河南省许昌市学年八年级上学期期末数学试题1.docx
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河南省许昌市学年八年级上学期期末数学试题1
河南省许昌市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.下列图形中,不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列各组数中,能成为一个三角形三边长的是()
A.1,2,3B.3,4,5C.2,5,8D.4,5,11
3.下列运算正确的是()
A.
B.
C.
D.
4.若代数式
有意义,则实数
的取值范围是( )
A.
=0B.
=4C.
≠0D.
≠4
5.在平面直角坐标系中,将点A(﹣1,2)向右平移4个单位长度得到点B,则点B关于y轴的对称点B′的坐标为()
A.(-3,2)B.(3,-2)C.(3,2)D.(2,-3)
6.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线,点E、N在BC上,则∠EAN等于()
A.72°B.54°C.36°D.18°
7.小明把一副直角三角板如图摆放,其中
,则
等于()
A.
B.
C.
D.
8.如图,码头在码头的正西方向,甲、乙两船分别从、同时出发,并以等速驶向某海域,甲的航向是北偏东,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能是()
A.北偏东B.北偏西C.北偏东D.北偏西
9.关于x的分式方程
有增根,则m的值为()
A.
B.1C.3D.4
10.如图,在等边三角形ABC中,BC边上的中线AD=6,E是AD上的一个动点,F是边AB上的一个动点,在点E、F运动的过程中,EB+EF的最小值是()
A.5B.6C.7D.8
二、填空题
11.一种细菌的半径是0.00003厘米,数据0.00003用科学记数法表示为____.
12.若一个多边形的内角和是900º,则这个多边形是边形.
13.若
,则
=_____.
14.如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α=________°.
15.如图,在△ABC中,∠A:
∠ABC:
∠ACB=3:
5:
10,B′为AC延长线上一点,A′是B′B延长线上一点,△A′B′C≌△ABC,则∠BCA′:
∠BCB′=_____.
16.如图,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论:
①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°−∠ABD;④BD平分∠ADC;⑤∠BDC=
∠BAC.其中正确的结论有__________(填序号)
三、解答题
17.
(1)计算:
(2)因式分解:
.
18.如图,点B、C、D、E在同一条直线上,已知AB=FC,AD=FE,BC=DE.
(1)求证:
△ABD≌△FCE.
(2)AB与FC的位置关系是_________(请直接写出结论)
19.化简分式:
并从1,2,3,4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值.
20.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.
(1)求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于E,F两点;(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)证明:
AE=AF.
21.探究下面的问题:
(1)如图甲,在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,这个等式是________(用式子表示),即乘法公式中的___________公式.
(2)运用你所得到的公式计算:
①10.7×9.3
②
22.某市为创建全国文明城市,开展“美化绿化城市”活动,计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米.自2021年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的1.5倍,这样可提前4年完成任务.
(1)问实际每年绿化面积多少万平方米?
(2)为加大创城力度,市政府决定从2021年起加快绿化速度,要求不超过2年完成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?
23.已知:
△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
(1)如图1,猜想AE与BD的数量关系与位置关系,并加以证明.
(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.
24.
(1)如图
(1)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.求证:
DE=BD+CE;
(2)如图
(2)将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
参考答案
1.A
【分析】
观察四个选项图形,根据轴对称图形的概念即可得出结论.
【详解】
根据轴对称图形的概念,可知:
选项A中的图形不是轴对称图形.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形,轴对称图形的关键是寻找对称轴,对称轴可使图形两部分折叠后重合.
2.B
【分析】
根据三角形三边定理可知,判定三条线段能否构成三角形时,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
【详解】
A.∵1+2=3=3,∴不能组成三角形,故A错误;
B.∵3+4=7>5,且3-4=1<5,∴能组成三角形,故B正确;
C.∵2+5=7<8,∴不能组成三角形,故C错误;
D.∵4+5=9<11,∴不能组成三角形,故D错误;
故选:
B.
【点睛】
此题考查三角形三边定理,解题关键在于计算三角形三边关系.
3.D
【分析】
根据有理数运算法则中的同底数幂的乘除法法则,合并同类项法则,幂的乘方法则,逐一检验即可求解.
【详解】
A.
