常用逻辑量词 非 not.docx
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常用逻辑量词非not
1.3.3 非(not)
学习目标
1.了解逻辑联结词“非”的含义,能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别.
知识点一 逻辑联结词“非”
思考 观察下列两组命题,看它们之间有什么关系?
逻辑联结词“非”的含义是什么?
(1)p:
5是25的算术平方根;q:
5不是25的算术平方根.
(2)p:
y=tanx是偶函数;q:
y=tanx不是偶函数.
答案 两组命题中,命题q都是命题p的否定.
“非”与日常用语中的“非”含义一致,表示“否定”“不是”“问题的反面”等;也可以从集合的角度理解“非”:
若命题p对应集合A,则綈p对应集合A在全集U中的补集∁UA.
梳理
(1)命题的否定:
一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”或“p的否定”.
(2)命题綈p的真假:
若p是真命题,则綈p必是假命题;若p是假命题,则綈p必是真命题.
知识点二 命题的否定与否命题
思考 已知命题p:
平行四边形的对角线相等,分别写出命题p的否命题和命题p的否定,并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别?
答案 命题p的否命题:
如果一个四边形不是平行四边形,那么它的对角线不相等;
命题p的否定:
平行四边形的对角线不相等.
命题的否命题与命题的否定有着本质的区别,命题的否定只否定原命题的结论,不能否定原命题的条件,而否命题是对原命题的条件和结论都否定.
梳理
(1)命题的否定:
“非”命题是对原命题结论的否定.
①“非p”是否定命题p的结论,不否定命题p的条件,这也是“非p”与否命题的区别;
②p与“非p”的真假必须相反;
③“非p”必须包含p的所有对立面.
(2)否命题:
求一个命题的否命题时,要对原命题的条件和结论同时否定.
(1)命题的否定和否命题是一回事.(×)
(2)命题“方程x2-3=0没有有理根”的否定为“方程x2-3=0有有理根”.(√)
(3)命题“若a2>b2,则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2,则|a|<|b|”.(×)
类型一 綈p命题及构成形式
例1 写出下列命题的否定形式.
(1)面积相等的三角形都是全等三角形;
(2)若m2+n2=0,则实数m、n全为零;
(3)若xy=0,则x=0或y=0.
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定綈p
解
(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.
(2)若m2+n2=0,则实数m、n不全为零.
(3)若xy=0,则x≠0且y≠0.
反思与感悟 綈p是对命题p的全盘否定,对一些词语的正确否定是写綈p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等.
跟踪训练1 分别写出下列命题的“非p”形式.
(1)p:
函数y=x2与函数y=lnx没有交点;
(2)p:
π是有理数;
(3)p:
△ABC中,若A>B,则sinA>sinB.
考点 “非”的概念
题点 写出命题p的否定綈p
解
(1)綈p:
函数y=x2与函数y=lnx有交点;
(2)綈p:
π不是有理数;
(3)綈p:
△ABC中,若A>B,则sinA≤sinB.
类型二 复合命题的真假判断
例2 分别判断由下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假.
(1)p:
函数y=x2和函数y=2x的图象有两个交点;
q:
函数y=2x是增函数.
(2)p:
7>7;q:
7=7.
考点 綈p形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
解
(1)因为命题p是假命题,命题q是真命题,所以p且q为假命题,p或q为真命题,非p为真命题.
(2)因为命题p是假命题,命题q是真命题,所以p且q为假命题,p或q为真命题,非p为真命题.
引申探究
在本例条件不变的前提下,对
(1)判断“(綈p)且q”“(綈q)或p”的真假;对
(2)判断“p且(綈q)”“p或(綈q)”“(綈p)且(綈q)”“(綈p)或(綈q)”的真假.
解
(1)因为命题p是假命题,命题q是真命题,所以綈p是真命题,綈q是假命题,即(綈p)且q为真命题,(綈q)或p为假命题.
(2)因为命题p是假命题,命题q是真命题,
所以綈p是真命题,綈q是假命题,
所以p且(綈q)为假命题,p或(綈q)为假命题;
(綈p)且(綈q)为假命题,(綈p)或(綈q)为真命题.
反思与感悟 判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假.
跟踪训练2 已知命题p:
所有有理数都是实数,命题q:
正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)∨qB.p∧q
C.(綈p)∧(綈q)D.(綈p)∨(綈q)
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 判断綈p的真假
答案 D
解析 由于命题p为真命题,命题q为假命题,因此,命题綈p是假命题,命题綈q是真命题,从而(綈p)∨q,p∧q,(綈p)∧(綈q)都是假命题,(綈p)∨(綈q)为真命题.
类型三 命题的否定的真假应用
例3 已知命题p:
方程x2+2ax+1=0有两个大于-1的实数根,命题q:
关于x的不等式ax2-ax+1>0的解集为R,若“p∨q”与“綈q”同时为真命题,求实数a的取值范围.
考点 “非p”形式命题真假性的判断
题点 由“非p”命题的真假求参数的取值范围
解 命题p:
方程x2+2ax+1=0有两个大于-1的实数根,等价于
即
解得a≤-1.
命题q:
关于x的不等式ax2-ax+1>0的解集为R,
等价于a=0或
由于
得
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