根与系数的关系.docx
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根与系数的关系.docx
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根与系数的关系
一元二次方程的解法练习
姓名:
_________学号:
____时间:
[A组]
1.解下列方程
(1)2x2-6=0;
(2)27=4x2;
(3)3x2=4x;(4)x(x-1)+3(x-1)=0;
(5)(x+1)2=2;(6)3(x-5)2=2(5-x).
2.解下列方程
(1)(2x-1)2-1=0;
(2)
(x+3)2=2;
(3)x2+2x-8=0;(4)3x2=4x-1;
(5)x(3x-2)-6x2=0;(6)(2x-3)2=x2.
3.当x取何值时,能满足下列要求?
(1)3x2-6的值等于21;
(2)3x2-6的值与x-2的值相等.
[B组]
4.用适当的方法解下列方程:
(1)3x2-4x=2x;
(2)
(x+3)2=1;
(3)x2+(
+1)x=0;(4)x(x-6)=2(x-8);
(5)(x+1)(x-1)=
;(6)x(x+8)=16;
(7)(x+2)(x-5)=1(8)(2x+1)2=2(2x+1).
5.已知y1=2x2+7x-1,y2=6x+2,当x取何值时y1=y2?
6.已知两个连续奇数的积是255,求这两个奇数.
[C组]
7.学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图),要使种植面积为600平方米,求小道的宽.(精确到0.1米)
(第7题)
8.某商店二月份营业额为50万元,春节过后三月份下降了30%,四月份有回升,五月份又比四月份增加了5个百分点(即增加了5%),营业额达到48.3万元.求四、五两个月增长的百分率.
9.学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙,并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计,如何搭建较合适?
、填空题
`1.方程9x2=25的根是___________.
2.
.
3已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________.
4关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________.
5.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.
6.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________.
选择题
7.一元二次方程的解法,其中正确的是( ).
(A)(x-3)(x-5)=10×2. (B)(2-5x)+(5x-2)2=0.
x-3=10. ∴x1=13 整理得(5x-2)(5x-3)=0
x-5=2.∴x2=7 ∴x1=
,x2=
(C)(x+2)2+4x=0. (D)x2=x.
整理得x2+4=0 两边同除以x,得x=1
∴x1=2,x2=-2
23.用公式法解方程:
3x2-5x+1=0,正确的结果是( ).
(A)
(B)
(C)
(D)都不对
24.用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.
(A) 因式分解法:
(B)配方法:
(C)分式法:
25.解方程:
(1)
(2)
一元二次方程根与系数的关系
1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2,那么x1+x2=,x1·x2=。
2、已知x1、x2是方程2x2+3x-4=0的两个根,那么:
x1+x2=;x1·x2=;
;x21+x22=;(x1+1)(x2+1)=;|x1-x2|=。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。
4、如果关于x的一元二次方程x2+
x+a=0的一个根是1-
,那么另一个根是,a的值为。
5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k=。
6、已知方程2x2+mx-4=0两根的绝对值相等,则m=。
7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和-1,则q∶p=。
8、已知方程x2-mx+2=0的两根互为相反数,则m=。
9、已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0两根互为倒数,则a=。
10、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2,且x1+x2=-2,则m=,(x1+x2)
=。
11、已知方程3x2+x-1=0,要使方程两根的平方和为
,那么常数项应改为。
12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为。
13、若α、β为实数且|α+β-3|+(2-αβ)2=0,则以α、β为根的一元二次方程为。
(其中二次项系数为1)
14、已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+m2=0。
若方程的两根互为倒数,则m=;若方程两根之和与两根积互为相反数,则m=。
15、已知方程x2+4x-2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α=;β=;m=。
16、已知关于x的方程x2-3x+k=0的两根立方和为0,则k=
17、已知关于x的方程x2-3mx+2(m-1)=0的两根为x1、x2,且
,则m=。
18、关于x的方程2x2-3x+m=0,当时,方程有两个正数根;当m时,方程有一个正根,一个负根;当m时,方程有一个根为0。
19、若方程x2-4x+m=0与x2-x-2m=0有一个根相同,则m=。
20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x2+3x-2=0两根的二倍,则所求的方程为。
21、一元二次方程2x2-3x+1=0的两根与x2-3x+2=0的两根之间的关系是。
22、已知方程5x2+mx-10=0的一根是-5,求方程的另一根及m的值。
23、已知2+
是x2-4x+k=0的一根,求另一根和k的值。
24、证明:
如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+
的无理数(A、B均为有理数),
那么另一个根必是A-
。
25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大?