,本选项错误;
B.
,本选项错误;
C
,本选项错误;
D.
,本选项正确;
故答案为:
D.
【点睛】
此题考查同底数幂的乘除法,积的乘方,解题关键在于掌握运算法则.
4.D
【解析】
由分式有意义的条件:
分母不为0,即x-4≠0,解得x≠4,
故选D.
5.A
【分析】
首先根据横坐标右移加,左移减可得B点坐标,然后再根据关于y轴对称点的坐标特点:
纵坐标不变,横坐标符号改变即可求解.
【详解】
根据题意可得:
点A(−1,2)向右平移4个单位长度得到的B的坐标为(−1+4,2),即(3,2),
则点B关于y轴的对称点B′的坐标是(-3,2).
故答案为:
A.
【点睛】
此题考查坐标与图形平移变化,解题关键在于掌握变化规律.
6.C
【分析】
先由∠BAC=108°及三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数,再根据线段垂直平分线的性质求出∠B=∠BAE,∠C=∠CAN,即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN,由∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)解答即可.
【详解】
∵△ABC中,∠BAC=108°,
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-108°=72°,
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAN,
即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=72°,
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=108°-72°=36°.
故答案为:
C.
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质,解题关键在于掌握三角形内角和定理.
7.B
【分析】
根据三角形外角性质分别表示出∠α与∠β,然后进一步计算即可.
【详解】
如图所示,利用三角形外角性质可知:
∠α=∠1+∠D,∠β=∠4+∠F,
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F
=90°+30°+90°
=210°,
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质的运用,熟练掌握相关概念是解题关键.
8.D
【解析】
试题分析:
因为甲乙两船航行的时间相等,速度相等,所以相遇时航行的路程相等,则相遇点与A,B构成一个等腰三角形,此时乙的航向是北偏西35°,故答案选D.
考点:
方向角.
9.C
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母x-1=0,得到x=1,然后代入化为整式方程的方程算出m的值.
【详解】
方程两边都乘(x−1),
得5x+3(x−1)=2m−1,
∵原方程有增根,
∴最简公分母(x−1)=0,
解得x=1,
当x=1时,5=2m−1,
解得m=3,
故答案为:
C.
【点睛】
此题考查分式方程的增根,解题关键在于掌握运算法则.
10.B
【解析】
【分析】
先连接CF,再根据EB=EC,将FE+EB转化为FE+CE,最后根据两点之间线段最短,求得CF的长,即为FE+EB的最小值.
【详解】
连接CF,
∵等边△ABC中,AD是BC边上的中线,
∴AD是BC边上的高线,即AD垂直平分BC,
∴EB=EC,
当B.F. E三点共线时,EF+EC=EF+BE=CF,
∵等边△ABC中,F是AB边的中点CF值最小,
∴AD=CF=6,
∴EF+BE的最小值为6.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质,解题的关键是熟练的掌握等边三角形的性质.
11.3×10-5.
【分析】
根据科学计数法的表示即可求解.
【详解】
0.00003=3×10-5,
【点睛】
此题主要考查科学计数法的表示,解题的关键是熟知科学计数法的表示方法.
12.七
【分析】
根据多边形的内角和公式
,列式求解即可.
【详解】
设这个多边形是
边形,根据题意得,
,
解得
.
故答案为
.
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式,熟记公式是解题的关键.
13.
【解析】
【分析】
通过设k法计算即可.
【详解】
解:
∵
,
∴设a=2k,b=3k(k≠0),
则
,
故答案为:
.
【点睛】
本题考查比例的性质,比较基础,注意设k法的使用.
14.56.
【分析】
先根据矩形的性质得出AD∥BC,故可得出∠DAC的度数,由角平分线的定义求出∠EAF的度数,再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数,根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数,进而可得出结论.
【详解】
如图,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB=68°.
∵由作法可知,AF是∠DAC的平分线,
∴∠EAF=
∠DAC=34°.
∵由作法可知,EF是线段AC的垂直平分线,
∴∠AEF=90°,
∴∠AFE=90°-34°=56°,
∴∠α=56°.
故答案为:
56.
