1、完整版高中物理相遇和追及问题完整版相遇追及问题、考点、热点回顾一、追及问题1. 速度小者追速度大者类型图象说明匀加速追匀速t=t 0 以前，后面物体与 前面物体间距离增大t=t 0 时，两物体相距最 远为 x0+xt=t 0 以后，后面物体与 前面物体间距离减小能追及且只能相遇一 次匀速追匀减速匀加速追匀减速2. 速度大者追速度小者度大者追速度小者匀减速追匀速开始追及时， 后面物体与 前面物体间的距离在减小， 当 两物体速度相等时，即 t=t0 时刻：1若 x=x0, 则恰能追 及，两物体只能相遇一次， 这匀速追匀加速也是避免相撞的临界条件2若 xx0, 则相遇两次，设 t1 时刻 x1=x0
2、, 两物体第一 次相遇 ，则 t2 时刻两物体第 二次相遇匀减速追匀加速1表中的 x 是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；2x0是开始追及以前两物体之间的距离；3t2-t 0=t 0-t 1;4v1 是前面物 体的速度， v2是后面物体的速度 .二、相遇问题这一类 : 同向运动的两物体的相遇问题 , 即追及问题 .第二类 : 相向运动的物体 , 当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇 . 解此类问题首先应注意先画示意图 , 标明数值及物理量 ; 然后注意当被追赶的物体做匀 减速运动时 , 还要注意该物体是否停止运动了 .求解追及问题的分析思路(1)根据追赶和
3、被追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物 体运动时间之间的关系(2)通过对运动过程的分析，画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式追 及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同(3)寻找问题中隐含的临界条件例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等 时有最大距离； 速度大者减速追赶速度小者， 在两物体速度相等时有最小距离，等等 利用 这些临界条件常能简化解题过程(4)求解此类问题的方法， 除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外， 还有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解相遇问题相遇问题的分析思路：相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种
4、情形， 其主要条件是两物体在相遇处的位置 坐标相同(1)列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系(2)利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系(3)寻找问题中隐含的临界条件(4)与追及中的解题方法相同且最大值为按(解法一)中的思【例 1】物体 A、B同时从同一地点， 沿同一方向运动， A以 10m/s 的速度匀速前进， B以2m/s2 的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求 A、 B 再次相遇前两物体间的最大距离【 解析一 】 物理分析法A 做 A10 m/s 的匀速直线运动， B做初速度为零、加速度 a2 m/s 2的匀加速直线运动根据题意，开始一小段时间内，
5、A 的速度大于 B的速度，它们间的距离逐渐变大，当 B的速度加速到大于 A 的速度后，它们间的距离又逐渐变小； A、B 间距离有最大值的临界条件是 A B 设两物体经历时间 t 相距最远，则 A at 把已知数据代入两式联立得 t5 s在时间 t 内， A、B两物体前进的距离分别为sA At 105 m 50 m1 2 1 2sB at 2 252 m 25 m22A、 B再次相遇前两物体间的最大距离为 sm sA sB 50 m25 m 25 m解析二 】 相对运动法因为本题求解的是 A、B 间的最大距离，所以可利用相对运动求解选 B为参考系，则 A2 相对 B的初速度、末速度、加速度分别是
6、 010 m/s 、tAB0、a 2 m/s 22 根据 t202as有 0 1022 (-2) sAB 解得、 B间的最大距离为 sAB25 m解析三 】 极值法11物体 A、 B的位移随时间变化规律分别是 sA10t，sB2at222t 2 t5.B 间 的 距 离 s10tt2， 可 见 ， sm4（ 1）0 1024（1） m25 m【解析四 】 图象法根据题意作出 A、B 两物体的 -t 图象，如图 1-5-1 所示由图可知， B再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是 AB，得 t 15 sA、 B 间 距 离 的 最 大 值 数 值 上 等 于 OAP 的 面 积 ， 1sm
