新人教版数学必修二第十章 103频率与概率.docx
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新人教版数学必修二第十章103频率与概率
10.3 频率与概率
学习目标
1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义,会利用随机模拟估计概率.
知识点一 频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
思考 一枚质地均匀的硬币,抛掷10次,100次,1000次,正面向上的频率与0.5相比,有什么变化?
答案 随着抛掷的次数增加,正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.
知识点二 随机模拟
用频率估计概率,需做大量的重复试验,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
1.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品.( × )
2.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是
.( × )
3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( × )
4.小概率事件就是不可能发生的事件.( × )
一、频率与概率的关系
例1
(1)下列说法一定正确的是( )
A.一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,不会出现三投都不中的情况
B.一个骰子掷一次得到2的概率是
,则掷6次一定会出现一次2
C.若买彩票中奖的概率为万分之一,则买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事件发生的概率与试验次数无关
答案 D
解析 A错误,概率小不代表一定不发生;B错误,概率不等同于频率;C错误,概率是预测,不必然出现;D正确,随机事件发生的概率是多次试验的稳定值,与试验次数无关.
(2)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下:
抽取台数
50
100
200
300
500
1000
优等品数
40
92
192
285
478
954
①根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率;
②该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少?
解 ①抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
②由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.
反思感悟
(1)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数,是客观存在的,在试验前已经确定,与试验次数无关.
跟踪训练1 一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示:
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
13520
17190
男婴数m
2883
4970
6994
8892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数);
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少?
解
(1)计算
即得男婴出生的频率依次约是0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.
(2)随着新生婴儿数的增多,男婴出生的频率接近0.5173,因此,这一地区男婴出生的概率约为0.5173.
二、概率思想的实际应用
例2 设有外形完全相同的两个箱子,甲箱中有99个白球,1个黑球,乙箱中有1个白球,99个黑球.先随机地抽取一箱,再从取出的一箱中抽取一球,结果取得白球.推断这球是从哪一个箱子中取出的?
解 甲箱中有99个白球,1个黑球,故随机地取出一球,得到白球的可能性是
.乙箱中有1个白球,99个黑球,从中任取一球,得到白球的可能性是
.由此可见,这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽样中抽到白球,当然可以认为是从概率大的箱子中取出的.所以我们作出统计推断:
该白球是从甲箱中取出的.
反思感悟 在一次试验中,概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大.
跟踪训练2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:
先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,如200只,给每只天鹅作上记号且不影响其存活,然后放回保护区,经过适当的时间,让它们和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,如150只.查看其中有记号的天鹅,设有20只,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.
解 设保护区中天鹅的数量为n,假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护区中任捕一只,
设事件A={捕到带有记号的天鹅},则P(A)=
.
从保护区中捕出150只天鹅,
其中有20只带有记号,
由概率的定义可知P(A)≈
.
由
≈
,解得n≈1500,
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只.
三、用随机模拟估计概率
例3 一个袋中有7个大小、形状相同的小球,6个白球,1个红球,现任取1个球,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取,试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
解 用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数,因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组,如下,产生20组随机数:
666 743 671 464 571
561 156 567 732 375
716 116 614 445 117
573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验,在这些数组中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球,第三次摸到的是红球,它们分别是567和117,共两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为
=0.1.
反思感悟 用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数进行模拟试验时,首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能时,基本事件的总数即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
跟踪训练3 某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是60%,若该篮球爱好者连续投篮4次,求至少投中3次的概率,用随机模拟的方法估计上述概率.
解 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数,用1,2,3,4,5,6表示投中,用7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是60%,因为投篮4次,所以每4个随机数作为1组,例如5727,7895,0123,…,4560,4581,4698,共100组这样的随机数,若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n,则至少投中3次的概率近似值为
.
1.“某彩票的中奖概率为
”意味着( )
A.买1000张彩票就一定能中奖
B.买1000张彩票中一次奖
C.买1000张彩票一次奖也不中
D.购买彩票中奖的可能性是
答案 D
2.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于( )
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
答案 B
解析 随机数容量越大,所估计的概率越接近实际数.
3.某医院治疗一种疾病的治愈率为
,那么,前4个病人都没有治愈,第5个病人被治愈的概率是( )
A.1B.
C.
D.0
答案 B
解析 每一个病人治愈与否都是随机事件,故第5个人被治愈的概率仍为
.
4.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数,如果我们用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,顺次产生的随机数如下:
907 966 191 925 271
932 812 458 569 683
631 257 393 027 556
488 730 113 137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由题意知,模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:
191,271,932,812,631,393,137,共7组随机数,∴所求概率为
.
5.在一次掷硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设反面朝上为事件A,则事件A出现的频率为________.
答案 0.52
解析
=0.52.
1.知识清单:
(1)概率与频率的关系.
(2)用频率估计概率.
(3)用随机模拟估计概率.
2.常见误区:
频率与概率的关系易混淆.
