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题库二次函数性质综合题
二次函数性质综合题
类型一二次项系数确定型
1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+m-5.
(1)若该二次函数图象关于y轴对称,写出它的图象的顶点坐标.
(2)若该二次函数图象的顶点在第一象限,求m的取值范围.
解:
(1)∵二次函数y=x2-2mx+m2+m-5的图象关于y轴对称,
∴x=
=0,解得m=0,
∴二次函数为y=x2-5,
∴顶点坐标为(0,-5);
(2)y=x2-2mx+m2+m-5=(x-m)2+m-5,
∴顶点坐标为(m,m-5),
∵它的图象的顶点在第一象限,
∴m>0,且m−5>0,解得m>5.
2.已知抛物线G:
y=x2-2ax+a-1(a为常数).
(1)当a=3时,用配方法求抛物线G的顶点坐标;
(2)若记抛物线G的顶点坐标为P(p,q),
分别用含a的代数式表示p,q;
请在的基础上继续用含p的代数式表示q;
由可得,顶点P的位置会随着a的取值变化而变化,则点P总落在__________图象上.
A.一次函数B.反比例函数C.二次函数
(3)小明想进一步对
(2)中的问题进行如下改编:
将
(2)中的抛物线G改为抛物线H:
y=x2-2ax+N(a为常数),其中N代表含a的代数式,从而使这个新抛物线H满足:
无论a取何值,它的顶点总落在某个一次函数的图象上.
请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式:
_________(用含a的代数式表示),它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,k=___________,b=___________.
解:
(1)当a=3时,y=x2-6x+2=(x-3)2-7,
∴点G的顶点坐标为(3,-7);
(2)y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,
∴p=a,q=-a2+a-1;
q=-p2+p-1;
C
(3)y=x2-2ax+a2+a-1,1,-1(答案不唯一)
【解法提示】y=x2-2ax+a2+a-1=(x-a)2+a-1,顶点坐标为(a,a-1),顶点所在的一次函数图象的表达式y=x-1.
3.已知抛物线y=x2-2mx+2m2+2m,得出两个结论:
结论一:
当抛物线经过原点时,顶点在第三象限的角平分线所在的直线上;
结论二:
不论m取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.
(1)请你求出抛物线经过原点时m的值及顶点坐标,并说明结论一是否正确?
(2)结论二正确吗?
若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线顶点在第四象限时,m的取值范围.
解:
(1)结论一正确.抛物线经过原点时,2m2+2m=0,
则m1=0,m2=-1,
当m=-1时,抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,
顶点坐标(-1,-1);
当m=0时,抛物线解析式为y=x2,
顶点坐标(0,0),
由于顶点(-1,-1)和顶点(0,0)都在第三象限的角平分线所在的直线上,
∴结论一正确;
(2)结论二正确.
∵抛物线的解析式y=x2-2mx+2m2+2m可变为y=(x-m)2+m2+2m,
∴抛物线的顶点坐标为(m,m2+2m),
若设抛物线的顶点为(x,y),
则
∴抛物线顶点的纵横坐标的函数关系式为y=x2+2x,
∵抛物线y=x2+2x的顶点为(-1,-1),与x轴的交点为(0,0),(-2,0),且抛物线开口向上,
∴抛物线y=x2+2x不可能在第四象限.
即不论m取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.
4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段ab的两端点分别为a(-3,m),b(1,m).
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)若该抛物线经过点b(1,m),求m的值;
(3)若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.
解:
(1)∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,
∴D(m,-m+2);
(2)∵抛物线经过点B(1,m),
∴m=1-2m+m2-m+2,
解得m=3或m=1;
(3)根据题意:
∵A(-3,m),B(1,m),
∴AB所在直线的解析式为y=m(-3≤x≤1),
与y=x2-2mx+m2-m+2,联立得:
x2-2mx+m2-2m+2=0,
令y=x2-2mx+m2-2m+2,
若抛物线y=x2-2mx+m2-2m+2与线段AB只有一个公共点,
即函数y在-3≤x≤1范围内只有一个零点,
当x=-3时,y=m2+4m+11≤0,
∵b2-4ac>0,
∴此种情况不存在,
当x=1时,y=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.
5.已知抛物线的表达式为y=2x2-4x-1.
(1)求当x为何值时y取最小值,并求出最小值;
(2)这个抛物线交x轴于点(x1,0),(x2,0),求
的值;
(3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后,所得二次函数图象的顶点为a,请你求出点a的坐标.