7、2510 m 25 m【答案 】25 m【点拨 】相遇问题的常用方法(1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，路分析(2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系(3)极值法：设相遇时间为 t ，根据条件列方程，得到关于 t 的一元二次方程，用判别 式进行讨论，若 0，即有两个解，说明可以相遇两次；若 0，说明刚好追上或相碰；若 a2，则两物体可能相遇二次C若 a1 a2，则两物体也可相遇一次或不相遇1 2 1 2解析 】 设乙追上甲的时间为 t ，追上时它们的位移有 0t 21a2t 2 21a2t 2 s2上式化简得： （ a1 a2）t 20t 2s 0
8、解得： t 20 40 8s（a1 a2）2（a1 a2）（1） 当 a1 a2时，差别式“”的值由 0、a1、a2、s 共同决定，且 20，所以 t 有两解但 t 不能为负值，只有一解有物理意义，只能相遇一次，故 C 选项错误（3） 当 a1 a2时，解一元一次方程得 t s/ 0 ，一定相遇一次，故 A选项正确答案 】A、 B、 Dv t 图像分析点拨 】注意灵活运用数学方法，如二元一次方程判别式本题还可以用 求解。拓展A、B两棒均长 1， A棒悬挂于天花板上， B棒与 A棒在一条竖直线上，直立在地面， A棒 的下端与 B棒的上端之间相距 20，如图 1-5-3 所示，某时刻烧断悬挂 A
9、棒 的绳子，同时将 B 棒以 v0=20 / 的初速度竖直上抛，若空气阻力可忽略不计 ，且 g=10m/s2，试求：（1）A、B两棒出发后何时相遇？ （2）A、B两棒相遇后，交错而过需用多少时间？【解析】 本题用选择适当参考系，能起到点石成金的效用。 由于 A、 B两棒均只受重力作用，则它们之间由于重力引起的速度改变相同，它们之间只有初速度导致的相对运动，故选 A棒为参考系，则 B 棒相对 A 棒作速度为 v0的匀速运动。则 A、B 两棒从启动至相遇需时间例 3】（易错题） 经检测汽车 A 的制动性能：以标准速度 20m/s 在平直公路上行驶时，制动后 40s停下来。现 A在平直公路上以 20
10、m/s 的速度行驶发现前方 180m处有一 货车 B以 6m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？【错解】 设汽车 A 制动后 40s 的位移为 x1，货车 B 在这段时间内的位移为 x2。 据 a v v0 得车的加速度 a=-0.5m/st 又 x1 v0t 1 at 得212x1 20 40 （ 0.5）402 400m2x2 v2t 6 40 240m x2=v2t=640=240（ m） 两车位移差为 400-240=160 （m） 因为两车刚开始相距 180m 160m 所以两车不相撞。【错因】 这是典型的追击问题。关键是要弄清不相撞的条件。汽车 A与货车 B同速
11、时， 两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。 当两车同速时， 两车位移差大 于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞。而错解中的判据条件错误导致 错解。【正解】 如图 15汽车 A以 v0=20m/s的初速做匀减速直线运动经 40s 停下来。据加速度公 式可求出 a=-0.5m/s 2当 A车减为与 B车同速时是 A车逼近 B车距离最多的时刻，这时若能 超过 B 车则相撞，反之则不能相撞。实战演练 1】（2011 长沙模拟 ） 在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在 同时经过某一个路标，它们的位移随时间变化的规律为：汽车 x=10t-t 2，自行车 x=5
12、t ， （x的单位为 m， t 的单位为 s） ，则下列说法 正确的是 （ ）A.汽车做匀加速直线运动，自行车做匀速直线运动B.经过路标后的较短时间内自行车在前，汽车在后C.在 t=2.5 s 时，自行车和汽车相距最远D.当两者再次同时经过同一位置时，它们距路标 12.5 m答案】选 C.v0=10 m/s ， a=-2详解】由汽车和自行车位移随时间变化的规律知，汽车做匀减速运动，m/s2，自行车做匀速直线运动， v=5 m/s ，故 A、B错误.当汽车速度和自行车速度相等时，相距最远 .根据 v=v0+at，t=2.5 s ，C正确.当两车位移相等时再次经过同一位置 ,故 10t -t 2=
