中考数学《等腰等边三角形》专项练习题4套含答案.docx
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中考数学《等腰等边三角形》专项练习题4套含答案.docx
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中考数学《等腰等边三角形》专项练习题4套含答案
等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
01 基础题
知识点1 等边对等角
1.已知一个等腰三角形的顶角为30°,则它的一个底角等于(B)
A.30° B.75° C.150° D.125°
2.(呼伦贝尔中考)如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC,若∠1=70°,则∠BAC的大小为(A)
A.40°B.30°C.70°D.50°
3.如图所示,射线BA、CA交于点A,连接BC,已知AB=AC,∠B=40°,那么x的值是80.
4.等腰直角三角形的底角的度数为45°.
5.一个等腰三角形中有一个内角为80°,则另外的两个内角的度数为80°,20°或50°,50°.
6.如图,AD∥BC,点E在AB的延长线上,CB=CE,试猜想∠A与∠E的大小关系,并说明理由.
解:
∠A=∠E.理由如下:
∵CB=CE,
∴∠E=∠CBE.
∵AD∥BC,
∴∠A=∠CBE.
∴∠A=∠E.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC内一点,且BD=DC.求证:
∠ABD=∠ACD.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BD=CD.
∴∠DBC=∠DCB.
∴∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB,
即∠ABD=∠ACD.
知识点2 三线合一
8.(苏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为(C)
A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,BC=3cm.则∠ADB的度数是90°,BD的长是1.5_cm.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,若∠BAC=70°,则∠BAD=35°.
11.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,DE⊥AC,垂足为E,∠BAC=50°,求∠ADE的度数.
解:
∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD平分∠BAC.
∵∠BAC=50°,
∴∠DAE=
∠BAC=25°.
又∵DE⊥AC,∴∠AED=90°.
∴∠ADE=90°-∠DAE=90°-25°=65°.
12.(北京中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:
∠CBE=∠BAD.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABD=∠C,
又∵AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC.
∵BE⊥AC于点E,∴∠BEC=∠ADB=90°.
∴∠C+∠CBE=∠ABD+∠BAD=90°.
∴∠CBE=∠BAD.
02 中档题
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,点E在AD上,那么下列结论不一定正确的是(D)
A.AD⊥BCB.∠EBC=∠ECB
C.∠ABE=∠ACED.AE=BE
14.(绵阳中考)如图,AC∥BD,AB与CD相交于点O,若AO=AC,∠A=48°,则∠D=66°.
15.(云南中考)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD=18°.
16.(贺州中考)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠A的度数是50°.
17.已知一个等腰三角形的两角分别为(2x-2)°,(3x-5)°,则这个等腰三角形各角的度数为46°,67°,67°或52°,52°,76°或4°,4°,172°.
18.(滨州中考)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,求∠CDE的度数.
解:
∵AC=CD,
∴∠ADC=∠A=50°.
又∵CD=BD,
∴∠B=∠BCD.
∵∠ADC=∠B+∠BCD,∴∠B=25°.
又∵BD=BE,∴∠BDE=∠BED=77.5°.
∴∠CDE=180°-∠ADC-∠BDE=180°-50°-77.5°=52.5°.
19.(十堰中考)如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:
AD=AE.
证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又∵BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD=AE.
03 综合题
20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA.
(1)试求∠DAE的度数;
(2)如果把原题中“AB=AC”的条件去掉,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗?
为什么?
解:
(1)∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°.
∵BD=BA,CE=CA,
∴∠BAD=(180°-45°)÷2=67.5°,∠CAE=45°÷2=22.5°.
∴∠DAE=90°-∠BAD+∠CAE=45°.
(2)不变.
∠DAE=90°-
+
∠ACB=
(∠B+∠ACB)=45°,
从上式可看出当AB和AC不相等时,∠B+∠ACB也是90°.∴∠DAE的度数不变.
第2课时 等腰三角形的判定
01 基础题
知识点1 等腰三角形的判定
1.下面几个三角形中,不可能是等腰三角形的是(B)
A.有两个内角分别为75°,75°的三角形
B.有两个内角分别为110°和40°的三角形
C.有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形
D.有一个外角为140°,一个内角为100°的三角形
2.如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形的个数为(D)
A.3个B.4个
C.5个D.6个
3.如果一个三角形的一内角的平分线垂直对边,那么这个三角形一定是(A)
A.等腰三角形B.锐角三角形
C.直角三角形D.钝角三角形
4.(甘孜中考)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为(C)
A.2B.3C.4D.5
5.在△ABC中,∠A=40°,∠C=70°,则这个三角形是等腰三角形.