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”,对预测的正确理解是( )
A.本市明天将有90%的地区降雨
B.本市明天将有90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨
答案 D
解析 降雨概率为90%是指明天降雨这个随机事件发生的可能性为90%,明天也可能不下雨,故选D.
2.经过市场抽检,质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查,某市市场上的食用油大约有80个品牌,则不合格的食用油品牌大约有( )
A.64个B.6个C.16个D.8个
答案 C
解析 80×(1-80%)=16.
3.给出下列3种说法:
①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;
②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的概率是
;
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
其中正确说法的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案 A
解析 由频率与概率之间的联系与区别知,①②③均不正确.
4.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率;先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果,经随机模拟产生如下10组随机数:
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5
答案 A
解析 由10组随机数知,3个随机数都在4~9中的有569,989两组,故所求的概率为P=
=0.2.
5.从一批电视机中随机抽出10台进行检验,其中有1台次品,则关于这批电视机,下列说法正确的是( )
A.次品率小于10%B.次品率大于10%
C.次品率等于10%D.次品率接近10%
答案 D
解析 抽出的样本中次品的频率为
,即10%,所以样本中次品率大约为10%,所以总体中次品率大约为10%.
6.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么共进行了________次试验.
答案 500
解析 设进行了n次试验,则有
=0.02,得n=500,故进行了500次试验.
7.从一堆苹果中任取了20个,并得到它们的质量(单位:
克)数据分布表如下:
分组
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频数
1
2
3
10
3
1
则这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的________%.
答案 70
解析 计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率,来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例,由题意知
=0.7=70%.
8.在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生,从中抽选4个,并选出2个男生2个女生”的概率时,可让计算机产生1~9的随机整数,并且1~4代表男生,用5~9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是________________.
答案 选出的4人中,只有1个男生
解析 用1~4代表男生,用5~9代表女生,4678表示1个男生3个女生.
9.在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球,其中有2个白球,1个红球,1个蓝球,每次从袋中摸出一球,然后放回搅匀再摸,在摸球试验中得到下列表格中部分数据:
摸球次数
10
50
80
100
150
200
250
300
出现红球的频数
2
20
27
36
50
出现红球的频率
30%
26%
24%
(1)请将表中数据补充完整;
(2)如果按照此方法再摸球300次,所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗?
为什么?
(3)试估计红球出现的概率.
解
(1)频数分别是15,65,72;频率分别是20%,25%,27%,24%,25%.
(2)可能不一样,因为频率会随每次试验的变化而变化.
(3)频率集中在25%附近,所以可估计概率为0.25.
10.如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下表:
所用时间/分
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率.
解
(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为
所用时间/分
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
选择L1的人数
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择L2的人数
0
0.1
0.4
0.4
0.1
11.某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗,根据概率的统计定义,这种鱼卵的孵化概率( )
A.约为0.8513
B.必为0.8513
C.再孵一次仍为0.8513
D.不确定
答案 A
解析 这种鱼卵的孵化频率为
=0.8513,
它近似的为孵化的概率.
12.某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天黑,均未看清该车的车牌号码及颜色,而该市有两家出租车公司,其中甲公司有100辆桑塔纳出租车,3000辆帕萨特出租车,乙公司有3000辆桑塔纳出租车,100辆帕萨特出租车,交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A.甲公司B.乙公司
C.甲或乙公司均可D.以上都对
答案 B
解析 由于甲公司桑塔纳的比例为
=
,
乙公司桑塔纳的比例为
=
,
可知肇事车在乙公司的可能性大些.
13.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币,观察落地后硬币的正反面情况,则下列哪个事件的概率最大( )
A.至少一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都是正面向上
D.两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上
答案 A
解析 抛掷两枚硬币,其结果有“正正”,“正反”,“反正”,“反反”四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况,其概率最大.
14.通过模拟试验产生了20组随机数:
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰好有三个数在1,2,3,4,5,6中,表示恰好有三次击中目标,则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________.
答案 0.25
解析 表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754,共5组数,而随机数总共20组,所以所求的概率近似为
=0.25.
15.(多选)甲、乙两人做游戏,下列游戏中公平的是( )
A.抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜
答案 ACD
解析 对于A,C,D,甲胜,乙胜的概率都是
,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平.
16.如图所示,有两个可以自由转动的均匀转盘A,B.转盘A被平均分成3等份,分别标上1,2,3三个数字;转盘B被平均分成4等份,分别标上3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则:
自由转动转盘A与B,转盘停止后,指针各指向一个数字,将指针所指的两个数字相加,如果和是6,那么甲获胜,否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗?
如果公平,请说明理由;如果不公平,怎样修改规则才能使游戏对双方公平?
解 列表如下:
B
A
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知,等可能的结果有12种,和为6的结果只有3种.
因为P(和为6)=
=
,所以甲、乙获胜的概率不相等.
所以这样的游戏规则不公平.如果将规则改为“和是6或7,则甲胜,否则乙胜”,那么此时游戏规则是公平的.
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