新课标必修5数学基本不等式经典例题含知识点和例题详细解析.doc
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基本不等式
知识点:
1.
(1)若,则
(2)若,则 (当且仅当时取“=”)
2.
(1)若,则
(2)若,则 (当且仅当时取“=”)
(3)若,则(当且仅当时取“=”)
3.若,则(当且仅当时取“=”)
若,则(当且仅当时取“=”)
若,则(当且仅当时取“=”)
4.若,则(当且仅当时取“=”)若,则(当且仅当时取“=”)
5.若,则(当且仅当时取“=”)
注意:
(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,
当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用
应用一:
求最值
例:
求下列函数的值域
(1)y=3x2+
(2)y=x+
解:
(1)y=3x2+≥2=∴值域为[,+∞)
(2)当x>0时,y=x+≥2=2;
当x<0时,y=x+=-(-x-)≤-2=-2
∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)
解题技巧
技巧一:
凑项
例已知,求函数的最大值。
解:
因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑项,
,
当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。
技巧二:
凑系数
例:
当时,求的最大值。
解析:
由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。
当,即x=2时取等号当x=2时,的最大值为8。
变式:
设,求函数的最大值。
解:
∵∴∴
当且仅当即时等号成立。
技巧三:
分离
技巧四:
换元
例:
求的值域。
解析一:
本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。
当,即时,(当且仅当x=1时取“=”号)。
解析二:
本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。
当,即t=时,(当t=2即x=1时取“=”号)。
技巧五:
在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数的单调性。
例:
求函数的值域。
解:
令,则
因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。
因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。
所以,所求函数的值域为。
技巧六:
整体代换
多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。
。
例:
已知,且,求的最小值。
错解:
,且,故。
错因:
解法中两次连用均值不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致,产生错误。
因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解:
,
当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,。
技巧七
例:
已知x,y为正实数,且x2+=1,求x的最大值.
分析:
因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为,x=x=x·
下面将x,分别看成两个因式:
x·≤==即x=·x≤
技巧八:
已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.
分析:
这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
法一:
a=,ab=·b=
由a>0得,0<b<15
令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2=8
∴ab≤18∴y≥当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。
法二:
由已知得:
30-ab=a+2b∵a+2b≥2 ∴30-ab≥2
令u= 则u2+2u-30≤0,-5≤u≤3
∴≤3,ab≤18,∴y≥
点评:
①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式出发求得的范围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围.
技巧九、取平方
例:
求函数的最大值。
解析:
注意到与的和为定值。
又,所以
当且仅当=,即时取等号。
故。
应用二:
利用均值不等式证明不等式
例:
已知a、b、c,且。
求证:
分析:
不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又,可由此变形入手。
解:
a、b、c,。
。
同理,。
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
。
当且仅当时取等号。
应用三:
均值不等式与恒成立问题
例:
已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围。
解:
令,
。
,
应用四:
均值定理在比较大小中的应用:
例:
若
,则的大小关系是.
分析:
∵∴
(
∴R>Q>P。
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