13、5t , 解得 t =5 s, x=25 m，故 D 错误 .【实战演练 2】(2011东北三校联考 ) 从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体、的速度时间图象如图所示在 0 t 2 时间内，下列说法中正确的是 ( )A物体所受的合外力不断增大，物体所受的合外力不断减小B在第一次相遇之前， t 1时刻两物体相距最远C t 2时刻两物体相遇D、两个物体的平均速度大小都是v1v2【答案】 B【详解】速度 时间图象中物体的斜率逐渐减小，即物体的加速度逐渐减小，所以 物体所受合外力不断减小， A 错误；在 0t 1时间内，物体的速度始终大于物体的速 度，所以两物体间距离不断增大，当两物体速度相等时
14、，两物体相距最远， B 正确；在速度 时间图象中图线与坐标轴所围面积表示位移，故到 t 2 时刻，物体速度图线所围面积大于物体速度图线所围面积，两物体平均速度不可能相同， C、D 错误限时基础训练（ 20 分钟）1 如图 1-2-6 所示，某同学沿一直线行走，现用频闪照相记录了他行走中 9个位置的图 片，观察图片，能大致反映该同学运动情况的速度时间图象是图 1-2-7 中的（ ）1答案： C解析： 从图片可知，该同学在连续相等时间间隔内位移先逐渐增多，说明 先向右做加速运动； 后向左连续相等时间内位移相等， 说明后向左做匀速运动 .选项 C正确 .2两辆游戏赛车在 a、 b在两条平行的直车道上
15、行驶 t =0时两车都在同一计时线处， 此时比赛开始它们在四次比赛中 v t 图像的如图 1-2-8 图像所示哪些图对应的比赛中， 有一辆赛车追上了另一辆（ AC ）3一质点从 A 点沿直线向 B 点运动， 开始时以加速度 a1 加速运动到 AB 之间的某一点C，然后接着又以加速度 a2 继续作匀加速运动到达 B 点该质点若从 B 点以加速度 a2 运动 到 C 点，接着又以加速度 a1 继续加速运动到达 A 点，则两次运动的过程中 （ ）A由于相同的路段加速度相同，所以它们所用的时间相同B由于相同的路段加速度相同，所以它们的平均速度大小相同C虽然相同的路段加速度相同，但先后的加速的加速度顺序
16、不同，所用的时间肯定不 同D由于相同的路段加速度相同，它们的位移大小相同，所以它们的末速度大小相同3答案： CD解析： 两次运动的在每段相同的路径上加速度相同，说明两次的末速度相同，位移的大小相同，利用这两个特点作出两次运动中的路程与时间图像如答图 1-2-1，就可以判断出正确的选项设质点第一次到达有C点的速度为 vC1 ，第一次的末速度为vC1 2a1sAC2 vB2 vB2vC1 2a2sCB2a1sAC 2a2sCB同理，在第二次运动中有2vC22a2 sBC2 vAvC2 2 a1 sCA2 vA2a1 sAC 2a2sCB比较两末速度的大小，它们是相等的由于两段路段上的加速度不同，所
17、以假设 a1a2 ，分别作出质点在这两次运动中的速率时间图像， 如图所示，由图像与时间轴所围的面积相等， 显然，第一次所用的时间少一些C、D 正确故4甲、乙两汽车在一条平直的单行道上乙前甲后同向匀速行驶甲、乙两车的速度分别为v01 40m/s和v02 20m/s ，当两车距离接近到 s 250 m时两车同时刹车，已知两车刹车时的加速度大小分别为 a1 1.0m/s 2 和 a2 1/ 3m/s 2 ，问甲车是否会撞上乙车4答案：（略）解析： 作两车的运动草图和 v-t 图像如答图 1-2-2、1-2-3 所示从图中 可看出：在 0 t 秒即两车速度相等之前，后面的甲车速度大，追得快；前面的乙车
18、速度小，逃”得慢两车之间的距离越来越小，而在 t 秒后，后面的车速度小于前面车的速度可见，速度相等时，两者距离最近此时若不会相撞，那么以后一定不会相撞，由此可知速度两车速度相等时有 v01 a1t v02 a2t ，得 t 30s故在 30 s 内，甲、乙两车运动的位移分别为1 2 1 2s甲 v01t a1t 750m， s乙 v02t a2t 450m 22因为 s乙 s 700m s甲 ，故甲车会撞上乙车则前 4s 内（5 一物体做直线运动，速度图象如图 2所示，设向右为正方向，A物体始终向右运动B物体先向左运动，后 2s 开始向右运动C前 2s 物体位于出发点左方，后 2s位于出发点的