15.1:
4
【分析】
根据三角形的内角和定理分别求出,∠A、∠ABC、∠ACB,再根据全等三角形对应角相等求出∠B′,∠A′CB′,全等三角形对应边相等可得BC=B′C,再求出∠BCA′,∠BCB′,相比即可求解.
【详解】
∵∠A:
∠ABC:
∠ACB=3:
5:
10,
∴根据三角形内角和为180°可得:
∠A=30°,∠ABC=50°,∠ACB=100°
∵△A′B′C≌△ABC
∴∠B′=∠ABC=50°,∠A′CB′=∠ACB=100°,BC=B′C
∴∠BCB′=180°−2
50°=80°
∠BCA′=100°−80°=20°
∴∠BCA′:
∠BCB′=1:
4
故答案为:
1:
4.
【点睛】
此题考查全等三角形的性质,解题关键在于掌握三角形内角和定理.
16.①②③⑤
【分析】
根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC,∠EAC=2∠EAD,∠ACF=2∠DCF,根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠EAC=∠ABC+∠ACB,根据已知结论逐步推理,即可判断各项.
【详解】
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAC=2∠EAD,
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,
∴∠EAD=∠ABC,
∴AD∥BC,∴①正确;
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC,
∴∠ACB=2∠ADB,∴②正确;
∵AD平分∠EAC,CD平分∠ACF,
∴∠DAC=
∠EAC,∠DCA=
∠ACF,
∵∠EAC=∠ACB+∠ACB,∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠ADC=180°−(∠DAC+∠ACD)=180°−
(∠EAC+∠ACF)=180°−
(∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)=180°−
(180°−∠ABC)=90°−
∠ABC,∴③正确;
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90°−
∠ABC,
∴∠ADB不等于∠CDB,∴④错误;
∵∠ACF=2∠DCF,∠ACF=∠BAC+∠ABC,∠ABC=2∠DBC,∠DCF=∠DBC+∠BDC,
∴∠BAC=2∠BDC,∴⑤正确;
故答案为:
①②③⑤
【点睛】
此题考查三角形的外角性质、平行线的判定与性质,解题关键在于利用三角形的外角性质逐步推理即可.
17.
(1)4x+5;
(2)a(3a+b)(3a-b).
【分析】
(1)利用完全平方公式与平方差公式将原式展开化简即可.
(2)提取公因式a,再利用平方差公式即可解答.
【详解】
(1)解:
原式=x2+4x+4-(x2-1)
=x2+4x+4-x2+1
=4x+5.
(2)原式=a(9a2-b2)
=a(3a+b)(3a-b)
【点睛】
此题考查提公因式法与公式法的综合运用,解题关键在于掌握运算法则即可.
18.
(1)证明见解析;
(2)AB∥FC.
【分析】
(1)由BC=DE,根据等式性质在等号两边同时加上CD,得到BD=CE,又AB=FC,AD=FE,根据SSS可得△ABD≌△FCE;
(2)由全等三角形的对应角相等可得一对同位角相等,根据同位角相等,两直线平行即可得证.
【详解】
(1)证明:
∵BC=DE,
∴BC+CD=DE+CD,即BD=CE.
在△ABD和△FCE中,
∴△ABD≌△FCE(SSS)
(2)由
(1)可知△ABD≌△FCE,
∴∠B=∠FCE(全等三角形的对应角相等),
∴AB∥FC(同位角相等,两直线平行).
【点睛】
此题考查三角形得判定与性质,平行线的判定,解题关键在于利用SSS判定三角形全等.
19.x+2;当x=1时,原式=3.
【分析】
先把分子分母因式分解,约分,再计算括号内的减法,最后算除法,约分成最简分式或整式;再选择使分式有意义的数代入求值即可.
【详解】
解:
=x+2,
∵x2-4≠0,x-3≠0,
∴x≠2且x≠-2且x≠3,
∴可取x=1代入,原式=3.
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值,熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键,注意分式有意义的条件.
20.
(1)见解析;
(2)证明见解析.
【分析】
(1)利用基本作图(作已知角的角平分线)作BF平分∠ABC即可;
(2)分析题意,首先根据角平分线的作法作出∠ABC的角平分线,并标注点E、F即可;根据直角三角形的性质,可得出∠BED+∠EBD=90°,∠AFE+∠ABF=90°,进而得出∠BED=∠AFE;接下来根据对顶角相等,可得出∠AEF=∠AFE,据此可得到结论.
