初中数学中考导练讲义第16讲等腰等边及直角三角形.docx
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初中数学中考导练讲义第16讲等腰等边及直角三角形
第16讲等腰、等边及直角三角形
【章节知识清单】
知识点一:
等腰和等边三角形
关键点拨与对应举例
1.等腰三角形
(1)性质
①等边对等角:
两腰相等,底角相等,即AB=AC
∠B=∠C;
②三线合一:
顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性:
等腰三角形是轴对称图形,直线AD是对称轴.
(2)判定
①定义:
有两边相等的三角形是等腰三角形;
②等角对等边:
即若∠B=∠C,则△ABC是等腰三角形.
(1)三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中,只要满足其中两个,其余均成立.如:
如左图,已知AD⊥BC,D为BC的中点,则三角形的形状是等腰三角形.
失分点警示:
当等腰三角形的腰和底不明确时,需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°,则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
2.等边三角形
(1)性质
①边角关系:
三边相等,三角都相等且都等于60°.
即AB=BC=AC,∠BAC=∠B=∠C=60°;
②对称性:
等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
(2)判定
①定义:
三边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形;
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB=AC,且∠B=60°,则△ABC是等边三角形.
(1)等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
(2)等边三角形有一个特殊的角60°,所以当等边三角形出现高时,会结合直角三角形30°角的性质,即BD=1/2AB.
例:
△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为9.
知识点二:
角平分线和垂直平分线
3.角平分线
(1)性质:
角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若
∠1=∠2,PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.
(2)判定:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上.
例:
如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,交AB于E,CD=2,则AC=6.
4.垂直平分线图形
(1)性质:
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等.即若OP垂直且平分AB,则PA=PB.
(2)判定:
到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
知识点三:
直角三角形的判定与性质
5.直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A+∠B=90°;
(2)30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B=30°则AC=
AB;
(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半.即若CD是中线,则CD=
AB.
(4)
勾股定理:
两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a2+b2=c2.
(1)直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边,c为斜边,h是斜边上的高),可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
(2)已知两边,利用勾股定理求长度,若斜边不明确,应分类讨论.
(3)在折叠问题中,求长度,往往需要结合勾股定理来列方程解决.
6.直角三角形的判定
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C=90°,则△ABC是Rt△;
(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.即若AD=BD=CD,则△ABC是Rt△
(3)勾股定理的逆定理:
若a2+b2=c2,则△ABC是Rt△.
【章节典例解析】
【例题1】(2017•宁德)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边BC和AC上,若AD=AE,则下列结论错误的是( )
A.∠ADB=∠ACB+∠CADB.∠ADE=∠AED
C.∠CDE=
∠BADD.∠AED=2∠ECD
【考点】KH:
等腰三角形的性质.
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确,选项D错误,即可得出答案.
【解答】解:
∵∠ADB是△ACD的外角,
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD,选项A正确;
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,选项B正确;
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠AED=∠CDE+∠C,
∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD,
∴∠CDE=
∠BAD,选项C正确;
∵∠AED=∠ECD+∠CDE,∠ECD≠∠CDE,
∴选项D错误;
故选:
D.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质;熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键.
【例题2】(2017山东聊城)如图是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA、PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【考点】KW:
等腰直角三角形.
【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论.
【解答】解:
如图所示,使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3,
故选B.
【例题3】(2017浙江义乌)如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是 x=0或x=4
﹣4或4<x<4
.
【考点】KI:
等腰三角形的判定.
【分析】分三种情况讨论:
先确定特殊位置时成立的x值,
①如图1,当M与O重合时,即x=0时,点P恰好有三个;
②如图2,构建腰长为4的等腰直角△OMC,和半径为4的⊙M,发现M在点D的位置时,满足条件;
③如图3,根据等腰三角形三种情况的画法:
分别以M、N为圆心,以MN为半径画弧,与OB的交点就是满足条件的点P,再以MN为底边的等腰三角形,通过画图发现,无论x取何值,以MN为底边的等腰三角形都存在一个,所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可.