19、右方D在 t 2s 时，物体距出发点最远5答案： BC解析 这是粤教版上的一道习题，解此题时学生选择 A或 C较多学生依据图线随时间斜向上倾斜，认为物体向正方向运动，错误地选择选项 A；学生依据 2s 前速度是负， 2s 后速度为正，且前 2s是加速运动，后 2s 也是加速运动，即速度是由 5m/s一直加速到 5m/s ，因为速度越来越大，所以认为前 2s 物体位于出发点左方，后 2s位于出 发点的右方而错选选项 C正确解答此题的对策是抓住 :物体的运动方向是由速度的正负决定 的，物体的位置是由位移决定的，纵轴正、负号只表示速度的方向，前 2s 物体是向左做减速运动， 后 2s是向右做加速运动
20、， 物体在某段时间内的位移等于这段时间内所对应的 v t 图线所围的图形的面积的代数和，因此 2s末物体位于出发点最左端 5m 处，从 2s末开始向右加速运动，在 4s 之前，物体一直位于出发点左侧，在 4s末回到出发点，所以正确的选项 是 BC6. 某物体运动的 v t 图象如图 1 所示, 则物体运动情况是A. 往复来回运动B.匀变速直线运动C.朝同一方向做直线运动D.无法判断E.率相等， a 的平均速率最大 )7某同学从学校匀速向东去邮局，邮寄信后返回学校在下图 学运动情况的 s t 图应是 ( C )D表示两车出发前相隔的距离9A （ 速度相等时 , 两车间的距离最远 , 阴影部分表示
21、 A 比 B多走的位移 ）如图， 足够长的水平传送带始终以大小为 v 3m/s 的速度向左运动， 传送带上有一质量 为 M2kg 的小木盒 A，A与传送带之间的动摩擦因数为 0 3，开始时， A 与传送带之 间保持相对静止。先后相隔 t3s 有两个光滑的质量为 m1kg 的小球 B 自传送带的左端 出发，以 v0 15m/s 的速度在传送带上向右运动。第 1 个球与木盒相遇后，球立即进入盒中 与盒保持相对静止，第 2 个球出发后历时 t11s/3 而与木盒相遇。求（取 g10m/s2）（1）第 1 个球与木盒相遇后瞬间，两者共同运动的速度时多大？（2）第 1 个球出发后经过多长时间与木盒相遇？
22、（ 3）自木盒与第 1 个球相遇至与第 2 个球相遇的过程中，由于木盒与传送带间的摩擦 而产生的热量是多少？（1）设第 1 个球与木盒相遇后瞬间，两者共同运动的速度为 v1,根据动量守恒定律：mv0 Mv （m M ）v1 （1 分）代入数据，解得： v1=3m/s （ 1 分）（2）设第 1 个球与木盒的相遇点离传送带左端的距离为 s，第 1 个球经过 t0与木盒相s遇,则： t0 （ 1 分）v0设第 1 个球进入木盒后两者共同运动的加速度为 a，根据牛顿第二定律：2（m M ）g （m M ）a得： a g 3m/s2 （1分）设木盒减速运动的时间为 t1,加速到与传送带相同的速度的时间
23、为 t 2，则：vt1 t2 =1s （ 1 分）a故木盒在 2s 内的位移为零 （ 1 分）依题意： s v0 t1 v（ t t1 t1 t2 t0 ） （2 分）代入数据，解得： s=7 5m t 0=05s （1 分）1 分）（3）自木盒与第 1个球相遇至与第 2 个球相遇的这一过程中 ,传送带的位移为 S，木盒 的位移为 s1,则： S v（ t t1 t0） 8.5m （1 分）s1 v( t t1 t1 t2 t0) 2.5m故木盒相对与传送带的位移： s S s1 6m 则木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是： Qs 54J2 分）三、课后练习1如图 1-4-19 所示 （t 轴
24、单位为 s），有一质点，当 t0 时从原点由静止开始出发，沿直线运 动，则：A.t=0.5s 时离原点最远B.t1s 时离原点最远C.t=1s 时回到原点D.t2s时回到原点1BD 解析： v-t 图线与时间轴 （t 轴）围成的几何图形的面积等于位 移的大小， t 轴上方图形面积为正值，下方图象面积为负值，分别表 示位移的方向一段时间内的位移值等于这段时间内几何图形面积的 和2. 某物体沿直线运动的 v-t 图象如图 1-4-20 所示，由图可看出物体A沿直线向一个方向运动B沿直线做往复运动C加速度大小不变D做匀变速直线运动2BC 解析： 一段时间内的位移值等于这段时间内几何图形面积的和图线斜率的绝对值为加速度大小3汽车甲沿着平直的公路以速度 v0 做匀速直线运动，当它路过某处的同时，该处有一辆汽 车乙开始做初速为 0 的匀加速直线运动去追赶甲车，根据上述的已知条件：A.可求出乙车追上甲车时乙车的速度B.可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程C.可求出乙车从开始起到追上甲车时所用的时间D.不能求出上述三者中的任何一个3 A；解析：设乙车的加速度为 a，两车经历时间 t 能相遇，由两车的位移关系可知：v0 t 1at2 ；解得：2t 2v0 ，故乙车能追上甲车，乙车追上甲车时乙车速度为： av2 at 2v0 ，故 A 正确；由于乙车的加速度未知，
