北师大版九年级数学上第一章证明二全章教案Word文档下载推荐.docx
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,∠D+∠E+∠F=180°
(三角形内角和等于180°
),
∴∠C=180°
-(∠A+∠B),
∠F=180°
-(∠D+∠E),
∴∠C=∠F(等量代换)。
又BC=EF(已知),
∴△ABC≌△DEF(ASA)。
第二环节:
折纸活动探索新知
在提问:
“等腰三角形有哪些性质?
以前是如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗?
并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?
”的基础上,让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。
具体操作中,可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质,然后再以六人为小组进行交流,互相弥补不足。
→
第三环节:
明晰结论和证明过程
1、在学生小组合作的基础上,教师通过分析、提问,和学生一起完成以上两个个性质定理的证明,注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后,教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法,给学生明晰证明过程。
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合
2、提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上,思考等边三角形的特殊性质,从而得到:
等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°
.
如图,ΔABC中,AB=BC=AC.
∠A=∠B=∠C=60°
在ΔABC中,∵AB=AC,∴∠B=∠C(等边对等角).
同理:
∠C=∠A,∴∠A=∠B=∠C(等量代换).
又∵∠A+∠B+∠C=180°
(三角形内角和定理),∴∠A=∠B=∠C=60°
.
第四环节:
随堂练习巩固新知
学生自主完成P4第2题:
如图(图略),在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD,
(1)求证:
△ABD是等腰三角形;
(2)求∠BAD的度数。
第五环节:
课堂小结
让学生畅谈收获,包括具体结论以及其中的思想方法等。
第六环节:
布置作业
P5习题1,2.
四、教学反思
1.你能证明它们吗
(二)
探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段,证明等腰三角形的判定定理,进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式,体会证明的必要性;
初步了解反证法的含义,并能利用反证法证明简单的命题。
经历“探索-发现-猜想-证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力;
在命题的变式中,发展学生提出问题的能力,拓展命题的能力,从而提高学生的学习能力和思维能力,提高学生学习的主体性;
在图形的观察中,揭示等腰三角形的本质:
对称性,发展学生的几何直觉。
引导学生体会蕴含在问题解决过程中的思想方法,如归纳、类比、反证法等。
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.体验数学活动中的探索与创造,感受数学的严谨性.
经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程,能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.结合实例体会反证法的含义.
2、难点:
由一般结论归纳出特殊结论.探求证明思路,特别是反证法的思路含义。
提出问题,引入新课
在回忆上节课等腰三角形性质的基础上,提出问题:
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?
你能证明你的结论吗?
自主探究
在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等),观察其中有哪些相等的线段,并尝试给出证明。
注意事项:
活动中,教师应注意给予适度的引导,如可以渐次提出问题:
你可能得到哪些相等的线段?
你如何验证你的猜测?
你能证明你的猜测吗?
试作图,写出已知、求证和证明过程;
还可以有哪些证明方法?
通过学生的自主探究和同伴的交流,学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出:
等腰三角形两个底角的平分线相等;
等腰三角形腰上的高相等;
等腰三角形腰上的中线相等.
并对这些命题给予多样的证明。
如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”,学生得到了下面的证明方法:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的角平分线.
BD=CE.
证法1:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵∠1=
∠ABC,∠2=
∠ABC,
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2.
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
证法2:
∴∠ABC=∠ACB.
又∵∠3=∠4.
在△ABC和△ACE中,
∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A.
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
在证明过程中,学生思路一般还较为清楚,但毕竟严格证明表述经验尚显不足,因此,教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求,因此,注意请学生板书其中部分证明过程,借助课件展示部分证明过程;
可能部分学生还有一些困难,注意对有困难的学生给予帮助和指导。
经典例题变式练习
提请学生思考,除了角平分线、中线、高等特殊的线段外,还可以有哪些线段相等?
并在学生思考的基础上,研究课本“议一议”:
在课本图1—4的等腰三角形ABC中,
(1)如果∠ABD=
∠ABC,∠ACE=
∠ACB呢?
由此,你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=
AC,AE=
AB,那么BD=CE吗?
如果AD=
AB呢?
由此你得到什么结论?
在学生解决问题的基础上,教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。
下面是学生的课堂表现:
[生]在等腰三角形ABC中,如果∠ABD=
∠ABC,那么BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似.证明如下:
又∵∠ABD=
∠ABC,∴∠ACE=
∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠ABD=∠ACE,BC=CB,∠ACB=∠ABC,
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
[生]如果在△ABC中,AB=AC,∠ABD=
∠ABC,∠ACE=∠
∠ACB,那么BD=CE也是成立的.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE,△BDC与△CEB全等的条件就能满足,也就能得到BD=CE.由此我们可以发现:
在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠
∠ACB,就一定有BD=CE成立.
[生]也可以更直接地说:
在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠ACE,那么BD=CE.
[师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论.请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来.(教师可巡视指导)下面我们来讨论第
(2)问,请小组代表发言.
