知识梳理与自测人教A版文科数学《53平面向量的数量积》Word文档格式.docx
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b|与|a||b|的关系
b|≤|a||b|
|x1x2+y1y2|≤
概念方法微思考
1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗?
提示 不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cosθ,而b在a方向上的投影为|b|cosθ,其中θ为a与b的夹角.
2.两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗?
提示 不一定.当夹角为0°
时,数量积也大于0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )
(3)由a·
b=0可得a=0或b=0.( ×
)
(4)(a·
b)c=a(b·
c).( ×
(5)两个向量的夹角的范围是.( ×
(6)若a·
b<
0,则a和b的夹角为钝角.( ×
题组二 教材改编
2.[P105例4]已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·
(2a-b)=0,则k=________.
答案 12
解析 ∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),
由a·
(2a-b)=0,得(2,1)·
(5,2-k)=0,
∴10+2-k=0,解得k=12.
3.[P106T3]已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°
,则向量b在向量a方向上的投影为________.
答案 -2
解析 由数量积的定义知,b在a方向上的投影为
|b|cosθ=4×
cos120°
=-2.
题组三 易错自纠
4.已知向量a,b的夹角为60°
,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.
答案 2
解析 方法一 |a+2b|=
=
==2.
方法二 (数形结合法)
由|a|=|2b|=2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=||.
又∠AOB=60°
,所以|a+2b|=2.
5.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为________.
答案
解析 =(2,1),=(5,5),
由定义知,在方向上的投影为
==.
6.已知△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·
b+b·
c+a·
c=________.
答案 -
解析 ∵〈a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉=120°
,|a|=|b|=|c|=1,
∴a·
c=1×
1×
=-,
c=-.
题型一 平面向量数量积的基本运算
1.(2019·
百校联盟联考)已知a=(x,1),b=(-2,4),若(a+b)⊥b,则x等于( )
A.8B.10C.11D.12
答案 D
解析 ∵a=(x,1),b=(-2,4),
∴a+b=(x-2,5),
又(a+b)⊥b,
∴(x-2)×
(-2)+20=0,
∴x=12.
2.(2018·
全国Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·
b=-1,则a·
(2a-b)等于( )
A.4B.3C.2D.0
答案 B
解析 a·
(2a-b)=2a2-a·
b=2|a|2-a·
b.
∵|a|=1,a·
b=-1,∴原式=2×
12+1=3.
3.(2019·
上饶模拟)设D,E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点,且BC=2,则·
等于( )
A.B.
C.D.
答案 C
解析 如图,
||=||=2,〈,〉=60°
,
∵D,E是边BC的两个三等分点,
∴·
=·
=||2+·
+||2=×
4+×
2×
+×
4=.
思维升华平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·
b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·
b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 求向量的模
例1
(1)(2019·
永州模拟)在△ABC中,∠BAC=60°
,AB=5,AC=6,D是AB上一点,且·
=-5,则||等于( )
A.1B.2C.3D.4
解析 如图所示,
设=k,所以=-=k-,
所以·
(k-)
=k2-·
=25k-5×
6×
=25k-15=-5,
解得k=,所以||=||=3.
(2)如果=2,=3,a·
b=4,则的值是( )
A.24B.2
C.-24D.-2
解析 由=2,=3,a·
b=4,
得==
命题点2 求向量的夹角
例2
(1)(2018·
泉州质检)设向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·
(a-b)=3,则a与b的夹角为( )
解析 由题意得a·
(a-b)=a2-a·
=4-2×
cosα=4-2cosα=3,
∴cosα=,∵0≤α≤π,∴α=.
(2)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°
,则实数λ的值是________.
解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·
e2=0,
|e1-e2|=
同理|e1+λe2|=.
所以cos60°
==,
解得λ=.
思维升华
(1)求解平面向量模的方法
①利用公式|a|=.
②利用|a|=.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法:
cosθ=,θ的取值范围为[0,π].
②坐标法:
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cosθ=.
③解三角形法:
把两向量的夹角放到三角形中.
跟踪训练1
(1)(2019·
郑州模拟)已知向量a与b的夹角为30°
,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|=________.
解析 ∵|2a-b|=1,
∴|2a-b|2=4a2-4a·
b+b2=1,
∴4-4|b|cos30°
+b2=1,
整理得|b|2-2|b|+3=(|b|-)2=0,
解得|b|=.
(2)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为( )
解析 ∵a⊥(a-b),
b=1-cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=,∴〈a,b〉=.
题型三 平面向量与三角函数
例3已知向量a=,b=,且x∈.
(1)求a·
b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·
b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.
解
(1)a·
b=coscos-sin·
sin=cos2x.
∵a+b=,
∴|a+b|=
==2|cosx|.
∵x∈,
∴cosx>
0,∴|a+b|=2cosx.
(2)f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1
=22-.
∵x∈,∴≤cosx≤1,
∴当cosx=时,f(x)取得最小值-;
当cosx=1时,f(x)取得最大值-1.
思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.
(1)若m⊥n,求tanx的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
解
(1)因为m=,n=(sinx,cosx),m⊥n.
所以m·
n=0,即sinx-cosx=0,
所以sinx=cosx,所以tanx=1.
(2)因为|m|=|n|=1,所以m·
n=cos=,
即sinx-cosx=,
所以sin=,
因为0<
x<
,所以-<
x-<
所以x-=,即x=.
1.已知a,b为非零向量,则“a·
b>
0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 根据向量数量积的定义式可知,若a·
0,则a与b的夹角为锐角或零角,若a与b的夹角为锐角,则一定有a·
0,所以“a·
0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选B.
2.(2019·
西北师大附中冲刺诊断)已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b与a垂直,则实数k的值为( )
A.1B.-1
C.2D.-2
解析 向量a=(1,1),b=(2,-3),
则ka-2b=.
