完整版平方根与立方根一对一辅导讲义可编辑修改word版.docx
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教学目标
1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义,理解和掌握平方根的性质;
2.会求一个非负数的平方根、算术平方根;
3.掌握立方根的意义,会求一个数的立方根;
4.理解开立方与立方的关系。
重点、难点
重点:
算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。
难点:
算术平方根与平方根的区别与联系。
考点及考试要求
以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主
教学内容
第一课时平方根与立方根知识梳理
课前检测
1、求下列各数的算术平方根:
⑴100⑵49⑶17⑷0.0001⑸0
649
2、求下列各式的值:
(1)4
(2)49(3)(-11)2(4)62
81
3、算术平方根等于本身的数有。
4、求下列各数的算术平方根.
0.0025,
121,
42,
(-1)2,19
216
5、已知+=0,求a+2b的值.
一.平方根:
1.算术平方根的概念及表示方法
如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
当a≥0时,a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数。
2.平方根的概念及其性质
(1)平方根的定义
如果一个数的平方等于a,即x2=a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
即如果x2=a,那
么x叫做a的平方根。
(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
当a≥0时,a
的平方根表示为±。
(3)求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,其中a叫做被开方数。
3.用计算器求一个正数的算术平方根
用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根(或其近似值)。
二.立方根:
1.立方根的概念及表示方法
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
即如果x3=a,那么x叫做a
的立方根,记作3a。
正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0。
2.开立方的概念
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
正如开平方与平方互为逆运算一样,开立方与立方也互为逆运算。
3.用计算器求立方根
很多有理数的立方根是无限不循环小数,我们可用计算器求出它们的近似值。
第二课时平方根与立方根典型例题
知识点一:
算术平方根
例1.下列各数有算术平方根吗?
如果有,求出它的算术平方根;如果没有,请说明理由。
(1)81;
(2)-16;(3)0;
(4)25;(5)(-2)2;(6)(-2)3。
4
思路分析:
根据“正数和0都有算术平方根,负数没有算术平方根”知,
(1)、(3)、(4)、(5)
有算术平方根,
(2)、(6)没有算术平方根。
解答过程:
(1)因为81是正数,所以它有算术平方根。
又因为92=81,所以81的算术平方根是9;
(2)因为-16是负数,所以它没有算术平方根;
(3)0有算术平方根,就是0;
(4)
因为25是正数,所以它有算术平方根。
又因为(5)2=25,所以25的算术平方根是5;
42442
(5)因为(-2)2=4是正数,所以它有算术平方根。
又因为22=4,所以(-2)2的算术平方根是2;
(6)(-2)3=-8,是负数,所以(-2)3没有算术平方根。
解题后的思考:
要判断一个数有没有算术平方根,要根据算术平方根的概念确定这个数是不是非负数,只有非负数才有算术平方根。
以上结论不要死记硬背,同学们要理解为什么负数没有算术平方根?
例2.已知(x-2)2+|y-3|+=0,求x,y,z的值。
思路分析:
考虑(x-2)2、|y-3|、都是非负数,根据非负数的性质,不难解决此题。
解答过程:
(x-2)2+|y-3|+=0
又(x-2)2≥0,|y-3|≥0,≥0
∴(x-2)2=0,|y-3|=0,=0
∴x-2=0,y-3=0,z-4=0
解得x=2,y=3,z=4。
解题后的思考:
一个数的平方、绝对值、非负数的算术平方根都是非负数,如果几个非负数的和为零,那么这几个非负数都为零。
这是解决这类问题的出发点。
小结:
1.只有非负数才有算术平方根,并且只有一个;
2.一个非负数的算术平方根是一个非负数。
知识点二:
平方根的概念及其性质