解:
(1)y=2x2-4x-1=2(x2-2x+1)-2-1=2(x-1)2-3,
当x=1时,y取最小值,最小值为-3;
(2)令y=0,得2x2-4x-1=0,
由题意得:
方程的两个根为x1,x2,
∵a=2,b=-4,c=-1,
∴x1+x2=
=2,x1x2=
=
则
(3)二次函数的图象向右平移2个单位长度,
得到解析式为y=2(x-1-2)2-3,即y=2(x-3)2-3,
再向下平移1个单位长度,得y=2(x-3)2-3-1,
即y=2(x-3)2-4,
则平移后顶点a的坐标为(3,-4).
6.已知二次函数y=-x2+2mx-4m+2(m为常数)
(1)请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标;
(2)对于二次函数y=-x2+2mx-4m+2,若当x≥1时,函数值y随x的增大而减小,请你求出m的取值范围;
(3)若二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H,写出H与m的函数关系式,并判断该函数图象的顶点是否有最高点(或最低点)?
若有,请求出这个点的坐标.
解:
(1)∵
∴顶点坐标为(m,m2-4m+2);
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=m,且a=-1<0,
∴当x≥m时,函数值y随x的增大而减小,
∵当x≥1时,函数值y随x的增大而减小,
∴m≤1;
(3)∵二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H,
∴H=m2-4m+2=(m-2)2-2,
∵1>0,
∴函数顶点有最低点,坐标为(2,-2).
7.已知二次函数y=
(b,c为常数).
(1)当b=1,c=-3时,求二次函数在-2≤x≤2上的最小值;
(2)当c=3时,求二次函数在0≤x≤4上的最小值;
(3)当c=4
时,若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.
解:
(1)当b=1,c=-3时,二次函数解析式为
,
∵x=-1在-2≤x≤2的范围内,
∴当x=-1时,函数取得最小值为-4;
(2)当c=3时,二次函数解析式为y=
=
,其对称轴为直线x=-b,
若-b<0,即b>0时,当x=0时,y有最小值为3;
若0≤-b≤4,即4≤b≤0时,当x=-b时,y有最小值为
;
若-b>4,即b<-4时,当x=4时,y有最小值为8b+19;
(3)当c=
时,二次函数的解析式为y=
,它是开口向上,对称轴为直线x=-b的抛物线,
若-b<2b,即b>0时,在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下,与其对应的函数值y随x增大而增大,
∴当x=2b时,y=
×
为最小值,
∴12b2=21,
∴b=
或b=
(舍),
∴二次函数解析式为y=
;
若2b≤-b≤2b+3,即-1≤b≤0,
当x=-b时,代入y=
,得y的最小值为
,
∴
=21,
∴b=
(舍)或b=-
(舍),
若-b>2b+3时,即b<-1,x=2b+3时,代入二次函数解析式y=
中,
得y的最小值为
,
∴
=21,
∴b=-2或b=
(舍),
∴二次函数解析式为y=
.
综上所述,b=
或b=-2时,此时二次函数的解析式分别为y=
或y=
.
类型二二次项系数不确定型
1.已知实数a,c满足
,2a+c-ac+2>0,二次函数y=ax2+bx+9a经过点B(4,n)、A(2,n),且当1≤x≤2时,y=ax2+bx+9a的最大值与最小值之差是9,求a的值.
解:
∵实数a,c满足
,
∴c-ac=-a,
∵2a+c-ac+2>0,
∴2a-a+2>0,
∴a>-2,
∵二次函数y=ax2+bx+9a经过点B(4,n)、A(2,n),
∴
=
=3,∴b=-6a,
∴y=ax2+bx+9a=a(x2-6x+9)=a(x-3)2,
∵当1≤x≤2时,y=ax2+bx+9a的最大值与最小值之差是9,
∴|4a-a|=9,∴a=±3,
又∵a>-2,∴a=3.
2.已知抛物线的函数解析式为y=ax2+bx-3a(b<0),若这条抛物线经过点(0,-3),方程ax2+bx-3a=0的两根为x1,x2,且|x1-x2|=4.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)已知实数x>0,请证明x+
≥2,并说明x为何值时才会有x+
=2.
