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完整版高中物理相遇和追及问题完整版
相遇追及问题
、考点、热点回顾
一、追及问题
1.速度小者追速度大者
类型
图象
说明
匀加速追匀速
①t=t0以前,后面物体与前面物体间距离增大
②t=t0时,两物体相距最远为x0+Δx
③t=t0以后,后面物体与前面物体间距离减小
④能追及且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
2.速度大者追速度小者
度大者追速度小者
匀减速追匀速
开始追及时,后面物体与前面物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻:
1若Δx=x0,则恰能追及,两物体只能相遇一次,这
匀速追匀加速
也是避免相撞的临界条件
2若Δx 3若Δx>x0,则相遇两次,设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇 匀减速追匀加速 1表中的Δx是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移; 2x0是开始追及以前两物体之间的距离; 3t2-t0=t0-t1; 4v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度. 二、相遇问题 这一类: 同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题. 第二类: 相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,还要注意该物体是否停止运动了. 求解追及问题的分析思路 (1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质,列出两个物体的位移方程,并注意两物体运动时间之间的关系. (2)通过对运动过程的分析,画出简单的图示,找出两物体的运动位移间的关系式.追及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同. (3)寻找问题中隐含的临界条件.例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,在两物体速度相等时有最小距离,等等.利用这些临界条件常能简化解题 过程. (4)求解此类问题的方法,除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外,还有利用二次 函数求极值,及应用图象法和相对运动知识求解. 相遇问题 相遇问题的分析思路: 相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同. (1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系. (2)利用两物体相遇时必处在同一位置,寻找两物体位移间的关系. (3)寻找问题中隐含的临界条件. (4) 与追及中的解题方法相同. 且最大值为 按(解法一)中的思 【例1】物体A、B同时从同一地点,沿同一方向运动,A以10m/s的速度匀速前进,B以2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动,求A、B再次相遇前两物体间的最大距离. 【解析一】物理分析法 A做υA=10m/s的匀速直线运动,B做初速度为零、加速度a=2m/s2的匀加速直线运 动.根据题意,开始一小段时间内,A的速度大于B的速度,它们间的距离逐渐变大,当B 的速度加速到大于A的速度后,它们间的距离又逐渐变小;A、B间距离有最大值的临界条 件是υA=υB.① 设两物体经历时间t相距最远,则υA=at②把已知数据代入①②两式联立得t=5s 在时间t内,A、B两物体前进的距离分别为 sA=υAt=10×5m=50m 1212 sB=at2=×2×52m=25m 22 A、B再次相遇前两物体间的最大距离为 Δsm=sA-sB=50m-25m=25m 解析二】相对运动法 因为本题求解的是A、B间的最大距离,所以可利用相对运动求解.选B为参考系,则A 2相对B的初速度、末速度、加速度分别是υ0=10m/s、υt=υA-υB=0、a=-2m/s. 22根据υt2-υ0=2as.有0-102=2×(-2)×sAB解得A、B间的最大距离为sAB=25m. 