26、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
x31x2+x1x32
27、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
28、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(x21-x22)2
29、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
x1-x2
30、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
31、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
x51·x22+x21·x52
32、求一个一元二次方程,使它的两个根是2+
和2-
。
33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。
34、造一个方程,使它的根是方程3x2-7x+2=0的根;
(1)大3;
(2)2倍;(3)相反数;(4)倒数。
35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足:
(1)一个根比另一个根大2;
(2)一个根是另一个根的3倍;(3)两根差的平方是17。
36、已知关于x的方程2x2-(m-1)x+m+1=0的两根满足关系式x1-x2=1,求m的值及两个根。
37、α、β是关于x的方程4x2-4mx+m2+4m=0的两个实根,并且满足
,求m的值。
38、已知一元二次方程8x2-(2m+1)x+m-7=0,根据下列条件,分别求出m的值:
(1)两根互为倒数;
(2)两根互为相反数;
(3)有一根为零;
(4)有一根为1;
(5)两根的平方和为
。
39、已知方程x2+mx+4=0和x2-(m-2)x-16=0有一个相同的根,求m的值及这个相同的根。
40、已知关于x的二次方程x2-2(a-2)x+a2-5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,
求a的值。
41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b、c的值。
42、设:
3a2-6a-11=0,3b2-6b-11=0且a≠b,求a4-b4的值。
43、试确定使x2+(a-b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值。
44、已知一元二次方程(2k-3)x2+4kx+2k-5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求
当k取何整数时,方程有两个整数根。
45、已知:
α、β是关于x的方程x2+(m-2)x+1=0的两根,求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值。
46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,求常数p、q的值。
,
47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根;y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根,且x1-y1=2,x2-y2=2,求m、n的值。
48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根,x2+2(a+m)x+2a-m2+6m-4=0有大于0且小于2的根。
求a的整数值。
49、关于x的一元二次方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m的值。
50、已知:
α、β是关于x的二次方程:
(m-2)x2+2(m-4)x+m-4=0的两个不等实根。
(1)若m为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值;
(2)若α2+β2=6时,求m的值。
51、已知关于x的方程mx2-nx+2=0两根相等,方程x2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。
求证:
方程x2-(k+n)x+(k-m)=0一定有实数根。
52、关于x的方程
=0,其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1)求证:
这个方程有两个不相等的实根;
(2)若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长。
53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2),在数轴上,
表示x2的点在表示x1的点的右边,且相距p+1,求p的值。
54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β,且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根,求a、b、c的关系式。
55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β,那么(α-1)2+(β-1)2的最小值是多少?
56、已知方程2x2-5mx+3n=0的两根之比为2∶3,方程x2-2nx+8m=0的两根相等(mn≠0)。
求
证:
对任意实数k,方程mx2+(n+k-1)x+k+1=0恒有实数根。
57、
(1)方程x2-3x+m=0的一个根是
,则另一个根是。
(2)若关于y的方程y2-my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m,n应满足。
58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
x2+3x+1=0;
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
3x2-2x-1=0;
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
-2x2+3=0;
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
2x2+5x=0。
62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是-2,求它的另一个根及m的值。
63、已知关于x的方程3x2-1=tx的一个根是-2,求它的另一个根及t的值。
64、设x1,x2是方程3x2-2x-2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x1-4)(x2-4);
(2)x13x24+x14x23;
(3)
;
(4)x13+x23。
65、设x1,x2是方程2x2-4x+1=0的两个根,求|x1-x2|的值。
66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2,方程x2-mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7,求m和n的值。
67、以2,-3为根的一元二次方程是()
A.x2+x+6=0B.x2+x-6=0
C.x2-x+6=0D.x2-x-6=0
68、以3,-1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是()
A.3x2-2x+3=0B.3x2+2x-3=0
C.3x2-6x-9=0D.3x2+6x-9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是()
A.x2+2x-3=0B.x2-2x+3=0
C.x2+2x+3=0D.x2-2x-3=0
70、以-3,-2为根的一元二次方程为,
以
,
为根的一元二次方程为,
以5,-5为根的一元二次方程为,
以4,
为根的一元二次方程为。
71、已知两数之和为-7,两数之积为12,求这两个数。
72、已知方程2x2-3x-3=0的两个根分别为a,b,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是:
(1)a+1.b+1
(2)
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm,面积为
cm2,求这个直角三角形斜边的长。
74、在解方程x2+px+q=0时,小张看错了p,解得方程的根为1与-3;小王看错了q,解得方程的根为4与-2。
这个方程的根应该是什么?