解:
(1)∵抛物线过点(0,-3),
∴-3a=-3,,∴a=1,
∴y=x2+bx-3,
∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2,
∴x1+x2=-b,x1x2=-3,
∵|x1-x2|=4,∴|x1-x2|=
=4,
∴
=4,∴b2=4,
∵b<0,∴b=-2,
∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-4);
(2)∵x>0,∴x+
−2=(x-
)2≥0,
∴x+
≥2,显然当x=1时,才有x+
=2.
3.已知函数
是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?
求出这个最低点的坐标,这时x为何值时y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,抛物线有最大值?
最大值是多少?
这时x为何值时,y随x的增大而减小?
解:
(1)根据题意得m+2≠0且m2+m-4=2,
解得m1=2,m2=-3,所以满足条件的m值为2或-3;
(2)当m+2>0时,抛物线有最低点,所以m=2,抛物线解析式为y=4x2,
所以抛物线的最低点为(0,0),当x≥0时,y随x的增大而增大;
(3)当m=-3时,抛物线开口向下,函数有最大值;抛物线解析式为y=-x2,
所以二次函数的最大值是0,这时,当x≥0时,y随x的增大而减小.
4.我们知道,经过原点的抛物线解析式可以是y=ax2+bx(a≠0).
(1)对于这样的抛物线:
当顶点坐标为(1,1)时,求a、b的值;
(2)当顶点坐标为(m,2m),m≠0时,求a与m之间的关系式;
(3)继续探究,如果b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=(k+1)x(k≠-1)上,请用含k的代数式表示b.
解:
(1)∵顶点坐标为(1,1),
∴
解得
;
(2)当顶点坐标为(m,2m),m≠0时,
,解得a=
;
(3)过原点的抛物线y=ax2+bx的顶点坐标为(
,
),
∵抛物线顶点在直线y=(k+1)x(k≠-1)上,
∴
,
整理得:
b=2k+2.
5.已知二次函数y=ax2-(a+1)x+1(a>0).
(1)当a=1时,求二次函数y=ax2-(a+1)x+1(a>0)的顶点坐标和对称轴.
(2)二次函数y=ax2-(a+1)x+1(a>0)与x轴的交点恒过一个定点,求出这个定点;
(3)当二次函数y=ax2-(a+1)x+1(a>0)时,x在什么范围内,y随着x的增大而减小?
解:
(1)当a=1时,y=x2-2x+1,顶点坐标式为y=(x-1)2,
则顶点坐标为(1,0),对称轴为直线x=1;
(2)令y=ax2-(a+1)x+1=0,a(x2-x)+1-x=0,
当x=1时,a(x2-x)+1-x=0恒成立,则这个定点为(1,0);
(3)∵y=ax2-(a+1)x+1(a>0),
∴y=a(x−
)2+1−
,
∵a>0,∴当x<
时,y随着x的增大而减小.
6.已知函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数).
(1)当m,n取何值时,此函数是我们学过的哪一类函数?
它一定与x轴有交点吗?
请判断并说明理由;
(2)若它是一个二次函数,假设n>-1,那么:
①当x<0时,y随x的增大而减小,请判断这个命题的真假并说明理由;
②它一定经过哪个点?
请说明理由.
解:
(1)①当m=1,n≠-2时,函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)是一次函数,它一定与x轴有一个交点,
∵当y=0时,即(n+1)xm+mx+1-n=0,∴x=
,
∴函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)与x轴有交点;
②当m=2,n≠-1时,函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)是二次函数,
当y=0时,y=(n+1)xm+mx+1-n=0,
即(n+1)x2+2x+1-n=0,
△=22-4(1+n)(1-n)=4n2≥0,
∴函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)与x轴有交点;
③当n=-1,m≠0时,函数y=(n+1)xm+mx+1-n是一次函数,
当y=0时,x=
,
∴函数y=(n+1)xm+mx+1-n(m,n为实数)与x轴有交点;
(2)①假命题,若它是一个二次函数,则m=2,函数y=(n+1)x2+2x+1-n,
∵n>-1,
∴n+1>0,抛物线开口向上,对称轴:
x=
<0,
∴对称轴在y轴左侧,当x<0时,y有可能随x的增大而增大,也可能随x的增大而减小;
②当x=1时,y=n+1+2+1-n=4.
当x=-1时,y=0.
∴它一定经过点(1,4)和(-1,0).