解析三】极值法 11 物体A、B的位移随时间变化规律分别是sA=10t,sB=2at2=2×2×t2=t5. B间的距离Δs=10t-t2,可见, Δsm= 4×(-1)×0-102 4×(-1)m=25m 【解析四】图象法 根据题意作出A、B两物体的υ-t图象,如图1-5-1所示.由图可知,B再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是υA=υB,得t1=5s A、B间距离的最大值数值上等于ΔOυAP的面积,1 Δsm=2×5×10m=25m. 【答案】25m 【点拨】相遇问题的常用方法 (1)物理分析法: 抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键, 路分析. (2)相对运动法: 巧妙地选取参考系,然后找两物体的运动关系. (3)极值法: 设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于t的一元二次方程,用判别式进行讨论,若△>0,即有两个解,说明可以相遇两次;若△=0,说明刚好追上或相碰; 若△<0,说明追不上或不能相碰. (4)图象法: 将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出,然后利用图象求解. 拓展 如图1-5-2所示是甲、乙两物体从同一地点,沿同一方向做直线运动的 υ-t图象,由图象可以看出(〕 A.这两个物体两次相遇的时刻分别是1s末和4s末 B.这两个物体两次相遇的时刻分别是2s末和6s末 C.两物体相距最远的时刻是2s末 D.4s末以后甲在乙的前面 【解析】从图象可知两图线相交点1s末和4s末是两物速度相等时刻,从 到2s末追上,从2s开始是甲去追乙,在 4s末两物相距最远,到6s末追上乙.故选B. 答案】B 的加速度大小减小为原来的一半。 求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。 【思路点拨】解答本题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程,再根据两车加速度的关系,求出两车路程之比。 【精讲精析】设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻t0)的速度为v,第一段时间间隔内行驶 的路程为s1,加速度为a,在第二段时间间隔内行驶的路程为s2,由运动学公式有, v=at0① 12 s1=2at0② 12 s2=vt0+22at02③ 设汽车乙在时刻t0的速度为v′,在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s1′、s2′, 同理有, v′=2at0④ 12 s1′=22at02⑤ 12 s2′=v′t0+2at02⑥ s′=s1′+s2′⑧联立以上各式解得,甲、乙两车各自行驶路程之比为 s5 = s′=7 答案: 57 B.乙车中的乘客说,甲车先以速度 路上自西向东运动,开始时刻两车平齐,相对于地面的v-t图象如图所示,关于它们的运 v0向西做匀减速运动,后向东做匀加速运动 v0向西做匀减速运动,后做匀加速运动 C.根据v-t图象可知,开始乙车在前,甲车在后,两车距离先减小后增大,当乙车速度增大到v0时,两车恰好平齐 D.根据v-t图象可知,开始甲车在前,乙车在后,两车距离先增大后减小,当乙车速度增大到v0时,两车恰好平齐 【答案】A 【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系,相当于甲车静止不动,乙车以初速度v0向西 做减速运动,速度减为零之后,再向东做加速运动,所以A正确;乙车中的乘客以乙车为参考系,相当于乙车静止不动,甲车以初速度v0向东做减速运动,速度减为零之后,再向西 做加速运动,所以B错误;以地面为参考系,当两车速度相等时,距离最远,所以C、D错 误. 考点2相遇问题 相遇问题的分析思路: 相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同. (1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系. (2)利用两物体相遇时必处在同一位置,寻找两物体位移间的关系. (3)寻找问题中隐含的临界条件. (4)与追及中的解题方法相同. 