[生]在△ABC中,AB=AC,如果AD=
AB,那么BD=CE;
AB,那么BD=CE.由此我们得到了一个更一般的结论:
在△ABC中,AB=AC,AD=
AB,那么BD=CE.证明如下:
∵AB=AC.
又∵AD=
AB,
∴AD=AE.
在△ADB和△AEC中,
AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,
∴△ADB≌△AEC(SAS).
[生]一般结论也可更简洁地叙述为:
在△ABC中,如果AB=AC,AD=AE,那么BD=CE.
[师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论,这是我们研究数学问题常用的一种思想方法,它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究,我们可以发现等腰三角形中,相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的.
逆向思考,导出反证法
活动过程与效果:
教师:
上面,我们改变问题条件,得出了很多类似的结论,这是研究问题的一种常用方法,除此之外,我们还可以“反过来”思考问题,这也是获得数学结论的一条途径.例如“等边对等角”,反过来成立吗?
也就是:
有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
[生]如图,在△ABC中,∠B=∠C,要想证明AB=AC,只要构造两个全等的三角形,使AB与AC成为对应边就可以了.
[师]你是如何想到的?
[生]由前面定理的证明获得启发,比如作BC的中线,或作A的平分线,或作BC上的高,都可以把△ABC分成两个全等的三角形.
[师]很好.同学们可在练习本上尝试一下是否如此,然后分组讨论.
[生]我们组发现,如果作BC的中线,虽然把△ABC分成了两个三角形,但无法用公理和已证明的定理证明它们全等.因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等,是不能够判断两个三角形全等的.后两种方法是可行的.
[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来.(教师可让两个同学在黑板上演示,并对推理证明过程讲评)
(证明略)
[师]我们用“反过来”思考问题,获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理:
有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简单叙述为:
等角对等边.我们不仅发现了几何图形的对称美,也发现了数学语言的对称美.
适时提问导出反证法
我们类比归纳获得一个数学结论,“反过来”思考问题也获得了一个数学结论.如果否定命题的条件,是否也可获得一个数学结论吗?
我们一起来“想一想”:
小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗?
有学生提出:
“我认为这个结论是成立的.因为我画了几个三角形,观察并测量发现,如果两个角不相等,它们所对的边也不相等.但要像证明“等角对等边”那样却很难证明,因为它的条件和结论都是否定的.”
的确如此.像这种从正面人手很难证明的结论,我们有没有别的证明思路和方法呢?
我们来看一位同学的想法:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与Ac要么相等,要么不相等.
假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B,但已知条件是∠B≠∠C.“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾,因此AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?
再例如,我们要证明△ABC中不可能有两个直角,也可以采用这位同学的证法,假设有两个角是直角,不妨设∠A=90°
,∠B=90°
,可得∠A+∠B=180°
,但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°
“∠A+∠B=180°
”与“∠A+∠B+∠C=180°
”相矛盾,因此△ABC中不可能有两个直角.
引导学生思考:
上一道面的证法有什么共同的特点呢?
引出反证法。
都是先假设命题的结论不成立,然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾,从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法,我们把它叫做反证法.
及时巩固随堂练习
如图,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC且∠1=∠2.
AB=AC.
∵AD∥BC,
∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C.
∴AB=AC(等角对等边).
第七环节:
.探讨收获课时小结
本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段,并由特殊结论归纳出一般结论,接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”,最后结合实例了解了反证法的含义.
第八环节:
课本P9习题1.2第2、3题
1.你能证明它们吗(三)
理解等边三角形的判别条件及其证明,理解含有30º
角的直角三角形性质及其证明,并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.经历实际操作,探索含有30º
角的直角三角形性质及其推理证明过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力。
在具体问题的证明过程中,有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想,提高学生的能力。
积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心。
1、重点:
等边三角形判定定理的发现与证明,含30°
角的直角三角形的性质定理的发现与证明。
含30°
角的直角三角形性质定理的探索与证明,引导学生全面、周到地思考问题。
提问问题,引入新课
教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上,直接提出问题:
等边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢?
又如何判别一个三角形是等腰三角形呢?
从而引入新课。
(教师应给学生自主探索、思考的时间)
自主探索
学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件,并交流汇报各自的结论,教师适时要求学生给出相对规范的证明,概括出等边三角形的判别条件,并引导学生总结出下表:
性质
判定的条件
等腰三角形(含等边三角形)
等边对等角
等角对等边
“三线合一”即等腰三角形顶角平分线,底边上的中线、高互相重合
有一角是60°
等边三角形三个角都相等,且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
由于有了第1环节的铺垫,学生多能探究出:
顶角是60°
的等腰三角形是等边三角形;
底角是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形;
三条边都相等的三角形是等边三角形。
对于前两个定理的形式相近,教师可以进一步提出要求:
能否用更简捷的语言描述这个结论吗?
从而引导学生得出:
有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形。
在学生得出这些结论的基础上,教师注意引导学生说明道理,给出证明的思路,选择部分命题,给与严格的证明,由于“有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论,因此,可以以此问题作为对学生证明的要求,并与同伴交流证明思路.并要求学生思考证明中的注意事项,从而点明其中的分类思想,提请学生注意:
思考问题要全面、周到.
