线性代数向量空间的练习题.docx
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线性代数向量空间的练习题
线性代数向量空间的练习题
一、单项选择题
1.设A,B分别为m×n和m×k矩阵,向量组是由A的列向量构成的向量组,向量组是由的列向量构成的向量组,则必有
A.若线性无关,则线性无关B.若线性无关,则线性相关
C.若线性无关,则线性无关D.若线性无关,则线性相关
2.设?
1,?
2,?
3,?
4是一个4维向量组,若已知?
4可以表为?
1,?
2,?
3的线性组合,且表示法
惟一,则向量组?
1,?
2,?
3,?
4的秩为
A.1B.2
C.D.4
3.设向量组?
1,?
2,?
3,?
4线性相关,则向量组中
A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
4.设有向量组A:
?
1,?
2,?
3,?
4,其中?
1,?
2,?
3线性无关,则
A.?
1,?
3线性无关B.?
1,?
2,?
3,?
4线性无关
C.?
1,?
2,?
3,?
4线性相关D.?
2,?
3,?
4线性相关
5.向量组?
1,?
2,?
?
s的秩不为零的充分必要条件是
A.?
1,?
2,?
?
s中没有线性相关的部分组
C.?
1,?
2,?
?
s全是非零向量B.?
1,?
2,?
?
s中至少有一个非零向量D.?
1,?
2,?
?
s全是零向量
6.设α1,α2,α3,α4是4维列向量,矩阵A=.如果|A|=2,则|-2A|=
A.-3B.-4
C.D.32
7.设α1,α2,α3,α是三维实向量,则
A.α1,α2,α3,α4一定线性无关B.α1一定可由α2,α3,α4线性表出
C.α1,α2,α3,α4一定线性相关D.α1,α2,α3一定线性无关
8.向量组α1=,α2=,α3=的秩为
A.1B.2
C.D.4
9.下列命题中错误的是..
A.只含有一个零向量的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
C.由一个非零向量组成的向量组线性相关
D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
10.已知向量组α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,β线性相关,则
A.α1必能由α2,α3,β线性表出
C.α3必能由α1,α2,β线性表出
B.α2必能由α1,α3,β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出
11.设α1,α2,α3,α4都是3维向量,则必有
A.α1,α2,α3,α4线性无关B.α1,α2,α3,α4线性相关
C.α1可由α2,α3,α4线性表示D.α1不可由α2,α3,α4线性表示
二、填空题
1.已知向量α=,β=,如果α+ξ=β,则ξ=_________.
2.设向量组?
1=,?
2=,?
3=线性相关,则数a=________.
3.向量组?
1?
?
2?
?
3?
的秩为_____________。
4.已知向量组?
1?
T,?
2?
T,?
3?
T线性相关,则数a?
______.
5.设向量组?
1?
T,?
2?
T,且?
1?
?
1?
?
2,?
2?
?
2,则向量组?
1,?
2的秩为______.
6.实数向量空间V={|x1+x2+x3=0}的维数是_________.
TT7.设4维向量?
?
β=,若向量γ满足2?
?
γ=3β,则γ=__________.
8.设α=,则与α反方向的单位向量是_________________.
9.设A为5阶方阵,且r=3,则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______________.
三、计算题
1.求向量组α1=,α2=,α3=的秩.
2.求向量组?
1=T,?
2=T,?
3=T,?
4=T的一个极大无关
组,并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.
3.设向量组为?
1?
?
2?
?
3?
?
4?
求向量组的秩,并给出一个极大线性无关组。
4.设向量组?
1?
T,?
2?
T,?
3?
T,?
4?
T,
求该向量组的秩及一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.
5.设向量α=,求101.
6.设向量组α1=,α2=,α3=,α4=.
求该向量组的一个极大线性无关组;
将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.
7.设向量组?
1?
T,?
2?
T,?
3?
T,?
4?
T,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。
8.求向量组α1=,α2=,α3=的秩和一个极大无关组.
四、证明题
1.设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1,证明:
向量
组β1,β2,β3线性无关.
2.证明:
若向量组?
1,?
2,?
?
n线性无关,而?
1?
?
1?
?
n,?
2?
?
1?
?
2,?
3?
?
2?
?
3,?
?
n?
?
n?
1+?
n,则向量组?
1,?
2,?
?
n线性无关的充要条件是n为奇数。
3.设向量组?
1,?
2,?
3线性无关,且?
?
k1?
1?
k2?
2?
k3?
3.证明:
若k1≠0,则向量组
?
?
2,?
3也线性无关.
4.已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,证明:
α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4-α1线性无关.