【例2】甲、乙两物体相距s,同时同向沿同一直线运动,甲在前面做初速度为零、加速度 为a1的匀加速直线运动,乙在后做初速度为υ0,加速度为a2的匀加速直线运动,则() A.若a1=a2,则两物体可能相遇一次 B.若a1>a2,则两物体可能相遇二次 C.若a1 D.若a1>a2,则两物体也可相遇一次或不相遇 1212 解析】设乙追上甲的时间为t,追上时它们的位移有υ0t+21a2t2-21a2t2=s 2 上式化简得: (a1-a2)t-2υ0t+2s=0 解得: t= 2υ0±4υ0-8s(a1-a2) 2(a1-a2) (1)当a1>a2时,差别式“△”的值由υ0、a1、a2、s共同决定,且△<2υ0,而△的值可能小于零、等于零、大于零,则两物体可能不相遇,相遇一次,相遇两次,所以选项B、 D正确. 显然,△一定大于零.且△>2υ0,所以t有两解.但t不能为负值,只有一解有物理意 义,只能相遇一次,故C选项错误. (3)当a1=a2时,解一元一次方程得t=s/υ0,一定相遇一次,故A选项正确. 答案】A、B、D v—t图像分析 点拨】注意灵活运用数学方法,如二元一次方程△判别式.本题还可以用求解。 拓展 A、B两棒均长1m,A棒悬挂于天花板上,B棒与A棒在一条竖直线上,直立在地面,A棒的下端与B棒的上端之间相距20m,如图1-5-3所示,某时刻烧断悬挂A棒的绳子,同时将B棒以v0=20m/s的初速度竖直上抛,若空气阻力可忽略不计,且g=10m/s2,试求: (1)A、B两棒出发后何时相遇? (2)A、B两棒相遇后,交错而过需用多少时间? 【解析】本题用选择适当参考系,能起到点石成金的效用。 由于A、B两棒均只受重力作用,则它们之间由于重力引起的速度改变相同,它们之间只有 初速度导致的相对运动,故选A棒为参考系,则B棒相对A棒作速度为v0的匀速运动。 则A、B两棒从启动至相遇需时间 例3】(易错题)经检测汽车A的制动性能: 以标准速度20m/s在平直公路上 行驶时,制动后40s停下来。 现A在平直公路上以20m/s的速度行驶发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶,司机立即制动,能否发生撞车事故? 【错解】设汽车A制动后40s的位移为x1,货车B在这段时间内的位移为x2。 据avv0得车的加速度a=-0.5m/s t又x1v0t1at得 2 12 x12040(0.5)402400m 2 x2v2t640240mx2=v2t=6×40=240(m)两车位移差为400-240=160(m)因为两车刚开始相距180m>160m所以两车不相撞。 【错因】这是典型的追击问题。 关键是要弄清不相撞的条件。 汽车A与货车B同速时,两车 位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。 当两车同速时,两车位移差大于初始时刻的距离时,两车相撞;小于、等于时,则不相撞。 而错解中的判据条件错误导致错解。 【正解】如图1-5汽车A以v0=20m/s的初速做匀减速直线运动经40s停下来。 据加速度公式可求出a=-0.5m/s2当A车减为与B车同速时是A车逼近B车距离最多的时刻,这时若能超过B车则相撞,反之则不能相撞。 实战演练1】(2011·长沙模拟)在平直公路上,自行车与同方向行驶的一辆汽车在同时经过某一个路标,它们的位移随时间变化的规律为: 汽车x=10t-t2,自行车x=5t,(x 的单位为m,t的单位为s),则下列说法正确的是() A.汽车做匀加速直线运动,自行车做匀速直线运动 B.经过路标后的较短时间内自行车在前,汽车在后 C.在t=2.5s时,自行车和汽车相距最远 D.当两者再次同时经过同一位置时,它们距路标12.5m 答案】选C. v0=10m/s,a=-2 详解】由汽车和自行车位移随时间变化的规律知,汽车做匀减速运动, m/s2,自行车做匀速直线运动,v=5m/s,故A、B错误.当汽车速度和自行车速度相等时, 相距最远.根据v=v0+at,t=2.5s,C正确.当两车位移相等时再次经过同一位置,故10t′-t′2=5t′,解得t′=5s,x=25m,故D错误. 【实战演练2】(2011·东北三校联考)从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、 Ⅱ的速度—时间图象如图所示.在0~t2时间内,下列说法中正确的是() A.Ⅰ物体所受的合外力不断增大,Ⅱ物体所受的合外力不断减小 B.在第一次相遇之前,t1时刻两物体相距最远 C.t2时刻两物体相遇 D.Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是 v1+v2 【答案】B 【详解】速度—时间图象中Ⅰ物体的斜率逐渐减小,即Ⅰ物体的加速度逐渐减小,所以Ⅰ物体所受合外力不断减小,A错误;在0~t1时间内,Ⅱ物体的速度始终大于Ⅰ物体的速度,所以两物体间距离不断增大,当两物体速度相等时,两物体相距最远,B正确;在速度—时间图象中图线与坐标轴所围面积表示位移,故到t2时刻,Ⅰ物体速度图线所围面积大于 Ⅱ物体速度图线所围面积,两物体平均速度不可能相同,C、D错误. ◇限时基础训练(20分钟) 1.如图1-2-6所示,某同学沿一直线行走,现用频闪照相记录了他行走中9个位置的图片,观察图片,能大致反映该同学运动情况的速度-时间图象是图1-2-7中的() 1.答案: C.解析: 从图片可知,该同学在连续相等时间间隔内位移先逐渐增多,说明先向右做加速运动;后向左连续相等时间内位移相等,说明后向左做匀速运动.选项C正确. 2.两辆游戏赛车在a、b在两条平行的直车道上行驶.t=0时两车都在同一计时线处,此时比赛开始.它们在四次比赛中vt图像的如图1-2-8图像所示.哪些图对应的比赛中,有一辆赛车追上了另一辆(AC) 3.一质点从A点沿直线向B点运动,开始时以加速度a1加速运动到AB之间的某一点 C,然后接着又以加速度a2继续作匀加速运动到达B点.该质点若从B点以加速度a2运动到C点,接着又以加速度a1继续加速运动到达A点,则两次运动的过程中() A.由于相同的路段加速度相同,所以它们所用的时间相同 B.由于相同的路段加速度相同,所以它们的平均速度大小相同 C.虽然相同的路段加速度相同,但先后的加速的加速度顺序不同,所用的时间肯定不同 D.由于相同的路段加速度相同,它们的位移大小相同,所以它们的末速度大小相同 3.答案: CD.解析: 两次运动的在每段相同的路径上加速度相同,说明两次的末速度 相同,位移的大小相同,利用这两个特点作出两次运动中的路程与时间图像如答图1-2-1, 就可以判断出正确的选项. 设质点第一次到达 有 C点的速度为vC1,第一次的末速度为 vC12a1sAC 2vB 2vB 2 vC12a2sCB 2a1sAC2a2sCB ① 同理, 在第二次运动中有 2 vC2 2a2sBC 2vA vC22a1sCA 2vA 2a1sAC2a2sCB ② 比较①②两末速度的大小, 它们是相等的. 由于两段路段上的加速度不同, 所以假设a1>a2,分别作出质点在这两次运动中的速率 -时间图像,如图所示,由图像与时间轴所围的面积相等,显然,第一次所用的时间少一些. C、D正确 故 4.甲、乙两汽车在一条平直的单行道上乙前甲后同向匀速行驶.甲、乙两车的速度分 别为v0140m/s和v0220m/s,当两车距离接近到s250m时两车同时刹车,已知两 车刹车时的加速度大小分别为a11.0m/s2和a21/3m/s2,问甲车是否会撞上乙车 4.答案: (略).解析: 作两车的运动草图和v-t图像如答图1-2-2、1-2-3所示.从图中可看出: 在0~t秒即两车速度相等之前,后面的甲车速度大,追得快;前面的乙车速度小, 逃”得慢.两车之间的距离越来越小,而在t秒后,后面的车速度小于前面车的速度.可 见,速度相等时,两者距离最近.此时若不会相撞,那么以后一定不会相撞,由此可知速度 两车速度相等时有v01a1tv02a2t,得t30s 故在30s内,甲、乙两车运动的位移分别为 1212 s甲v01ta1t750m,s乙v02ta2t450m22 因为s乙s700ms甲,故甲车会撞上乙车. 则前4s内( 5.一物体做直线运动,速度图象如图2所示,设向右为正方向, A.物体始终向右运动 B.物体先向左运动,后2s开始向右运动 C.前2s物体位于出发点左方,后2s位于出发点的右方 D.在t2s时,物体距出发点最远 5.答案: BC.解析这是粤教版上的一道习题,解此题时学生选择A或C较多.学生 依据图线随时间斜向上倾斜,认为物体向正方向运动,错误地选择选项A;学生依据2s前 速度是负,2s后速度为正,且前2s是加速运动,后2s也是加速运动,即速度是由5m/s 一直加速到5m/s,因为速度越来越大,所以认为前2s物体位于出发点左方,后2s位于出发点的右方而错选选项C.正确解答此题的对策是抓住: 物体的运动方向是由速度的正负决定的,物体的位置是由位移决定的,纵轴正、负号只表示速度的方向,前2s物体是向左做减 速运动,后2s是向右做加速运动,物体在某段时间内的位移等于这段时间内所对应的vt图线所围的图形的面积的代数和,因此2s末物体位于出发点最左端5m处,从2s末开始向 右加速运动,在4s之前,物体一直位于出发点左侧,在4s末回到出发点,所以正确的选项是BC. 