6.在△ABC中,如果∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶3,那么△ABC是等腰三角形.
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,请你再添加一个条件,就可以确定△ABC是等腰三角形,你添加的条件是BD=CD或∠BAD=∠CAD.
8.如图,在△ABC中,BD⊥AC,∠A=50°,∠CBD=25°,若AC=5cm,则AB=5_cm.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,△ADE也是等腰三角形吗?
为什么?
解:
△ADE是等腰三角形.理由如下:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
又∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴∠ADE=∠AED.
∴AD=AE.
∴△ADE是等腰三角形.
10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD=CD,求证:
△ABC为等腰三角形.
证明:
过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∵BD=CD,DE=DF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴∠B=∠C.
∴AB=AC,即△ABC为等腰三角形.
知识点2 用尺规作等腰三角形
11.已知等腰三角形的底边长为a,顶角的平分线长为b,求作这个等腰三角形.
解:
(1)作线段AB=a;
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB交于点D;
(3)在MN上取一点C,使CD=b;
(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形.
02 中档题
12.如图的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,若点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数有(C)
A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
13.在如图所示的三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D)
A.
(1)
(2)(3)B.
(1)
(2)(4)
C.
(2)(3)(4)D.
(1)(3)(4)
14.如图,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的高,CE是AB边上的高,它们相交于点O,则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是(C)
A.△ABDB.△ACE
C.△OBCD.△OCD
15.如图,在△ABC中,BP平分∠CBA,AP平分∠CAB,且DE∥AB,若CB=12,AC=18,则△CDE的周长是30.
16.如图所示,一艘轮船在近海处由南向北航行,点C是灯塔,轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上,轮船又从A向北航行30海里到B,测得灯塔在其北偏西76°的方向上.
(1)求∠ACB的度数;
(2)轮船在B处时,到灯塔C的距离是多少?
解:
(1)∵∠NAC=38°,∠NBC=76°,
∠NBC=∠ACB+∠NAC,
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=76°-38°=38°.
(2)∵∠ACB=∠NAC=38°,
∴AB=BC.
∵AB=30海里,∴BC=30海里.
即轮船在B处时,到灯塔C的距离是30海里.
17.(襄阳中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC.
(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形?
(用序号写出所有成立的情形)
(2)请选择
(1)中的一种情形,写出证明过程.
解:
(1)①②;①③.
(2)选①③,证明如下:
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∵∠EBO=∠DCO,且∠ABC=∠EBO+∠OBC,∠ACB=∠DCO+∠OCB,
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
03 综合题
18.已知:
D为△ABC所在平面内一点,且DB=DC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,DE=DF.
(1)当点D在BC边上时(如图),判断△ABC的形状(直接写出答案);
(2)当点D在△ABC内部时,
(1)中的结论是否一定成立?
若成立,请证明;若不成立,请举出反例(画图说明).
解:
(1)△ABC是等腰三角形.
(2)如图,当点D在△ABC内部时,△ABC是等腰三角形成立.
理由:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△EBD和Rt△FCD中,
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL).
∴∠EBD=∠FCD.
∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB.
∴∠EBD+∠DBC=∠FCD+∠DCB,
即∠EBC=∠FCB.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
01 基础题
知识点1 等边三角形的性质
1.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(A)
A.60°B.90°C.120°D.150°
2.如图,过等边△ABC的顶点A作射线,若∠1=20°,则∠2的度数是(A)
A.100°B.80°C.60°D.40°
3.如图,△ABC是等边三角形,AD=CD,则∠ADB=90°,∠CBD=30°.
4.如图,等边△ABC的边长如图所示,那么y=3.
5.如图所示,△ABC为等边三角形,AD⊥BC,AE=AD,则∠ADE=75°.
6.如图所示,等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DF⊥BE,垂足为F.求证:
BF=EF.
证明:
∵BD是等边△ABC的中线,
∴BD平分∠ABC.
∴∠DBE=
∠ABC=30°.
又∵CE=CD,
∴∠E=
∠ACB=30°.
∴∠DBE=∠E.
∴DB=DE.
∵DF⊥BE,
∴DF为底边上的中线.
∴BF=EF.
知识点2 等边三角形的判定
7.下列推理错误的是(B)
A.在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形
B.在△ABC中,∵AB=AC,且∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形
C.在△ABC中,∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形
D.在△ABC中,∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形
8.在△ABC中,AB=BC,∠B=∠C,则∠A的度数是60°.
