数学必修二直线和平面平行的判定.docx
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数学必修二直线和平面平行的判定
--数学必修二直线和平面平行的判定
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ﻩ
数学必修二直线和平面平行的判定
一、选择题
1.下列命题中正确的是( )
A.如果一条直线与一个平面不相交,它们一定平行
B.一条直线与一个平面平行,它就与这个平面内的任何直线平行
C.一条直线与另一条直线平行,它就与经过该直线的任何平面平行
D.平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线平行,则a∥α
[答案] D
[解析]根据线面平行的定义及判定定理来确定D正确.
2.已知直线l∥直线m,m⊂平面α,则直线l与平面α的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.在平面α内ﻩD.平行或在平面α内
[答案] D
3.已知两条相交直线a、b,a∥平面α,则b与α的位置关系( )
A.b∥αﻩB.b与α相交
C.b⊂α ﻩD.b∥α或b与α相交
[答案] D
[解析]∵a,b相交,∴a,b确定一个平面为β,如果β∥α,则b∥α,如果β不平行α,则b与α相交.
4.直线a、b是异面直线,直线a和平面α平行,则直线b和平面α的位置关系是( )
A.b⊂α ﻩB.b∥α
C.b与α相交ﻩD.以上都有可能
[答案]D
[解析] 可构建模型来演示,三种位置关系都有可能.
5.圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.在平面内ﻩD.不确定
[答案]A
[解析]圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点,则它们平行.
6.五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1中,F,G分别是AA1和BB1上的点,且
=,则FG与平面ABCDE的位置关系是()
A.平行B.相交
C.异面ﻩD.FG在平面ABCDE内
[答案] A
[解析] ∵
=,
∴FG∥AB,又FG⊄平面ABCDE,AB⊂平面ABCDE,∴FG∥平面ABCDE.
7.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE:
EB=CF:
FB=1:
2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.在平面内ﻩD.异面
[答案]A
[解析]如图,由
=,得AC∥EF.
又EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,
∴AC∥平面DEF.
8.给出下列结论:
(1)平行于同一条直线的两条直线平行;
(2)平行于同一条直线的两个平面平行;
(3)平行于同一平面的两条直线平行;
(4)平行于同一个平面的两个平面平行.
其中正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个D.4个
[答案]B
[解析]由公理4知(1)正确,正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1∥平面ABB1A1,DD1∥平面BB1C1C,但两个平面相交,故(3)错;同样在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1与B1C1都与平面ABCD平行,故(3)错;(4)正确,故选B.
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC、C1D1的中点,则EF与平面BB1D1D的位置关系是( )
A.EF∥平面BB1D1D
B.EF与平面BB1D1D相交
C.EF⊂平面BB1D1D
D.EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断
[答案]A
[证明] 取D1B1的中点O,连OF,OB,
∵OF綊
B1C1,BE綊B1C1,∴OF綊BE,
∴四边形OFEB为平行四边形,∴EF∥BO
∵EF⊄平面BB1D1D,BO⊂平面BB1D1D,
∴EF∥平面BB1D1D,故选A.
10.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1上的一点,若BC1∥平面AB1D1,则
等于( )
A.B.1 C.2 D.3
[答案] B
[解析] 连A1B交AB1于O,则O为A1B的中点,
∵BG∥平同AB1D1,
∴BG∥OD1
∴D1为A1G的中点即
=1.
二、填空题
11.若直线a∥直线b,则过a且与b平行的平面有____个.
[答案]无数
[解析] 在a上任取一点P,过P作与b异面的直线c,则a与c确定一个平面α,由于直线c能作无数条,则平面α有无数个,又a∥b,b⊄α,a⊂α,∴b∥α.
12.若直线a,b异面,则经过a且平行于b的平面有________个.
[答案]1
[解析] 如图所示,在a上任取一点P,过P仅能作一条直线b′∥b,由于a与b′相交,则a与b′确定一个平面α,则b∥α.
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D1的中点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是______.
直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________.
[答案] 相交 平行
[解析] 因为M是A1D1的中点,所以直线DM与直线AA1相交,所以DM与平面A1ACC1有一个公共点,所以DM与平面A1ACC1相交.
取B1C1中点M1,MM1綊C1D1,C1D1綊CD
∴DMM1C为平行四边形,∴DM綊CM1
∴DM∥平面BCC1B1.
14.如下图
(1),已知正方形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点,将△ADE沿DE折起,如图
(2)所示,则BF与平面ADE的位置关系是________.
[答案]平行
[解析] ∵E,F分别为AB,CD的中点,∴EB=FD.
又∵EB∥FD,
∴四边形EBFD为平行四边形,∴BF∥ED.
∵DE⊂平面ADE,而BF⊄平面ADE,
∴BF∥平面ADE.
三、解答题
15.如图,在三棱锥P-ABC中,点O、D分别是AC、PC的中点.
求证:
OD∥平面PAB.
[证明] ∵点O、D分别是AC、PC的中点,∴OD∥AP.
∵OD⊄平面PAB,AP⊂平面PAB.
∴OD∥平面PAB.
16.如图,已知A1B1C1-ABC是三棱柱,D是AC的中点.
证明:
AB1∥平面DBC1.
[证明] ∵A1B1C1-ABC是三棱柱,
∴四边形B1BCC1是平行四边形.
连接B1C交BC1于点E,则B1E=EC.
在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1.
又AB1⊄平面DBC1,DE⊂平面DBC1,
∴AB1∥平面DBC1.
17.如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:
MN∥平面PAD;
(2)若MN=BC=4,PA=4,求异面直线PA与MN所成的角的大小.
[解析]
(1)取PD的中点H,连接AH,NH,∵N是PC的中点,∴NH綊
DC.由M是AB的中点,且DC綊AB,
∴NH綊AM,即四边形AMNH为平行四边形.
∴MN∥AH.
由MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)连接AC并取其中点O,连接OM、ON,
∴OM綊BC,ON綊PA.
∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角,
由MN=BC=4,PA=4,得OM=2,ON=2.
∴MO2+ON2=MN2,∴∠ONM=30°,
即异面直线PA与MN成30°的角.
18.已知四面体ABCD中,M、N分别是三角形ABC和三角形ACD的重心,求证:
(1)MN∥面ABD;(2)BD∥面CMN.
[分析]首先根据条件画出图形,如图所示.证明线面平行最常用的方法是利用判定定理,要证MN∥面ABD,只要证明MN平行于面ABD内的某一条直线即可.根据M、N分别为△ABC、△ACD的重心的条件,连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H,连接GH.若有MN∥GH,则结论可证.或连接AM、AN并延长交BC、CD于E、F,连接EF,若有MN∥EF,EF∥BD,结论可证.
[证明]
(1)如图所示,连接CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H,连接GH、MN.
∵M、N分别为△ABC、△ACD的重心,
∴
=
.∴MN∥GH.
又GH⊂面ABD,MN⊄面ABD,
∴MN∥面ABD.
(2)由(1)知,G、H分别为AB、AD的中点,
∴GH∥BD,
又MN∥GH,
∴BD∥MN,又BD⊄平面CMN,
∴BD∥平面CMN.
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