【详解】
解:
(1)如图所示,射线BF即为所求
(2)证明:
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∴∠BED+∠EBD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠AFE+∠ABF=90°
∵∠EBD=∠ABF
∴∠AFE=∠BED,
∵∠AEF=∠BED
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF
【点睛】
此题考查作图—基本作图,解题关键在于根据题意作出图形.
21.
(1)a2-b2=(a+b)(a-b);平方差;
(2)①99.51;②x2-6xz+9z2-4y2.
【分析】
(1)这个图形变换可以用来证明平方差公式:
已知在左图中,大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2;因为拼成的长方形的长为(a+b),宽为(a-b),根据“长方形的面积=长×宽”代入为:
(a+b)×(a-b),因为面积相等,进而得出结论.
(2)①将10.7×9.3化为(10+0.7)×(10-0.7),再用平方差公式求解即可.
②利用平方差公式和完全平方公式求解即可.
【详解】
(1)由图知:
大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2;
拼成的长方形的面积:
(a+b)×(a−b),所以得出:
a2-b2=(a+b)(a−b);
故答案为:
a2-b2=(a+b)(a−b);平方差
(2)①原式=(10+0.7)×(10-0.7)
=102-0.72
=100-0.49
=99.51.
②原式=(x-3z+2y)(x-3z-2y)
=(x-3z)2-(2y)2
=x2-6xz+9z2-4y2.
【点睛】
此题考查正方形的面积,平方差、完全平方公式,解题关键在于求解长方形、正方形的面积.
22.
(1)实际每年绿化面积为45万平方米;
(2)至少每年平均增加45万平方米.
【分析】
(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米,则实际每年绿化面积为1.5万平方米,根据“实际每年绿化面积是原计划的1.5倍,这样可提前4年完成任务”列出分式方程;
接下来解分式方程,并验根,同时要检验所得的解是否符合实际,即可解答第
(1)问;
(2)设平均每年绿化面积增加a万平方米,由“完成新增绿化面积不超过2年”列不等式求解,即可解决问题.
【详解】
解:
(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米,则实际每年绿化面积为1.5x万平方米,根据题意,得:
解得:
x=30
经检验x=30是原分式方程的解,
则1.5x=1.5×30=45(万平方米).
答:
实际每年绿化面积为45万平方米.
(2)设平均每年绿化面积增加a万平方米,根据题意得
45×4+2(45+a)≥360
解得:
a≥45.
答:
则至少每年平均增加45万平方米.
【点睛】
本题是一元一次不等式以及分式方程在实际问题中的应用的题目,关键是找出题中的等量关系和不等关系.
23.
(1)AE=BD,AE⊥BD;
(2)△ACB≌△DCE;△EMC≌△BNC;△AON≌△DOM;△AOB≌△DOE
【分析】
(1)根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD,从而可知AE=BD、AE⊥BD;
(2)根据条件即可判断图中的全等直角三角形;
【详解】
解:
(1)AE=BD,AE⊥BD.
理由如下:
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,
∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,DC=EC,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE
在△ACE与△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD,∠BDC=∠AEC
又∵在△DOM与△CME中,∠DMA=∠CME
∴∠DOM=∠MCE=90°
∴AE⊥BD
(2)∵AC=DC,
∴AC=CD=EC=CB,∠ACB=∠DCE
△ACB≌△DCE(SAS);
由
(1)可知:
∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC
∴∠DOM=90°,
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD,
∴△EMC≌△BNC(ASA),
∴CM=CN,
∴DM=AN,
△AON≌△DOM(AAS),
∵DE=AB,AO=DO,
∴△AOB≌△DOE(HL)
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形,解题关键在于利用SAS、ASA、AAS、HL证明三角形全等即可.
24.
(1)见解析;
(2)成立,理由见解析
【分析】
(1)根据AAS证明△ADB≌△CEA,得到AE=BD,AD=CE,即可证明;
(2)同理证明△ADB≌△CEA,得到AE=BD,AD=CE,即可证明;
【详解】
证明:
(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.
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