【解答】解:
分三种情况:
①如图1,当M与O重合时,即x=0时,点P恰好有三个;
②如图2,以M为圆心,以4为半径画圆,当⊙M与OB相切时,设切点为C,⊙M与OA交于D,
∴MC⊥OB,
∵∠AOB=45°,
∴△MCO是等腰直角三角形,
∴MC=OC=4,
∴OM=4
,
当M与D重合时,即x=OM﹣DM=4
﹣4时,同理可知:
点P恰好有三个;
③如图3,取OM=4,以M为圆心,以OM为半径画圆,
则⊙M与OB除了O外只有一个交点,此时x=4,即以∠PMN为顶角,MN为腰,符合条件的点P有一个,以N圆心,以MN为半径画圆,与直线OB相离,说明此时以∠PNM为顶角,以MN为腰,符合条件的点P不存在,还有一个是以NM为底边的符合条件的点P;
点M沿OA运动,到M1时,发现⊙M1与直线OB有一个交点;
∴当4<x<4
时,圆M在移动过程中,则会与OB除了O外有两个交点,满足点P恰好有三个;
综上所述,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是:
x=0或x=4
﹣4或4
.
故答案为:
x=0或x=4
﹣4或4
.
【例题4】(2017哈尔滨)已知:
△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
(1)如图1,求证:
AE=BD;
(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.
【考点】KD:
全等三角形的判定与性质;KW:
等腰直角三角形.
【分析】
(1)根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD,从而可知AE=BD;
(2)根据条件即可判断图中的全等直角三角形;
【解答】解:
(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,
∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,DC=EC,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
在△ACE与△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,
(2)∵AC=DC,
∴AC=CD=EC=CB,
△ACB≌△DCE(SAS);
由
(1)可知:
∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC
∴∠DOM=90°,
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD,
∴△EMC≌△BCN(ASA),
∴CM=CN,
∴DM=AN,
△AON≌△DOM(AAS),
∵DE=AB,AO=DO,
∴△AOB≌△DOE(HL)
【章节典例习题】
1.(2017浙江湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )
A.1B.
C.
D.2
2.(2017湖北荆州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为( )
A.30°B.45°C.50°D.75°
3.(2017山东滨州)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:
(1)PM=PN恒成立;
(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
4.(2017绥化)在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=
BC,则△ABC的顶角的度数为 30°或150°或90° .
5.(2017•乐山)在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠BAD.
(1)如图1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
(2)如图2,若将
(1)中的条件“∠B=90°”去掉,
(1)中的结论是否成立?
请说明理由.
(3)如图3,若∠DAB=90°,探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
6.(2017浙江义乌)已知△ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α= 20 °,β= 10 °,②求α,β之间的关系式.
(2)是否存在不同于以上②中的α,β之间的关系式?
若存在,求出这个关系式(求出一个即可);若不存在,说明理由.
【章节典例习题】参考答案
1.(2017浙江湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )
A.1B.
C.
D.2
【考点】K5:
三角形的重心;KW:
等腰直角三角形.
【分析】连接CP并延长,交AB于D,根据重心的性质得到CD是△ABC的中线,PD=
CD,根据直角三角形的性质求出CD,计算即可.
【解答】解:
连接CP并延长,交AB于D,
∵P是Rt△ABC的重心,
∴CD是△ABC的中线,PD=
CD,
∵∠C=90°,
∴CD=
AB=3,
∵AC=BC,CD是△ABC的中线,
∴CD⊥AB,
∴PD=1,即点P到AB所在直线的距离等于1,
故选:
A.
2.(2017湖北荆州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为( )
A.30°B.45°C.50°D.75°
【考点】KH:
等腰三角形的性质;KG:
线段垂直平分线的性质.
【分析】根据三角形的内角和定理,求出∠C,再根据线段垂直平分线的性质,推得∠A=∠ABD=30°,由外角的性质求出∠BDC的度数,从而得出∠CBD=45°.
【解答】解:
∵AB=AC,∠A=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°,
∵AB的垂直平分线交AC于D,
∴AD=BD,
∴∠A=∠ABD=30°,
∴∠BDC=60°,
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°.
故选B.
3.(2017山东滨州)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:
(1)PM=PN恒成立;
(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
【考点】KD:
全等三角形的判定与性质;KF:
角平分线的性质.
【分析】如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF,△PEM≌△PFN,即可一一判断.
【解答】解:
如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°,
∴∠EPF+∠AOB=180°,
∵∠MPN+∠AOB=180°,
∴∠EPF=∠MPN,
∴∠EPM=∠FPN,
∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,
∴PE=PF,
在△POE和△POF中,
,
∴△POE≌△POF,
∴OE=OF,
在△PEM和△PFN中,
,
∴△PEM≌△PFN,
∴EM=NF,PM=PN,故
(1)正确,
∴S△PEM=S△PNF,
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故(3)正确,
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值,故
(2)正确,
MN的长度是变化的,故(4)错误,
故选B.