9.如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:
△ADC是等边三角形.
证明:
∵DC=DB,
∴∠B=∠DCB=30°,
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.
又∵AD=DC,
∴△ADC是等边三角形.
10.如图所示,锐角△ABC中,∠A=60°,它的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC,求证:
△ABC是等边三角形.
证明:
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O,
∴∠BEC=∠BDC=90°.
又∵∠BOE=∠COD,
∴∠EBO=∠DCO.
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
∵∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形.
02 中档题
11.如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,下列结论:
①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD,其中正确结论的个数为(A)
A.3B.2C.1D.0
12.如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD和△BCE是等边三角形,连接AE,交BD于P,连接CD,分别交BE,AE于Q,M,连接BM,PQ,则∠AMD的度数为(B)
A.45°B.60°C.75°D.90°
13.如图,将边长为5cm的等边△ABC,沿BC向右平移3cm,得到△DEF,DE交AC于M,则△MEC是等边三角形,DM=3cm.
14.如图,等边△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E为AD上一点,以BE为一边且在BE下方作等边△BEF,连接CF.
(1)求证:
AE=CF;
(2)求∠ACF的度数.
解:
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=CB,∠ABE+∠EBC=60°.
∵△BEF是等边三角形,
∴EB=FB,∠CBF+∠EBC=60°.
∴∠ABE=∠CBF.
在△ABE和△CBF中,
,
∴△ABE≌△CBF(SAS).∴AE=CF.
(2)∵等边△ABC中,AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=30°,∠ACB=60°.
∵△ABE≌△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=30°.
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°.
03 综合题
15.(泰安中考)
(1)已知:
△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图1).求证:
BE=AD;
(2)若将
(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图2),
(1)的结论是否成立,并说明理由.
图1 图2
解:
(1)证明:
过点D作BC的平行线交AC于点F.
∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形.∴∠ABC=60°.
∵DF∥BC,
∴∠ADF=∠ABC=60°,∠FDC=∠DCE.
∴△ADF是等边三角形.
∴AD=DF,∠AFD=60°.
∴∠DFC=180°-60°=120°.
∵∠EBD=180°-60°=120°,∴∠DFC=∠EBD.
∵∠FDC=∠DCE,∠DCE=∠DEC,
∴∠FDC=∠DEC,ED=CD.
∴△DBE≌△CFD(AAS).
∴BE=DF.∴BE=AD.
(2)BE=AD成立.理由如下:
过点D作DG∥BC交AC的延长线于点G.
同
(1)可证△ADG是等边三角形,
∴AD=DG,∠AGD=60°.
∵∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DBE=∠AGD.
∵∠GDC=∠DCE,∠DCE=∠DEC,
∴∠GDC=∠DEC,ED=CD.
∴△DBE≌△CGD(AAS).
∴BE=DG.∴BE=AD.
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
01 基础题
知识点 含30°角的直角三角形的性质
1.△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则BC∶AB等于(B)
A.2∶1B.1∶2
C.1∶3D.2∶3
2.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长度是(C)
A.2cmB.4cm
C.8cmD.16cm
3.在Rt△ACB中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,则BC=5.
4.(黔南中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D,若CD=3,则BD的长为6.
5.如图所示是某房屋顶框架的示意图,其中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120°,AD=3.5m,求∠B,∠C,∠BAD的度数和AB的长度.
解:
∠B=∠C=
×(180°-120°)=30°,
∠BAD=
∠BAC=60°,
AB=2AD=7m.
02 中档题
6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于点E,BE=6cm,则AC等于(D)
A.6cmB.5cm
C.4cmD.3cm
7.(扬州中考)如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=(C)
A.3B.4C.5D.6
8.等腰三角形的底角为15°,腰长是2cm,则腰上的高为1_cm.
9.(温州中考)如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.
解:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°.
∴∠F=90°-∠EDC=30°.
(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,
∴△EDC是等边三角形.
∴ED=DC=2.
又∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE=4.
03 综合题
10.如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.
(1)求证:
BE=AD;
(2)求AD的长.
解:
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=AC.
又∵AE=CD,
∴△ABE≌△CAD(SAS).
∴∠ABE=∠CAD,BE=AD.
(2)∵∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°,
又∵BQ⊥PQ,∴∠PBQ=30°.
∴PB=2PQ=6.
∴BE=PB+PE=7.
∴AD=BE=7.
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