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5、鸡兔同笼问题
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路:
1假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
2假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
3每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
4再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
1把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数x总头数一总脚数)十(兔脚数一鸡脚数)
2把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数x总头数)十(兔脚数一鸡脚数)
找出总量的差与单位量的差。
6、盈亏问题
一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:
按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
基本题型:
1一次有余数,另一次不足;
总份数=(余数+不足数)*两次每份数的差
2当两次都有余数;
总份数=(较大余数一较小余数)-两次每份数的差
3当两次都不足;
总份数=(较大不足数一较小不足数)*两次每份数的差
对象总量和总的组数是不变的。
确定对象总量和总的组数。
第二部分(知识点7-11)
7、牛吃草问题
假设每头牛吃草的速度为“T份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;
再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
原草量和新草生长速度是不变
的;
确定两个不变的量。
生长量=(较长时间x长时间牛头数-较短时间x短时间牛头数)一(长时间-短时间);
总草量=较长时间X长时间牛头数-较长时间X生长量;
8周期循环与数表规律
周期现象:
事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
确定循环周期。
闰年:
一年有366天;
①年份能被4整除;
②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
平年:
一年有365天。
①年份不能被4整除;
②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
9、平均数
①平均数=总数量十总份数
总数量=平均数X总份数
总份数=总数量*平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和*总份数
基本算法:
1求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算.
2基准数法:
根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;
一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;
以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;
再求出所有差的和;
再求出这些差的平均数;
最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②。
10、抽屉原理
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例:
把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:
14=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>
m那么必有一个抽屉至少有:
1k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时。
2k=n/m个物体:
当n能被m整除时。
理解知识点:
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;
[0.321]=0;
[2.9999]=2;
构造物体和抽屉。
也就是找到代
表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运
11、定义新运算
定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:
①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
第三部分(知识点12-16)
12、数列求和
等差数列:
在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
首项:
等差数列的第一个数,一般用a1表示;
项数:
等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
公差:
数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
通项:
表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
数列的和:
这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.
等差数列中涉及五个量:
ai,an,d,n,Sn”通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;
求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
通项公式:
an=a1+(n—1)d;
通项=首项+(项数一1)X公差;
数列和公式:
Sn=(a1+an)Xn*2;
数列和=(首项+末项)X项数十2;
项数公式:
n=(an+ai)十d+1;
项数=(末项-首项)十公差+1;
公差公式:
d=(an—aj)*(n—1);
公差=(末项—首项)十(项数—1);
确定已知量和未知量,确定使用的公式;
13、二进制及其应用
十进制:
用0〜9十个数字表示,逢10进1;
不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2X102+3X10+4。
=AnX10n-1+An-1x10n-2+An-2x10n-3+An-3x
n-4n-5-72
10+An-4x10+An-6x10+・・・・・・+A3X10+A2
X101+A1X100
注意:
N0=1;
N1=N(其中N是任意自然数)
二进制:
用0〜1两个数字表示,逢2进1;
不同数位上的数字表示不同的含义。
(2)=AnX2n-1+An-1X2n-2+An-2X2n-3+An-3
X2n-4+An-4X2n-5+An-6X2-7
210
+……+A3X2+A2X2+A1X2
An不是0就是1。
十进制化成二进制:
1根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
2先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。
14、加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:
m1+m
2+mn种不同的方法。
确定工作的分类方法。
基本特征:
每一种方法都可完成任务。
乘法原理:
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有ml种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:
mixm2xmn种不同的方法。
确定工作的完成步骤。
每一步只能完成任务的一部分。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
直线特点:
没有端点,没有长度。
线段:
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点,有长度。
射线:
把直线的一端无限延长。
射线特点:
只有一个端点;
没有长度。
1数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
2数角规律=1+2+3+••+(射线数一1);
3数长方形规律:
个数=长的线段数x宽的线段数:
4数长方形规律:
个数=1X1+2X2+3X3+…+行数X列数
15、质数与合数
质数:
一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:
一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质
因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:
N/%九"
,其中ai、a?
、a3……an都是合数N的质因数,且a1<
a?
