),整理得y2—2yiy+y2=0
可见△=(2yi)2—4y2=0,
故直线AM与抛物线y2=2px相切,
同理BM也是抛物线的切线,如图8.
(y2)x=(2px)x,
A(xi,yi)处的切线的斜率为k切=yx|y
【证法二】由抛物线方程y2=2px,两边对x求导,
得2y•yx=2p,y=p,故抛物线y2=2px在点
=yi=P
yi
切线.
即AM是抛物线的切线,同理BM也是抛物
=2.且M(-p,宁)
「tan=kAB=x2—i=y¥
y2.
2p—环
,即AM平分/DAB,同理BM平分/CBA.
G2(0,
【证法一】如图10,设AM与DF相交于点Gi,
DF边上的中线,
由以上证明知IAD|=IAFI,AM平分/DAF,故AGi也是
•Gi是DF的中点.
设AD与y轴交于点Di,DF与y轴相交于点
易知,IDDiI=IOFI,DDi//OF,
故^DDiG2BAFOG2•••IDG2|=|FG2I,则G2也是DF的中点.
•-Gi与G2重合(设为点G),贝UAM、DF、
线共点,
7.A、0、B'
三点共线,B、0、A'
三点共线.
=IC0|=IBFII0F|=ICBI•IADI=ICAI=IABI,IAF|=|AB|,
又IAD|=IAFI,IBC|=IBF|,a罟古辭
共线.
【证法三】设AC与x轴交于点0,RF//BC,I0^=^TZ-*,
1CB11AB1
=IAF|+IBF1=丄=2【见⑵证】IAFIIBFI
•••OC//OA,且都以0为端点
•••A、0、C三点共线,同理B、0、D三点共线.
三点也共线,如下图:
于E,设IAF|=mt,|AF|=nt,则
|AD|=IAFI,IBC|=IBF|,|AE|=|AD|-|BC|=(m—n)t
IABI(m+n)tm+n
•••在Rt△ABE中,cos/BAE=仏口=血皿吩n
/•cos=cos/BAE=m—n
m+n
【例6】设经过抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线相交于
两点A、B,
且IAFI:
IBF|=3:
1,则直线AB的倾斜角的大小为
【说明】如图15,设E是AF的中点,
【答案】60或120.
p十X1
则E的坐标为(勺一
则点E到y轴的距离为
同理以BF为直径的圆与y轴相切.
【说明】如图15,设M是AB的中点,作MN丄准线I于N,则
111
1MN|=1(|AD汁丨BC|)=1(|AF|+|BF|)=刁AB|
8p
y1+y2
2p
【证法二】AM的直线方程为y—yi=十(x—稽),
令x=0得AM与y轴交于点Gi(0,yi),
又DF的直线方程为y=—W(x—p),令x=0得DF与y轴交于点
p2
•••AM、DF与y轴的相交同一点G(0,罗),贝UAM、DF、y轴三线共点,
同理BM、CF、y轴也三线共点H.由以上证明还可以得四边形MHFG
_-2p2+y2+y22y1y2+yi+y2
•••点Q在抛物线y2=2px上,即Q是MN的中点.
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