高考总结北京市各区的概率题.docx
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高考总结北京市各区的概率题.docx
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朝阳
16.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中,两人一对一比赛规则如下:
若某人某次投篮命中,则由他继续
投篮,否则由对方接替投篮。
现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛,甲和乙每次投篮命中的概率分别是
两人投篮3次,且第一次由甲开始投篮,假设每人每次投篮命中与否均互不影响.
(1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率;
(2)若投篮命中一次得1分,否则得0分,用表示甲的总得分,求的分布列和数学期望。
解
(1)解:
记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A
1
3
1
,。
2
由题意,得
P(A)
1
3
2
3
2
9
答:
3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是
2
9
(2)解:
由题意的可能有取值为0,1,2,3,则
212125
P(0),
323239
211121
P
(1).
323333
1122
P
(2),
33327
1111
P(3).
33327
所以的分布列为
0123
P
5
9
1
3
2
27
1
27
的数学期望
512116
E0123.
93272727
西城区
16.在一个选拔项目中,每个选手都需要进行4轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,
否则被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
否正确回答互不影响.
⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率;
5
6
、
4
5
、
3
4
、
1
3
,且各轮问题能
⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X,求随机变量X的分布列和期望.
解设事件Ai(i1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,
由已知
5431
P(A),P(A),P(A),P(A),
1234
6543
⑴设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”,则
P(B)P(AAA)P(A)P(A)P(A)
33
1212
5431
1.
6546
⑵设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,
1515431
则P(C)P(A1AA2AAA3)P(A1)P(A1A2)P(A1A2A3)
(1);
112
6656542⑶X的可能取值为1,2,3,4,
1
P(X1)P(A),
1
6
541
P(X2)P(AA)
(1),
2
1
656
5431
P(X3)P(AAA)
(1),
3
12
6546
5431
P(X4)P(AAA),
123
6542
所以,X的分布列为
X1234
P
1
6
1
6
1
6
1
2
1111
E(X)12343.
6662
崇文区
(二)
(17)某学校高一年级开设了A,B,C,D,E五门选修课.为了培养学生的兴趣爱好,要求每个学生必须参加
且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数;
(Ⅱ)求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率;
(Ⅲ)设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数,求X的分布列与数学期望.
解:
(Ⅰ)甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种,故共有555125(种).
(Ⅱ)三名学生选择三门不同选修课程的概率为:
3
A12
5
3
525
.
∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为:
1
1213
2525
.
(Ⅲ)由题意:
X0,1,2,3.
3
464
P(X0);
3
5125
12
C448
3
P(X1);
3
5125
2
C412
3
P(X2);
3
5125
的分布列为
3
C1
3
P(X3).
3
5125
X0123
P
64
125
48
125
12
125
1
125
数学期望
6448121
EX0123=
125125125125
3
5
.--13分
宣武区
17.在一次考试中共有8道选择题,每道选择题都有4个选项,其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4
道题已选对正确答案,其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的,还有两道题因不理解题意只好乱猜.
(Ⅰ)求该考生8道题全答对的概率;
(Ⅱ)若评分标准规定:
“每题只选一个选项,选对得5分,不选或选错得0分”,求该考生所得分数的分布
列.
解:
(Ⅰ)说明另四道题也全答对,相互独立事件同时发生,即:
(Ⅱ)答对题的个数为4,5,6,7,8,其概率分别为:
1
2
1
2
1
4
1
4
1
64
.,,,5分
P4
1
2
1
2
3
4
3
4
9
64
P5
1
2
1
2
3
4
3
4
2
1
2
1
2
1
4
3
4
2
24
64
P6
22
64
8
P7P8
64
1
2
1
2
1
4
1
4
1
64
分布列为:
52
2334
05050
P9242281
6464646464
丰台区
17.(13分)在某次抽奖活动中,一个口袋里装有5个白球和5个黑球,所有球除颜色外无任何不同,每次
从中摸出2个球,观察颜色后放回,若为同色,则中奖。
(Ⅰ)求仅一次摸球中奖的概率;
(Ⅱ)求连续2次摸球,恰有一次不中奖的概率;
(Ⅲ)记连续3次摸球中奖的次数为,求的分布列。
解:
(Ⅰ)设仅一次摸球中奖的概率为P1,则P1=
2
2C
5
2
C
10
=
4
9
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
(Ⅱ)设连续2次摸球(每次摸后放回),恰有一次不中奖的概率为P2,则
P2=
1
C2(1P1)P1
40
81
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
(Ⅲ)的取值可以是0,1,2,3
P(0)=(1-P1)
3=125
729
P
(1)=
12
C3(1P1)P1
300
729
=
100
243
P
(2)=
22
C3(1P1)P1=
240
729
=
80
243
P(3)=
3
P=
1
64
729
所以的分布列如下表
0123
P1251008064
729243243729
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