<
a3<
<
an。
求约数个数的公式:
P=(r1+1)x(r2+1)x(r3+1)x……x(rn+1)
互质数:
如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。
16、约数与倍数
约数和倍数:
若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
公约数:
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质:
(1)几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
(2)几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
(3)几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
(4)几个数都乘以一个自然数m所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘
以m
例如:
12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有:
1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有:
1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是:
6,记作(12,18)=6;
求最大公约数基本方法:
(1)分解质因数法:
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
(2)短除法:
先找公有的约数,然后相乘。
(3)辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;
其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有:
12、24、36、48……;
18的倍数有:
18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有:
36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
最小公倍数的性质:
(1)两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
(2)两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法:
1、短除法求最小公倍数;
2、分解质因数的方法
第四部分(知识点仃-21)
17、数的整除
一、基本概念和符号:
1、整除:
如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
2、常用符号:
整除符号“|”,不能整除符号“”;
因为符号“•••”,所以的符号“•••”;
二、整除判断方法:
1.能被2、5整除:
末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除:
末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8125整除:
末三位的数字所组成的数能被8125整除。
4.能被3、9整除:
各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除:
1末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
2逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除:
1末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
2奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
3逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除:
1末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
2逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质:
1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18、余数及其应用
对任意自然数a、b、q、r,如果使得a*b=qr,且0<
r<
b,那么r叫做a除以b的余数,q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质:
1余数小于除数。
2若a、b除以c的余数相同,贝Uc|a-b或c|b-a。
3a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
4a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19、余数、同余与周期
一、同余的定义:
1若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
2已知三个整数a、b、m如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a三b(modm),读作a同余于b模m
二、同余的性质:
1自身性:
a三a(modm);
2对称性:
若a三b(modm),贝Ub=a(modm);
3传递性:
若a=b(modm),b=c(modm),贝Va=c(modm);
4和差性:
若a=b(modm),c=d(modm),贝Va+c=b+d(modm),a-c=b-d(modm);
5相乘性:
若a=b(modm),c=d(modm),贝Vaxc=bxd(modm);
6乘方性:
若a=b(modm),贝Van三bn(modm);
7同倍性:
若a=b(modm),整数c,贝Vaxc=bxc(modmxc);
三、关于乘方的预备知识:
1若A=aXb,贝VMA=MXb=(Mab
2若B=c+d则MB=Mc+d=MfcMd
四、被3、9、11除后的余数特征:
①一个自然数Mn表示M的各个数位上数字的和,贝Vn(mod9)或(mod3);
2一个自然数MX表示M的各个奇数位上数字的和,丫表示M的各个偶数数位上数字的和,则M^Y-X或M=11-(X-Y)(mod11);
五、费尔马小定理:
如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1=1(modp)。
20、分数与百分数的应用
基本概念与性质:
分数:
把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。
分数的性质:
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
分数单位:
把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。
百分数:
表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法:
1逆向思维方法:
从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
2对应思维方法:
找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
3转化思维方法:
把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。
最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;
把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。
常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
4假设思维方法:
为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,
求出最后结果。
5量不变思维方法:
在变化的各个量当中,
总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。
有以下三种情况:
A、分量发生变化,总量不变。
B、总量发生变化,但其中有的分量不变。
C总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。
6替换思维方法:
用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
7同倍率法:
总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法:
一般应用于总量和分量都发
生变化的状况。
21、分数大小的比较基本方法:
①通分分子法:
使所有分数的分子相同,根
据同分子分数大小和分母的关系比较
2通分分母法:
使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。
3基准数法:
确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。
4分子和分母大小比较法:
当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。
5倍率比较法:
当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以
用同倍率的变化关系比较分数的大小。
(具体运用见同倍率变化规律)
6转化比较方法:
把所有分数转化成小数
(求出分数的值)后进行比较。
7倍数比较法:
用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。
8大小比较法:
用一个分数减去另一个分
数,得出的数和0比较。
9倒数比较法:
利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。
10基准数比较法:
确定一个基准数,每一个数与基准数比较。
第五部分(知识点22-29)
22、分数拆分
将一个分数单位分解成两个分数之和的公
式:
1[1
1沪灾+1)5+1;
1&
丄
2二血s+d)+苗(眇自然和!
23、完全平方数
完全平方数特征:
(1)末位数字只能是:
0、1、4、5、6、9;
反之不成立。
(2)除以3余0或余1;
反之不成立。
(3)除以4余0或余1;
(4)约数个数为奇数;
反之成立。
(5)奇数的平方的十位数字为偶数;
反之不成立。
(6)奇数平方个位数字是奇数;
偶数平方个位数字是偶数。
(7)两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式:
X2-Y2=(X-Y)(X+Y
完全平方和公式:
(X+Y2=y+2XY+Y
完全平方差公式:
(X-Y)2=X2-2XY+Y2
24、比和比例
比:
两个数相除又叫两个数的比。
比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。
比值:
比的前项除以后项的商,叫做比值。
比的性质:
比的前项和后项同时乘以或除以a_c
相同的数(零除外),比值不变。
比例:
表示两个比相等的式子叫做比例。
a:
b=c:
d或
比例的性质:
两个外项积等于两个内项积
(交叉相乘),ad=bc。
正比例:
若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时),贝VA与B成正比。
反比例:
若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时),贝UA与B成反比。
比例尺:
图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配:
把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。
25、综合行程
行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
路程=速度x时间;
路程*时间=速度;
路程*速度=时间
确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题:
速度和X相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)
追及问题:
追及时间=路程差一速度差(写出其他公式)
流水问题:
顺水行程=(船速+水速)X顺水时间
逆水行程=(船速-水速)x逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)十2
水速=(顺水速度-逆水速度)*2
关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。
过桥问题:
关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。
主要方法:
画线段图法
已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。
26、工程问题
1工作总量=工作效率x工作时间
2工作效率=工作总量*工作时间
3工作时间=工作总量-工作效率
1假设工作总量为“T(和总工作量无关);
2假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间•
确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
经验简评:
合久必分,分久必合。
27、逻辑推理
基本方法简介:
①条件分析-假设法:
假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。
例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么
a一定是奇数
2条件分析-列表法:
当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。
列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。
3条件分析--图表法:
当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。
例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。
4逻辑计算:
在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
5简单归纳与推理:
根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。
28、几何面积
基本思路:
在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需
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