6.某物体运动的vt图象如图1所示,则物体运动情况是 A.往复来回运动 B.匀变速直线运动 C.朝同一方向做直线运动 D.无法判断 E. 率相等,a的平均速率最大) 7.某同学从学校匀速向东去邮局,邮寄信后返回学校.在下图学运动情况的st图应是(C) D.表示两车出发前相隔的距离 9.A(速度相等时,两车间的距离最远,阴影部分表示A比B多走的位移) 如图,足够长的水平传送带始终以大小为v=3m/s的速度向左运动,传送带上有一质量为M=2kg的小木盒A,A与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.3,开始时,A与传送带之间保持相对静止。 先后相隔△t=3s有两个光滑的质量为m=1kg的小球B自传送带的左端出发,以v0=15m/s的速度在传送带上向右运动。 第1个球与木盒相遇后,球立即进入盒中与盒保持相对静止,第2个球出发后历时△t1=1s/3而与木盒相遇。 求(取g=10m/s2) (1)第1个球与木盒相遇后瞬间,两者共同运动的速度时多大? (2)第1个球出发后经过多长时间与木盒相遇? (3)自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的过程中,由于木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是多少? (1)设第1个球与木盒相遇后瞬间,两者共同运动的速度为v1,根据动量守恒定律: mv0Mv(mM)v1(1分) 代入数据,解得: v1=3m/s(1分) (2)设第1个球与木盒的相遇点离传送带左端的距离为s,第1个球经过t0与木盒相 s 遇,则: t0(1分) v0 设第1个球进入木盒后两者共同运动的加速度为a,根据牛顿第二定律: 2 (mM)g(mM)a得: ag3m/s2(1分) 设木盒减速运动的时间为t1,加速到与传送带相同的速度的时间为t2,则: v t1t2=1s(1分) a 故木盒在2s内的位移为零(1分) 依题意: sv0t1v(tt1t1t2t0)(2分) 代入数据,解得: s=7.5mt0=0.5s(1分) 1分) (3)自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的这一过程中,传送带的位移为S,木盒的位移为s1,则: Sv(tt1t0)8.5m(1分) s1v(tt1t1t2t0)2.5m 故木盒相对与传送带的位移: sSs16m则木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是: Q s54J 2分) 三、课后练习 1.如图1-4-19所示(t轴单位为s),有一质点,当t=0时从原点由静止开始出发,沿直线运动,则: A.t=0.5s时离原点最远 B.t=1s时离原点最远 C.t=1s时回到原点 D.t=2s时回到原点 1.BD解析: v-t图线与时间轴(t轴)围成的几何图形的面积等于位移的大小,t轴上方图形面积为正值,下方图象面积为负值,分别表示位移的方向.一段时间内的位移值等于这段时间内几何图形面积的和. 2.某物体沿直线运动的v-t图象如图1-4-20所示,由图可看出物体 A.沿直线向一个方向运动 B.沿直线做往复运动 C.加速度大小不变 D.做匀变速直线运动 2.BC解析: 一段时间内的位移值等于这段时间内几何图形面积的和. 图线斜率的绝对值为 加速度大小. 3.汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动,当它路过某处的同时,该处有一辆汽车乙开始做初速为0的匀加速直线运动去追赶甲车,根据上述的已知条件: A.可求出乙车追上甲车时乙车的速度 B.可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程 C.可求出乙车从开始起到追上甲车时所用的时间 D.不能求出上述三者中的任何一个 3.A;解析: 设乙车的加速度为a,两车经历时间t能相遇,由两车的位移关系可知: v0t1at2;解得: 2 t2v0,故乙车能追上甲车,乙车追上甲车时乙车速度为: a v2at2v0,故A正确;由于乙车的加速度未知,
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