新编高考文科数学题型秘籍21简单的三角恒等变换解析版.docx
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新编高考文科数学题型秘籍21简单的三角恒等变换解析版.docx
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新编高考文科数学题型秘籍21简单的三角恒等变换解析版
专题21简单的三角恒等变换-
【高频考点解读】
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
【热点题型】
题型一已知三角函数值求值
例1、已知角A、B、C为△ABC的三个内角,=(sinB+cosB,cosC),=(sinC,sinB-cosB),·=-.
(1)求tan2A的值;
(2)求的值.
【举一反三】
已知α∈(,π),且sin+cos=.
(1)求cosα的值;
(2)若sin(α-β)=-,β∈(,π),求cosβ的值.
【热点题型】
题型二已知三角函数值求角
例2、如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边做两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点,已知A、B两点的横坐标分别为,.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
【提分秘籍】
(1)已知某些相关条件,求角的解题步骤:
①求出该角的范围;
②结合该角的范围求出该角的三角函数值.
(2)根据角的函数值求角时,选取的函数在这个范围内应是单调的.
【举一反三】
已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,).
(1)求sinθ和cosθ的值;
(2)若sin(θ-φ)=,0<φ<,求φ的值.
【热点题型】
题型三正、余弦定理的应用
例3、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.
(1)求的值;
(2)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.
【提分秘籍】
(1)利用正弦定理,实施角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC.sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分;
(2)以三角形为背景的题目,要注意三角形的内角和定理的使用.像本例中B+C=60°;
(3)在求角的大小一定要有两个条件才能完成:
①角的范围;②角的某一三角函数值.在由三角函数值来判断角的大小时,一定要注意角的范围及三角函数的单调性.
【举一反三】
在锐角△ABC中,a、b、c分别为A、B、C所对的边,且a=2csinA.
(1)确定角C的大小;
(2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值.
【热点题型】
题型四解三角形与实际问题
例4、如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?
【提分秘籍】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步:
(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等;
(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解;
(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.
【举一反三】
如图所示,上午11时在某海岛上一观察点A测得一轮船在海岛北偏东60°的C处,12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,问船速为多少?
【高考风向标】
1.(20xx·福建卷)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).
(1)求f的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
2.(20xx·全国卷)函数y=cos2x+2sinx的最大值为________.
3.(20xx·全国卷)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于________.
4.(20xx·全国新课标卷Ⅰ]若tanα>0,则( )
A.sinα>0B.cosα>0
C.sin2α>0D.cos2α>0
5.(20xx·四川卷)已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值.
6.(20xx·北京卷)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值;
(2)若α∈,且f(α)=,求α的值.
7.(20xx·新课标全国卷Ⅱ]已知sin2α=,则cos2=( )
A.B.
C.D.
8.(20xx·四川卷)设sin2α=-sinα,α∈,π,则tan2α的值是________.
9.(20xx·重庆卷)设0≤α≤π,不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为________.
【随堂巩固】
1.已知sin=,cos=-,则角θ所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.已知sinα=,则cos4α的值是( )
A.B.-
C.D.-
3.若-2π<α<-,则的值是( )
A.sinB.cos
C.-sinD.-cos
4.已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=,则cos的值为( )
A.B.
C.±D.±
5.已知x∈(,π),cos2x=a,则cosx=( )
A.B.-
C.D.-
6.若cosα=-,α是第三象限角,则=( )
A.-B.
C.2D.-2
7.已知cos2α=,则sin2α=________.
8.=-3,则tan2B=________.
9.设α是第二象限角,tanα=-,且sin 10.化简: sin(-x)+cos(-x) 11.求的值. 12.已知函数f(x)=sin2x-2sin2x. (1)求函数f(x)的最大值; (2)求函数f(x)的零点的集合.
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