若ka-2b与a垂直,则k-4+k+6=0,
解得k=-1.故选B.
3.(2018·
华中师大一附中模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(,),则|2a-b|等于( )
A.2B.
C.D.2
答案 A
解析 根据题意,|a-b|==,
则(a-b)2=a2+b2-2a·
b=5-2a·
b=5,
可得a·
b=0,结合|a|=1,|b|=2,
可得(2a-b)2=4a2+b2-4a·
b=4+4=8,
则=2,故选A.
4.(2018·
东三省三校模拟)非零向量a,b满足:
|a-b|=|a|,a·
(a-b)=0,则a-b与b夹角θ的大小为( )
A.135°
B.120°
C.60°
D.45°
解析 ∵非零向量a,b满足a·
(a-b)=0,
∴a2=a·
b,由|a-b|=|a|可得,
a2-2a·
b+b2=a2,解得|b|=|a|,
∴cosθ==
==-,
∴θ=135°
,故选A.
5.(2019·
咸阳模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°
,则向量a-b在向量a方向上的投影为( )
A.-1B.1
C.-D.
解析 由题意可得|a|=|b|=1,
且a·
b=|a|×
|b|×
cos60°
=,
b=1-=,
则向量a-b在向量a方向上的投影为
==.故选D.
6.(2018·
钦州质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则·
的取值范围是( )
A.[-1,0]B.[-1,2]
C.[-1,3]D.[-1,4]
由题意可得,点M所在区域的不等式表示为(x-1)2+(y-1)2≤1(0≤x≤2,0≤y≤2).
可设点M(x,y),
A(0,0),B(2,0).
=(-x,-y)·
(2-x,-y)
=-x(2-x)+y2=(x-1)2+y2-1,
由∈[0,2],
∈[-1,3],故选C.
7.(2018·
烟台模拟)若平面向量a,b满足·
b=7,|a|=,|b|=2,则向量a与b的夹角为________.
解析 ∵(a+b)·
b=a·
b+b2=7,
b=7-b2=3.
设向量a与b的夹角为α,
则cosα===.
又0≤α≤π,∴α=,
即向量a与b的夹角为.
8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a+b|=,则a在b方向上的投影为________.
解析 向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a+b|=,
===,
解得a·
b=-1.
a在b方向上的投影为==-.
9.如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°
,D是BC的中点,则·
的值为________.
答案 -17
解析 如图,建立平面直角坐标系,
则C(0,0),A(3,0),B(0,4),D(0,2).
则=(3,-4),=(-3,2).
=3×
(-3)-4×
2=-17.
10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,D是边BC的中点,则·
=________.
解析 利用向量的加减法法则可知,
·
=(+)·
(-+)
=(-2+2)=-.
11.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·
(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若=a,=b,求△ABC的面积.
解
(1)因为(2a-3b)·
(2a+b)=61,
所以4|a|2-4a·
b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,
所以64-4a·
b-27=61,
所以a·
b=-6,
所以cosθ===-.
又0≤θ≤π,所以θ=.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·
b+|b|2
=42+2×
(-6)+32=13,
所以|a+b|=.
(3)因为与的夹角θ=,
所以∠ABC=π-=.
又||=|a|=4,||=|b|=3,
所以S△ABC=||||·
sin∠ABC
=×
4×
3×
=3.
12.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,求·
(+)的最小值.
解 方法一 设BC的中点为D,AD的中点为E,
则有+=2,
则·
(+)=2·
=2(+)·
(-)
=2(2-2).
而2=2=,
当P与E重合时,2有最小值0,
故此时·
(+)取最小值,
最小值为-22=-2×
=-.
方法二 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,
则A(-1,0),B(1,0),C(0,),
设P(x,y),取BC的中点D,
则D.
=2(-1-x,-y)·
=2
=2.
因此,当x=-,y=时,
(+)取最小值,为2×
13.(2018·
南宁摸底)已知O是△ABC内部一点,++=0,·
=2且∠BAC=60°
,则△OBC的面积为( )
解析 ∵++=0,
∴+=-,
∴O为三角形的重心,
∴△OBC的面积为△ABC面积的,
∵·
=2,
∴||||cos∠BAC=2,
∵∠BAC=60°
,∴||||=4,
△ABC的面积为||||sin∠BAC=,
∴△OBC的面积为,故选A.
14.(2019·
衡阳模拟)在△ABC中,∠A=120°
,·
=-3,点G是△ABC的重心,则||的最小值是( )
解析 设BC的中点为D,
因为点G是△ABC的重心,
所以==×
(+)=(+),
再令||=c,||=b,
=bccos120°
=-3,所以bc=6,
所以||2=(||2+2·
+||2)
=(c2+b2-6)≥(2bc-6)=,
所以||≥,
当且仅当b=c=时取等号,故选B.
15.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=,BC=2,点E为AB的中点,若·
=-2,则向量在向量上的投影为________.
解析 如图,以BC,BA为x,y轴建立平面直角坐标系,则C(2,0),B(0,0),A(0,),E.
设AD=a,则D(a,),
则=,=(a,),
=-2a+1=-2,a=,=,
(2,0)=-1,
∴在方向上的投影是-.
16.如图,等边△ABC的边长为2,顶点B,C分别在x轴的非负半轴,y轴的非负半轴上滑动,M为AB的中点,求·
的最大值.
解 设∠OBC=θ,
则B,C,
A,
M,
+2sin×
sin
=4cos2θ+2cos2-6cosθcos+
2sin2
=2+4cos2θ-6cosθcos
=2+4cos2θ-6cosθ
=2+cos2θ+3sinθcosθ
=+cos2θ+sin2θ
=+sin.
的最大值为+.
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