75、关于x的方程x2-ax-3=0有一个根是1,则a=,另一个根是。
76、若分式
的值为0,则x的值为()
A.-1B.3C.-1或3D.-3或1
77、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则()
A.m=0且n≥0B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0D.n=0且m≤0
78、已知x1,x2是方程2x2+3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(2x1-3)(2x2-3);
(2)x13x2+x1x23。
79、已知a2=1-a,b2=1-b,且a≠b,求(a-1)(b-1)的值。
80、如果x=1是方程2x2-3mx+1=0的一个根,则m=,另一个根为。
81、已知m2+m-4=0,
,m,n为实数,且
,则
=。
82、两根为3和-5的一元二次方程是()
A.x2-2x-15=0B.x2-2x+15=0
C.x2+2x-15=0D.x2+2x+15=0
83、.设x1,x2是方程2x2-2x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x12+2)(x22+2);
(2)(2x1+1)(2x2+1);
(3)(x1-x2)2。
84、.已知m,n是一元二次方程x2-2x-5=0的两个实数根,求2m2+3n2+2m的值。
85、已知方程x2+5x-7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。
86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1,求证:
2b2=9ac。
87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11,求m的值。
88、已知关于y的方程y2-2ay-2a-4=0。
(1)证明:
不论a取何值,这个方程总有两个不相等的实数根;
(2)a为何值时,方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x2-10x+21+a=0。
(1)当a为何值时,方程有一正、一负两个根?
(2)此方程会有两个负根吗?
为什么?
90、已知关于x的方程x2-(2a-1)x+4(a-1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积。
91、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1,x2,且4x1+x2=0,又知根的判别式
=25,求a,b的值。
92、已知一元二次方程8y2-(m+1)y+m-5=0。
(1)m为何值时,方程的一个根为零?
(2)m为何值时,方程的两个根互为相反数?
(3)证明:
不存在实数m,使方程的两个相互为倒数。
93、当m为何值时,方程3x2+2x+m-8=0:
(1)有两个大于-2的根?
(2)有一个根大于-2,另一个根小于-2?
94、已知2s2+4s-7=0,7t2-4t-2=0,s,t为实数,且st≠1。
求下列各式的值:
(1)
;;
(2)
。
95、已知x1,x2是一元二次方程x2+
x+n=0的两个实数根,且x12+x22+(x1+x2)2=3,
,求m和n的值。
《第一元二次方程》应用题专题练习题
一、填空题(共7小题,每小题5分,满分35分)
1.一专利产品,2007年元月份在电视台做了广告后,三月份产品销售量比第一个月翻了两番,则平均每个月销售的增长率是
.
2.有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了
人.
3.三个连续的正整数,最大数的立方与最小数的立方差比中间数的40倍大16,那么这三个分别为
.
4.面积为54cm2的长方形,一边剪短5cm,另一边剪短2cm后,恰好是一个正方形,则这个正方形的边长是
cm.
5.一个n边形(n>3)有
条对角线;若某一个多边形对角线条数为170条,则它的内角和为
.
6.一次篮球锦标赛,每个队都进行了3场比赛后,有6个队被淘汰,剩下的队进行单循环赛,共进行了33场比赛,则共有个队.
7.某商品连续两次降价10%以后的售价为a元,则该商品的原价为
元.
二、选择题(共6小题,每小题4分,满分24分)
8.小明同学存入300元的活期储蓄,存满3个月时取出,共得本息和302.16元(不计利息税),则此活期储蓄的月利率是( )
A.0.24%
B.0.72%
C.0.24
D.0.72
9.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( )
A.x2+130x-1400=0
B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0
D.x2-65x-350=0
10.某个体户同时卖出两件衣服,每件售价都是1350元,按成本计算,一件盈利25%,另一件亏本25%,那么这次买卖中该个体是( )
A.不赔不赚
B.赚了90元
C.赚了180元
D.赔了180元
11.两数之差为3,这两数的平方和为117,那么这两数的积为( )
A.-54
B.54
C.±54
D.以上都不对
12.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为( )
A.
37
B.5
C.
38
D.7
13.某书店把一本新书按标价的九折出售,仍可获利20%.若该书的进价为21元,则标价为( )
A.26元
B.27元
C.28元
D.29元
三、解答题(共5小题,满分0分)
14.张先生将进价为40元的商品以50元出售时,能卖500个,若每涨价1元,就少卖10个,为了赚8 000元利润,售价应为多少?
这时,应进货多少?
15.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、B同时出发,几秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2?
16.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.
(1)该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
(2)该经营户要想每天盈利最大,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
17.如图,一块矩形耕地长162m,宽64m,要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖4条和2条水渠,如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地面积为9600m2,那么水渠应挖多宽?
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