4.(2017绥化)在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=
BC,则△ABC的顶角的度数为 30°或150°或90° .
【考点】KO:
含30度角的直角三角形;KH:
等腰三角形的性质.
【分析】分两种情况;①BC为腰,②BC为底,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°,然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可.
【解答】解:
①BC为腰,
∵AD⊥BC于点D,AD=
BC,
∴∠ACD=30°,
如图1,AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°,
如图2,AD在△ABC外部时,顶角∠ACB=180°﹣30°=150°,
②BC为底,如图3,
∵AD⊥BC于点D,AD=
BC,
∴AD=BD=CD,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,
∴∠BAD+∠CAD=
×180°=90°,
∴顶角∠BAC=90°,
综上所述,等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°.
故答案为:
30°或150°或90°.
5.(2017•乐山)在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,对角线AC平分∠BAD.
(1)如图1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
(2)如图2,若将
(1)中的条件“∠B=90°”去掉,
(1)中的结论是否成立?
请说明理由.
(3)如图3,若∠DAB=90°,探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.
【考点】LO:
四边形综合题.
【分析】
(1)结论:
AC=AD+AB,只要证明AD=
AC,AB=
AC即可解决问题;
(2)
(1)中的结论成立.以C为顶点,AC为一边作∠ACE=60°,∠ACE的另一边交AB延长线于点E,只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题;
(3)结论:
.过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,只要证明△ACE是等腰直角三角形,△DAC≌△BEC即可解决问题;
【解答】解:
(1)AC=AD+AB.
理由如下:
如图1中,
在四边形ABCD中,∠D+∠B=180°,∠B=90°,
∴∠D=90°,
∵∠DAB=120°,AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC=60°,
∵∠B=90°,
∴
,同理
.
∴AC=AD+AB.
(2)
(1)中的结论成立,理由如下:
以C为顶点,AC为一边作∠ACE=60°,∠ACE的另一边交AB延长线于点E,
∵∠BAC=60°,
∴△AEC为等边三角形,
∴AC=AE=CE,
∵∠D+∠B=180°,∠DAB=120°,
∴∠DCB=60°,
∴∠DCA=∠BCE,
∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠EBC=180°,
∴∠D=∠CBE,∵CA=CB,
∴△DAC≌△BEC,
∴AD=BE,
∴AC=AD+AB.
(3)结论:
.理由如下:
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,∵∠D+∠B=180°,∠DAB=90°,
∴DCB=90°,
∵∠ACE=90°,
∴∠DCA=∠BCE,
又∵AC平分∠DAB,
∴∠CAB=45°,
∴∠E=45°.
∴AC=CE.
又∵∠D+∠B=180°,∠D=∠CBE,
∴△CDA≌△CBE,
∴AD=BE,
∴AD+AB=AE.
在Rt△ACE中,∠CAB=45°,
∴
,
∴
.
【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
6.(2017浙江义乌)已知△ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α= 20 °,β= 10 °,②求α,β之间的关系式.
(2)是否存在不同于以上②中的α,β之间的关系式?
若存在,求出这个关系式(求出一个即可);若不存在,说明理由.
【考点】KY:
三角形综合题.
【分析】
(1)①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE,进而求出∠BAD,即可得出结论;
②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论;
(2)①当点E在CA的延长线上,点D在线段BC上,同
(1)的方法即可得出结论;
②当点E在CA的延长线上,点D在CB的延长线上,同
(1)的方法即可得出结论.
【解答】解:
(1)①∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴∠BAC=60°,
∵AD=AE,∠ADE=70°,
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°,
∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°,
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°,
∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°,
故答案为:
20,10;
②设∠ABC=x,∠AED=y,
∴∠ACB=x,∠AED=y,
在△DEC中,y=β+x,
在△ABD中,α+x=y+β=β+x+β,
∴α=2β;
(2)①当点E在CA的延长线上,点D在线段BC上,
如图1
设∠ABC=x,∠ADE=y,
∴∠ACB=x,∠AED=y,
在△ABD中,x+α=β﹣y,
在△DEC中,x+y+β=180°,
∴α=2β﹣180°,
②当点E在CA的延长线上,点D在CB的延长线上,
如图2,同①的方法可得α=180°﹣2β.
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