5.若α1,α2,α3是Ax=b的线性无关解,证明α2-αl,α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.
《第四章向量空间》自测题
分钟)
1.下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R上一个向量空间的是。
R中,分量满足x1+x2+…+xn=0的所有向量;R中,分量是整数的所有向量;
R中,分量满足x1+x2+…+xn=1的所有向量;
Rn中,分量满足x1=1,x2,…,xn可取任意实数的所有向量。
.设R的一组基为?
1,?
2,?
3,?
4,令
nnn
?
1?
?
1?
?
2,?
2?
?
2?
?
3,?
3?
?
3?
?
4,?
4?
?
1?
?
4,
则子空间W?
{k1?
1?
k2?
2?
k3?
3?
k4?
4|ki?
F,i?
1,2,3,4}的维数为,它的一组基为。
.向量空间Rn的子空间W?
{|x1?
x2?
0,x1?
xn?
1?
R}的维数为
它的一组基为。
a114.设W是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间,即Wa
12
?
a12?
?
?
aij?
R?
,则它的维数为,a22
一组基为。
?
?
a?
5.若A=?
b
?
?
0?
?
12120
?
0?
?
0?
为正交矩阵,且|A|=-1,则a=,?
1
?
=。
二、计算题
1.设R3的两组基为:
?
1?
?
2?
?
3?
和?
1?
?
2?
?
3?
,
T
T
T
T
T
T
向量α=
求由基?
1,?
2,?
3到基?
1,?
2,?
3的过渡矩阵。
求α关于这两组基的坐标。
将?
1,?
2,?
3化为一组标准正交基。
2.在R中,求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基,
T
?
3x1?
2x2?
5x3?
4x4?
0?
?
3x1?
x2?
3x3?
3x4?
0
?
3x?
5x?
13x?
11x?
0
234?
1
3.已知?
1,?
2,?
3是3维向量空间R3的一组基,向量组?
1,?
2,?
3满足
?
1?
?
3?
?
1?
?
2?
?
3,?
1?
?
2?
?
2?
?
3,?
2?
?
3?
?
1?
?
3
证明:
?
1,?
2,?
3是一组基。
求由基?
1,?
2,?
3到基?
1,?
2,?
3的过渡矩阵。
求向量1?
2?
2?
?
3关于基?
1,?
2,?
3的坐标。
.已知A是2k+1阶正交矩阵,且|A|=1,求|A-E|。
三、证明题
1.设k1?
?
k2?
?
k3?
?
0,且k1k3?
0。
证明:
L?
L。
.设A为正交矩阵,证明:
A为正交矩阵。
3.设A、B为n阶正交矩阵,且|A|?
|B|。
证明:
A+B为不可逆矩阵。
*
参考答案
一、选择、填空
1.A
2.dimW=3,一组基为?
1,?
2,?
3.
3.dimW=n-2,一组基为?
1?
T,?
2?
T,?
n?
2?
T.dimW=3,一组基为?
?
?
1?
0
0?
?
0
?
?
?
00
0?
?
0
?
?
?
11
1?
?
。
0?
?
5.a=
12
,=
12
二、计算题
?
1
?
2?
1
?
3的过渡矩阵:
?
?
2?
1?
?
2
101
?
0?
?
1?
?
?
1?
?
1.基?
1,?
2,?
3到基?
1,?
2
α关于?
1,?
2,?
3的坐标是
α关于?
1,?
2,?
3的坐标是
?
1?
?
13?
?
6?
1?
?
1
?
?
?
?
6?
3?
?
?
1?
?
2
6?
3?
?
?
?
1?
?
?
21?
?
。
?
?
?
2
?
?
0?
?
?
2?
9393
2.解空间的维数是2,一组基为?
1
。
3.提示:
证明?
1,?
2,?
3与?
1,?
2,?
3等价,从而r=3,线性无关。
?
0
?
?
3到基?
1,?
2,?
3的过渡矩阵为?
1
1
1?
10
0?
?
2?
0?
?
基?
1,?
2
。
向量?
关于基?
1,?
2,?
3的坐标为。
.A?
E?
AE?
A?
1?
E?
ATAT?
E?
?
2k?
1?
A?
E?
三、证明题
1.提示:
证明两个向量组等价,即{?
?
}?
{?
?
},则生成子空间L?
L。
.证明:
A*T?
AA?
1?
AA?
1?
?
AA?
1?
A?
1?
?
AAT?
E。
T
2
T
T
?
?
A?
E?
A?
E?
0。
3.提示:
A?
B?
AE?
A?
1B?
AB?
1?
A?
1B?
?
A?
B?
A?
B?
0
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