例3.求下列各数的平方根和算术平方根:
(1)3600;
(2)111;(3)0.0001;(4)(-7)2。
25
思路分析:
因为求一个非负数的平方根的运算与平方运算是互逆运算,所以可借助平方运算来求这些数的平方根和算术平方根。
解答过程:
(1)因为(±60)2=3600,所以3600的平方根是±60,即±=±60。
3600的算术平方根是60,即=60。
(2)因为111=36,(±6)2=36,所以111的平方根是±6,即±=±6。
25255252555
111的算术平方根是6,即=6。
2555
(3)因为(±0.01)2=0.0001,所以0.0001的平方根为±0.01,即±=±0.01。
0.0001的算术平方根为0.01,即=0.01。
(4)因为(-7)2=49,(±7)2=49,所以(-7)2的平方根为±7,即±=±7。
(-7)2的算术平方根为7,即=7。
解题后的思考:
运用平方运算求一个非负数的平方根和算术平方根是常用的方法。
如果被开方数是小数,要注意小数点的位置,也可以先将小数化为分数,再求它的平方根和算术平方根;如果被开方数是带分数,要先将带分数化成假分数,再求它的平方根和算术平方根。
例4.求下列各式中的x。
(1)x2=196;
(2)(x+1)2=9;
(3)x2-169=0;(4)(4x)2=16。
思路分析:
把上面各式化成x2=m的形式,求出m的平方根,就可以求出x的值。
解答过程:
(1)因为x2=196,所以x=±14;
(2)因为(x+1)2=9,所以x+1=±3,所以x=2或x=-4;
(3)因为x2-169=0,所以x2=169,所以x=±13;
(4)因为(4x)2=16,所以4x=±4,所以x=±1。
解题后的思考:
虽然目前我们并没有学习过一元二次方程的解法,但是我们可以利用平方根的定义求解一些简单的一元二次方程。
例5.若一个正数a的两个平方根分别为x+1和x+3,求a2008的值。
思路分析:
由平方根的性质知:
一个正数有两个平方根,且它们互为相反数,因而可构造方程,求出x的值,而a=(x+1)2或a=(x+3)2,据此可求出a的值。
解答过程:
因为一个正数的两个平方根互为相反数所以(x+1)+(x+3)=0,解得x=-2。
从而a=(x+1)2=(-2+1)2=1(或a=(x+3)2=(-2+3)2=1)
所以a2008=1。
解题后的思考:
本题利用平方根的性质,构造一元一次方程,先求出其平方根,再进一步求出a。
这里用到了方程思想,它是初中阶段一种重要的数学思想。
例6.若x,y,m适合关系式
+=+
,试求m的值。
思路分析:
从已知关系式看似乎无从下手,但关系式要成立先要有意义,此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。
⎧3x+5y-3-m≥0
(1)
解答过程:
由已知,得⎪
⎪2x+3y-m≥0
(2)
⎪
⎨x-2005+y≥0(3)
⎪⎩2005-x-y≥0(4)
由(3)(4)式可知,x+y=2005
所以,原式即为+=0
⎨2x+3y-m≥0
因为,⎧3x+5y-3-m≥0
⎩
⎨2x+3y-m=0
所以,⎧3x+5y-3-m=0
⎩
又因为,x+y=2005
所以,解得m=2008。
解题后的思考:
方根必须非负,即
a的非负性包括两层含义:
一是被开方数a必须非负,即a≥0;二是a的算术平
≥0。
小结:
负数没有平方根;一个正数有两个互为相反数的平方根;0的平方根是0
知识点三:
平方根的估算
例7.已知x为-2的整数部分,y-1是9的平方根,且|x-y|=y-x,求x+y的值。
思路分析:
此题涉及的估值问题,由16<17<25,即4<<5可解。
还涉及y的取值的取舍问题,求出的y值要满足题目中的所有条件,既不能漏解,也不能多解。
解答过程:
因为4<<5,所以2<-2<3,即x=2
因为y-1是9的平方根,所以y-1=±3,即y=4或y=-2
又因为|x-y|=y-x,所以y≥x
所以x=2,y=4,故x+y=6。
解题后的思考:
若的整数部分为a,则其小数部分为-a。
小结:
若一个非负数a介于另外两个非负数a1,a2(a1 根也介于 a1, 之间,即0≤<< 。 利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根 的大致范围。 对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题。 比如解不等式组、求函数定义域和值域、求集合的交集和并集等。 知识点四: 立方根的概念及其性质 例8.已知x-1是8的立方根,求x。 思路分析: 此题主要考查立方根的概念,但是用字母表示具体的数,涉及到代数。 解答过程: x-1是8的立方根 ∴(x-1)3=8 ∴x-1=2,x=3 解题后的思考: 利用立方根的概念解决抽象的代数问题。 小结: 立方根与平方根的区别: 只有非负数才有平方根,0的平方根为0,正数的平方根有两个且互为相反数;任何数均有立方根,并且有唯一的与其符号相同的立方根。 