高中不等式的基本知识点和练习题含答案.docx
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高中不等式的基本知识点和练习题含答案
不等式的基本知识
(一)不等式与不等关系
1、应用不等式(组)表示不等关系;
不等式的主要性质:
(1)对称性:
aba
(2)传递性:
ab,bc=a-c
⑶加法法则:
ab-acbc;ab,cacbd(同向可加)
(4)乘法法则:
ab,c0=acbc;ab,c:
:
0二ac:
:
be
ab0,cd・0=acbd(同向同正可乘)
1i
⑸倒数法则:
ab,ab0(6)乘方法则:
ab0=anbn(N*且nJ)
ab
⑺开方法则:
ab0=nanb(nN*且n1)
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:
作差法(作差一一变形一一判断符号一一结论)
3、应用不等式性质证明不等式
(二)解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax2bxc-0或ax2•bx•c:
:
:
0a=0的解集:
2j2
设相应的一元二次方程ax•bx•c=0a=0的两根为X2且%_X2,厶=b-4ac,则不等式的解的各种情
况如下表:
2、简单的一元高次不等式的解法:
标根法:
其步骤是:
(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;
(2)将每一个一次
因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿偶不穿;(3)根据曲线显现f(x)的符
23
号变化规律,写出不等式的解集。
女口:
(x+1lx-1)(x-2)<0
3、分式不等式的解法:
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个
因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。
解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。
3_0二f(x)g(x)-0
g(x).g(x)=0
4、不等式的恒成立问题:
常应用函数方程思想和分离变量法”转化为最值问题
若不等式f(xAA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)min>A
若不等式f(x)cB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)max
(三)线性规划
1、用二兀一次不等式(组)表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表
示区域不包括边界直线)
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(X0,y°),从Ax0+By°+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面
区域•(特殊地,当C丸时,常把原点作为此特殊点)
3、线性规划的有关概念:
1线性约束条件:
在上述问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.
2线性目标函数:
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数.
3线性规划问题
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题
4可行解、可行域和最优解:
满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.
由所有可行解组成的集合叫做可行域
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤
(1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域
(3)依据线性目标函数作参照直线
ax+by=0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解
(四)基本不等式ab<-_b
2
1.若a,b€R则a2+b2>2ab,当且仅当a=b_时取等号
2.如果a,b是正数,那么¥「ab(当且仅当a=b时取号).
fa+b、2
变形:
有:
a+b;ab<电丄i,当且仅当a=b时取等号
<2)—
S2
4
3.如果a,b€R+,ab=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2.P;
如果a,b€R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值
注:
(1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值
正所谓积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的重要条件一正,二定,三取等”
a、b、c
m
m
4•常用不等式有:
(1)『严2_^_b_.jb2(根据目标不等式左右的运算结构选用);
(2)
V221+1
ab
222bb
R,abc_abbcca(当且仅当a=b=c时,取等号);(3)若ab0,m0,则一:
:
:
一
aa
(糖水的浓度问题)。
不等式主要题型讲解
(一)不等式与不等关系
题型二:
比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式)
12
1.设a2,p=a•,q=2』4a°,试比较p,q的大小
a—2
(二)解不等式
5-x
x2-2x-3
题型三:
解不等式
解不等式(x-1)(x2)2一0
2
2.不等式ax+bx+12r>0的解集为{x|-1vxv2},则a=,b=
3.关于x的不等式ax-b0的解集为(1/:
=),贝U关于x的不等式竺亠0的解集为
x-2
题型四:
恒成立问题
4.关于x的不等式ax2+ax+1>0恒成立,则a的取值范围是
5.若不等式x^2mx2m10对Ozx^l的所有实数x都成立,求m的取值范围.
6.已知x0,y0且--=1,求使不等式x•y_m恒成立的实数m的取值范围。
xy
a''b
(三)基本不等式ab-
2
题型五:
求最值
7.求下列函数的值域
8.
1
(-)y=3x2+妄
(2)当时,求y二x(8-2X)的最大值。
(耐克函数型)求y
x27x10
x1
(x•-1)的值域。
-的单调性。
x
注意:
在应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f(x)=x
(1)若实数满足a•b=2,则3a3b的最小值是.