实际操作提出问题
教师直接提出问题:
我们还学习过直角三角形,今天我们研究一个特殊的直角三角形:
角的直角三角形。
拿出三角板,做一做:
用含30°
角的两个三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
在你所拼得的等边三角形中,有哪些线段存在相等关系,有哪些线段存在倍数关系,你能得到什么结论?
说说你的理由.
学生一般可以得出下面两种图形:
其中第1个图形是等边三角形,对于该图学生也可以得出BD=
AB,从而得出:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
注意,教学过程中,教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。
具体的说明过程可以如下:
方法1:
因为△ABD≌ACD,所以AB=AC.又因为Rt△ABD中,∠BAD=60°
,所以∠ABD=60°
,有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形.
方法2:
图
(1)中,∠B=∠C=60,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°
+30°
=60°
,所以∠B=∠C=∠BAC=60°
,即△ABC是等边三角形.
如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半,教师可以在图上标出各个字母,并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系,并在将三角板分开,思考从中可以得到什么结论。
然后在学生得到该结论的基础上,再证明该定理。
定理:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠BAC=30°
BC=
AB.
分析:
从三角尺的拼摆过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
在△ABC中,∠ACB=90°
∠B=60°
延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示).
∵∠ACB=90°
∴∠ACB=90°
∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形).
∴BC=
BD=
变式训练巩固新知
活动1:
直接提请学生思考刚才命题的逆命题:
在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°
吗?
如果是,请你证明它.
在师生分析的基础上,给出证明:
,BC=
∠BAC=30°
延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
,∴∠ACD=90°
又∵AC=AC.
∴△ACB≌△ACD(SAS).
∴AB=AD.
∵CD=BC,∴BC=
BD.
又∵BC=
AB,∴AB=BD.
∴AB=AD=BD,
即△ABD是等边三角形.
∴∠B=60°
.在Rt△ABC中,∠BAC=30°
该命题的证明中辅助线较复杂,但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫,可以给学生一些启示,因此,教学中,教师可以引导学生思考:
从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示?
活动2:
呈现例题,在师生分析的基础上,运用所学的新定理解答例题。
[例题]等腰三角形的底角为15°
,腰长为2a,求腰上的高CD的长.
观察图形可以发现在Rt△ADC中,AC=2a而∠DAC是△ABC的一个外角,而∠DAC=×
15°
=30°
,根据在直角三角形中,30°
角所对的直角边是斜边的一半,可求出CD.
解:
∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°
+15°
∴CD=
AC=
×
2a=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
活动目的:
在例题求解中巩固新知。
畅谈收获课时小结
让学生对课堂学习进行小结,注意总结具体的知识、结论,以及解决问题的方法和蕴含其中的思想,如分类讨论思想、逆向思维等。
P12习题1.31,2,3。
2.直角三角形
(一)
经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法,进一步理解证明的必要性,结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立。
进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理的能力.
在数学活动中,获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心。
积极参与数学活动,对数学命题的获得产生好奇心和求知欲.
1、重点:
①了解勾股定理及其逆定理的证明方法.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.
勾股定理及其逆定理的证明方法.对不是“如果……那么……”形式的逆命题的叙述.
创设情境,引入新课
通过问题1,让学生在解决问题的同时,回顾直角三角形的一般性质。
[问题1]一个直角三角形房梁如图所示,其中BC⊥AC,∠BAC=30°
,AB=10cm,CB1⊥AB,B1C⊥AC1,垂足分别是B1、C1,那么BC的长是多少?
B1C1呢?
在Rt△ABC中,∠CAB=30°
,AB=10cm,
∴BC=
AB=
10=5cm.
∵CB1⊥AB,∴∠B+∠BCB1=90°
又∵∠A+∠B=90°
∴∠BCB1=∠A=30°
在Rt△ACB1中,BB1=
BC=
5=
cm=2.5cm.
∴AB1=AB=BB1=10—2.5=7.5(cm).
∴在Rt△C1AB1中,∠A=30°
∴B1C1=
AB1=
7.5=3.75(cm).
解决这个问题,主要利用了上节课已经证明的“30°
角的直角三角形的性质”.由此提问:
“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?
”从而引入勾股定理及其证明。
教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推导出的定理,能够证明勾股定理吗?
请同学们打开课本P18,阅读“读一读”,了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理,证明勾股定理的方法.
讲述新课
阅读完毕后,针对“读一读”中使用的两种证明方法,着重讨论第一种,第二种方法请有兴趣的同学课后阅读.
1.勾股定理及其逆定理的证明.
如图,在△ABC中,∠C=90°
,BC=a,AC=b,AB=c.
a2+b2=c2.
延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,连接ED、AE(如图),则△ABC≌△BED.
∴∠BDE=90°
,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等).
∴四边形ACDE是直角梯形.
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- 北师大 九年级 数学 第一章 证明 二全章 教案