7.在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x-3与y轴交于点A,点A与点B关于x轴对称,过点B作y轴的垂线l,直线l与直线y=2x-3交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)如果抛物线y=nx2-4nx+5n(n>0)与线段bC有唯一公共点,求n的取值范围.
解:
(1)∵直线y=2x-3与y轴交于点A(0,-3),
∴点A关于x轴的对称点B(0,3),l为直线y=3,
∵直线y=2x-3与直线l交于点C,
∴点C坐标为(3,3);
(2)∵抛物线y=nx2-4nx+5n(n>0),
∴y=nx2-4nx+4n+n=n(x-2)2+n(n>0),
∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,n),
∵点B(0,3),点C(3,3),
①当n>3时,抛物线的最小值为n>3,与线段BC无公共点;
②当n=3时,抛物线的顶点为(2,3),在线段BC上,此时抛物线与线段BC有一个公共点;
③当0<n<3时,抛物线最小值为n,与线段BC有两个公共点;如果抛物线y=n(x-2)2+n经过点b,则3=5n,解得n=
,
由抛物线的对称轴为直线x=2,可知抛物线经过点(4,3),点(4,3)不在线段BC上,此时抛物线与线段BC有一个公共点B;
如果抛物线y=n(x-2)2+n经过点C,则3=2n,解得n=
,
由抛物线的对称轴为直线x=2,可知抛物线经过点(1,3),点(1,3)在线段BC上,此时抛物线与线段BC有两个公共点,
综上所述,当
≤n<
或n=3时,抛物线与线段bC有一个公共点.
8.已知抛物线C:
y1=a(x-h)2-1,直线
:
y2=kx-kh-1.
(1)求证:
直线l恒过抛物线C的顶点;
(2)当a=1,2≤x≤m时,y1≤x-3恒成立,求m的最大值;
(3)当0<a≤1,k>0时,若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点,求k的取值范围.
解:
(1)抛物线C的顶点坐标为(h,-1),当x=h时,y2=kh-kh-1=-1,所以直线
恒过抛物线C的顶点;
(2)当a=1时,抛物线C解析式为y1=(x-h)2-1,不妨令y3=x-3,
如解图所示,抛物线C的顶点在直线y=-1上移动,
第8题解图
当2≤x≤3时,y1≤x-3恒成立,则可知抛物线C的顶点为(2,-1),
设抛物线C与直线y3=x-3除顶点外的另一交点为M,此时点M的横坐标即为m的最大值,
由
,解得x=2或x=3,
∴m的最大值为3.
(3)如解图所示,由
(1)可知:
抛物线C与直线l都过点a(h,-1).
第8题解图
当0<a≤1时,k>0,在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数点,即当x=h+3时,y2>y1恒成立.
∴k(h+3)-kh-1>a(h+3-h)2-1,整理得:
k>3a.
又∵0<a≤1,所以0<3a≤3,所以k>3.
9.已知二次函数
的图象与y轴交于点B,
(1)若二次函数的图象经过点A(1,1).
二次函数的图象对称轴为直线x=1,求此二次函数的解析式;
对于任意的正数a,当x>n时,y随x的增大而增大,请求出n的取值范围;
(2)若二次函数的图象的对称轴为直线x=-1,且直线y=2x-2与直线l也关于直线x=-1对称,且二次函数的图象在-5 解: (1)①由题意得 ,解得 , ∴二次函数的解析式为 ; ∵二次函数的图象经过点A(1,1), ∴ ∴b= ∴对称轴为 , ∵a>0,∴ ∴ ∵当x>n时,y随x的增大而增大, (2)由直线y=2x-2可知: 直线y=2x-2与直线x=-1的交点为(-1,-4),与x轴的交点为(1,0), ∵直线y=2x-2与直线 也关于直线x=-1对称, ∴直线 与x轴的交点为(-3,0), 设直线 的解析式为y=kx+d, ∵直线 过点(-1,-4),(-3,0),代入解析式得 解得 ∴直线l的解析式为y=-2x-6. ∵二次函数 的图象的对称轴为直线x=-1,且直线y=2x-2与y=-2x-6关于直线x=-1对称,如解图,当1 的图象在直线y=2x-2的下方, 第9题解图 ∴当-4 的图象在直线 : y=-2x-6的下方; 又∵当-5 的图象在直线 的上方, ∴当x=-4时,y=-2 (-4)-6=2, 即(-4,2)为函数 与y=-2x-6的图象的交点, ∴ 解得 ∴此二次函数的解析式为 .
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