19
(2)已知x0,y0,且1,求xy的最小值。
xy
1
(4)已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=—的最小值.
ab
题型六:
利用基本不等式证明不等式
222
10.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:
abcabbcca
11.已知a、b、cR',且a,b,c=1。
求证:
1-1丄一11-1
abc
_8
(四)线性规划
题型八:
目标函数求最值
2xy-3<0
12.满足不等式组<7x+y—8兰0,求目标函数k=3x+y的最大值
、、x,ya0
x_0
3x4y_4
22
13.已知x,y满足约束条件:
•八°则xy2x的最小值是
x2y-3乞0
14.已知变量x,y满足约束条件x,3y-3_0.若目标函数z=ax,y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大
yT_0
值,贝Ua的取值范围为。
y-1,
15.已知实数x,y满足y辽2x_1,如果目标函数z=x_y的最小值为一1,贝U实数m等于()
I
xy乞m.
题型九:
实际问题
某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元,售
价50元;凤梨月饼每个成本20元,售价30元。
现在要将这两种月饼装成一盒,个数不超过10个,售价不超过
350元,问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个,可使利润最大?
又利润最大为多少?
复习一一不等式的基本知识参考答案
高中数学必修内容练习---不等式
1.②③⑥⑦⑧;
2.pq;
444
3.当0:
:
x1或x时,1+logx3>2logx2;当1:
:
x时,1+logx3<2logx2;当x时,1+logx3=
333
2logx2
4.-/ab1/.
1i
lga0,lgb0Q(lgalgb)lgalgb=p
R=lg(ab)lgab=2lgab二Q下>0>卩。
22
5.
6.
{x|x-1或x=「2};
7.(-1,1)U(2,3));
2
8.不等式ax+bx+12>0的解集为{x|-ivxv2},则a=___-6,b=__6
9.(',-1)U(2,畑)).
10.解:
当a=0时,不等式的解集为:
xxV;2分
11
当a^O时,a(x—)(x-1)v0;当av0时,原不等式等价于(x—)(x—1)>0
aa
(11
不等式的解集为XX.1或x;6.分...
1「11
当0vav1时,1v,不等式的解集为x1:
x;8分.
a.a
1r11
当a>1时,-v1,不等式的解集为x:
:
:
x:
:
:
1;10分
a.a
当a=1时,不等式的解为$12分.
11.0cxv4
1
12.m*-
2
13.m^,161
值域为[,6,+oo)
1
x•=—2
x
1
X—一)<—2
x
15.
••值域为(—a,—2]U[2,+a)
5
C1)解Tx”5「4x0,.y
4
=4x—2
--23=1
当且仅当5-4x,即X=1时,上式等号成立,故当X=1时,ymax=1
5—4x
(2)上£d
当「:
■,即x=2时取等号当X=2时,y=x(8-2x)的最大值为8。
16.解析一:
〃十7工十皿(x+1)a+5(^+1)+4『“4匸
尹——(x+1)++5
7+1Z+1X+1
当'•1,即―时,y_2.:
(x1Y一4一…5=9(当且仅当x=1时取“=号)
Vx+1
解析二:
本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t=X+1,化简原式在分离求最值。
(t-1)7(t一1)+10t25t4,4L
y=t—5
ttt
211
y:
—:
-.X4:
t-(t_2)
Jx+4Jx2+4t
11
因t0,t1,但t解得t=1不在区间2•:
:
,故等号不成立,考虑单调性。
tt
1
因为y二t在区间1,•:
:
单调递增,所以在其子区间[2,•:
:
为单调递增函数,故y
由a>0得,Ovb<15
—2t2+34t—31令t=b+1,1 16 —2(t+;) 16 +34'/t+;>2 16 t•=8 t ab02 QQQ 19.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证: abc•ab•be•ca 200 二(米) 池底面积: 200(米2) y=400(2x+2-—)+54S-—.^^30x300=冊+—)+160C 目标函数: ' 23.4 20.正数a,b,c满足a+b+c=1,求证: (1-a)(1-b)(1-c)>8abc 解: 设一盒內放入x个豆沙月饼,y个凤梨月饼,利润为z元 ^+><10 则x,y必须满足-,目标函数为z=15x+10y 1 法二: 由已知得: 30—ab=a+2b■/a+2b>2'2ab二30—ab>22ab 令u=ab则u2+22u—30<0,—5.2
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- 高中 不等式 基本 知识点 练习题 答案