知识点五: 平方根与立方根的综合运用 例9. (1)已知 =0.03230,则 =; (2)已知30.498=0.7926,则3=7.926。 思路分析: 一个正数扩大(或缩小)100倍,则它的算术平方根扩大(或缩小)10倍。 从小数点的位置看,一个数的小数点向右(或向左)移动2位,则它的算术平方根的小数点向右(或向左)移动1位。 一个正数扩大(或缩小)1000倍,则它的立方根扩大(或缩小)10倍。 从小数点的位置看,一个数的小数点向右(或向左)移动3位,则它的立方根的小数点向右(或向左)移动1位。 解答过程: (1)因为10.45=0.001045⨯10000 所以=3.23 (2)因为7.926=0.7926⨯10 所以7.926== 解题后的思考: 同学们可以将以前所学知识和这个知识点结合起来理解和记忆: 一个正数扩大10倍,则它的平方扩大100倍,立方扩大1000倍; 反之,一个正数缩小100倍,它的算术平方根缩小10倍;一个正数缩小1000倍,它的立方根缩小10倍。 例10.已知M=m-n-1m+3是m+3的算术平方根,N=2m-4n+3n-2是n-2的立方根,试求M-N的值。 思路分析: 由m-n-1m+3是m+3的算术平方根可知m-n-1=2,由2m-4n+3n-2是n-2的立方根可知2m-4n+3=3,由此可得方程组,解得m,n的值,从而求得M,N的值,最后求出M-N的值。 ⎨2m-4n+3=3 解答过程: 由题意可知⎧m-n-1=2 ⎩ ⎨n=3 解方程组得⎧m=6 ⎩ 所以,M==3,N==1 所以,M-N=3-1=2。 解题后的思考: 明确算术平方根和立方根的意义及表示方法。 例11.若31-2x与33y-2互为相反数,求代数式2x+1的值。 y 思路分析: 由立方根的定义和性质可知,若与互为相反数,则有被开方数互为相反数。 由此求出x,y的关系式,然后代入求值。 解答过程: 由题意得1-2x+3y-2=0 所以,y=2x+1 3 则2x+1=3。 y 解题后的思考: 熟悉掌握立方根的性质是解决这类问题的关键。 被开方数 名称 正数 0 负数 1 -1 算术平方根 1个(正数) 0 无 1 无 平方根 2个(一正一负) 0 无 ±1 无 立方根 1个(正数) 0 1个(负数) 1 -1 第三课时平方根与立方根课堂检测 一、选择题: 1. 的绝对值是() A.3B.-3 C.13 D.-13 2. 下列说法中正确的是() A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数 B.负数没有立方根 C.如果一个数有立方根,那么它一定有平方根 D.一个非零数的立方根与这个数同号 3. 与最接近的数是() A.0B.2C.4D.5 4.若某数的立方根等于这个数的算术平方根,那么这个数是() A.1B.±1 C.0或1D. -1或0 5.计算=() A.a B. -a C. -1 D. 0 二、填空题: 6. (1)±=; (2)-3-125=; 8 (3)3- 27 =;(4)3-8+=; (5)38- 16⨯3 1 27 =; 7.的平方根是; 8.17+10的小数部分为; 9.下列说法中正确的是(将序号填写在横线上) ①4的平方根是2;②4的算术平方根是2; ③-2是4的平方根;④-16的平方根是-4; ⑤0.3是0.09的平方根;⑥0.4的算术平方根是0.2。 10.如果32x-1=-35x+8,那么x2=。 三、解答题: 11.求下列各数的平方根和算术平方根 121 (1) (2)0.008149 4 (3)(-)2(4)14 5 12.求下列各数的立方根. (1)0.001 (2)-216 3 (3)3(4)-38 13.求下列各式中的x. (1)9x2-256=0 (2)4(2x-1)2=25 14.已知: (1-2a)2+b-2=0,求ab的值. 15.若3x+16的立方根是4,求2x+4的算术平方根. 16. 已知31-a2=1-a2,求a的值。 17.已知: (x-1)2+y+3+ =0,求x+y2-z的立方根. 18.已知: x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的平方根. 19.若x2=(-3)2,y3=(-2)3,求x+y的所有可能值. 19.将半径为3cm的铁球熔化,重新铸成8个半径相同的小铁球。 (1)原铁球的体积是多少? (2) 每个小铁球的体积是多少? 半径是多少? (球的体积公式: V=4r3) 3 20. 计划用100块地板砖来铺设面积为16m2的客厅,求所需的正方形地板砖的边长是多少米? 21.已知第一个正方体纸盒的棱长是6cm,第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大127cm3,求第二个正方体纸盒的棱长.
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