解析几何体表面积和体积.docx
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解析几何体表面积和体积
解析几何体表面积和体积
几何体的表面积和体积解答基础
1•如图,在底半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为「的圆柱,求圆柱的表面积和圆锥的体积.
解:
圆锥的高-;,圆柱的底面半径
r=1,
表面积圆锥体积:
]:
=
2•如图,在正三棱台ABC-ABC中,已知其上、下底面边长分别为3cm和6cm,AA=3cm,求此三棱台的侧面积和体积.
解:
由正三棱台的结构特征知,其上、下底面分别是边长为3cm和6cm的等边三角形,如图O0为上、下底面的中心,
・・・OA=AD=X=2",0D=;
OA=^AD=£X汀爭=価,0口需
・••棱台的高h=—'='■,
DD=h-.ii=,
第3页(共11页)
・••三棱台的侧面积S=3X业X匸「;
2247
三棱台的体积v=X(〔X32+〔X&+〔X3X6)
3444
3•四边形ABCD为直角梯形,AB//CDAB=4BC=CD=2AB丄BC?
现将该梯形绕AB旋转一周形成封闭几何体,求该几何体的表面积及体积.
解:
依题旋转后形成的几何体为上部为圆锥,下部为圆柱的图形,如下图所示:
/I
Ic
其表面积s=圆锥侧面积+圆柱侧面积+圆柱底面积;
「・S=4匸+8n+4n=12n+4~;
其体积▼=圆锥体积+圆柱体积;
V=.
33
4.如图,在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为二的内接圆柱;
(1)求圆柱的表面积;
(2)求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.
解:
设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r,高
分别为h、h'.
(1)圆锥的高h=—=2二,
又h'=二,
・・・h'=h.
2
•S表面积—2S底+S侧—2nr+2nrh—2n+2nX二—2(1+二)n
(2)所求体积
■:
引'|7K..■■:
:
■■-.■—
5.已知正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心)的底面边长为a,侧棱长
为%
(1)求它的外接球的体积
(2)求他的内切球的表面积.
解:
(1)由题意,四棱锥为正四棱锥,
•••该四棱锥的侧棱长为Ta,底面是边长为a的正方形,•••四棱锥的高为7a,
设外接球的半径为R,则有氏=(一a)2+(一a-
R)2,二R=「a,
•••外接球的体积为十「一「=.「「,;
(2)设内切球的半径为r,则
..-..I-•r=、二":
a
第7页(共11页)
・••表面积为4nr2二’「.
6.已知正方形的边长为a,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.
解:
设底面半径为r,直圆柱体的高为h因为侧面积等于这个正方形的面积,高等于这
个正方形边长
所以有底面周长2nr=a,h=a,解得广”,
由公式圆柱体体积V=nr2h=
7•已知某个四面体的棱长均为a,
(1)求该四面体外接球的体积;
(2)求该四面体内切球的体积.
解:
(1):
v正四面体的棱长为a,「.此四面
体一定可以放在正方体中,
•••我们可以在正方体中寻找此四面体.
如图所示,四面体ABCD满足题意,BC=a•••正方体的棱长为a,
.••此四面体的外接球即为此正方体的外接球,
•••外接球的直径=正方体的对角线长,
.•.外接球的半径为R=:
?
___=a,所以,球的体积为:
n?
a3=-■na3.
(2)设正四面体的内切球的半径为r,由于正
四面体的每个面的面积为S=?
a?
a?
sin60°
=「a2,正四面体的高为h=jj£dJ=「a,故正四面体的体积为V=Sh=「a3.
再根据V=4[:
:
sr]=4x「?
「a2?
r],可得-a3=4
x[?
「a2?
r],求得尸「a,
V'=n?
宀s?
a3.
8半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为二求球
的表面积和体积.
解:
设正方形ABCD-A'B'C'D'的底面ABC[在半
球的底面圆上,如图
则球心0为ABCD勺中心,连结OA
•.•正方体的棱长为",
A0=2AC=^2■.,可得
A'0=,•“I
即半球的半径R=3
因此,半球的表面积为'■-1'■-■■■;
体积v=;丁:
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