二次函数压轴题之平行四边形存在性问题.docx
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二次函数压轴题之平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题
考虑到求证平行四边形存在,必先了解平行四边形性质:
(1)对应边平行且相等;
(2)对角线互相平分.
这是图形的性质,我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:
可以理解为AC的中点也是BD的中点.
小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样,但其实可以化为统
xA
xB
xD
xC
xA
xC
xD
xB,
yA
yB
yD
yC
yA
yC
yD
yB
xA
xC
xB
xD
2
2
xA
xC
xB
xD
→
yA
yC
yB
yD
yA
yC
yB
yD
22
当AC和BD为对角线时,结果可简记为:
ACBD(各个点对应的横纵坐标相加)以上是对于平行四边形性质的分析,而我们要求证的是平行四边形存在性问题,此处当有一问:
若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”,则四边形ABCD是否一定为平行四边形?
反例如下:
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化,故存在反例.
虽有反例,但并不影响运用此结论解题,另外,还需注意对对角线的讨论:
(1)四边形ABCD是平行四边形:
AC、BD一定是对角线.
(2)以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形:
对角线不确定需要分类讨论.
【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.
1.三定一动
已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.
思路1:
利用对角线互相平分,分类讨论:
设D点坐标为(m,n),又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:
1)BC为对角线时,
53
35
1m
12mn,可得D17,6;
2)AC为对角线时,
135m
123553mn,解得D21,4;
3)AB为对角线时,
15
23
3m,解得D33,0
5n
当然,如果对这个计算过程非常熟悉的话,也不用列方程解,直接列算式即可.
比如:
D1=BCA,
D2=ACB,D3A
BC.(此处特指点的横纵坐标相加减)
2.两定两动已知A(1,1)、B(3,边形是平行四边形,求
2),点C在x轴上,点
C、D坐标.
D在y轴上,且以A、B、C、D为顶点的四
【分析】
设C点坐标为(m,0),
D点坐标为
0,n),
又A(1,1)、B(3,2).
1)
AB为对角线时,
0,解得
n
4
,故C(4,0)、D(0,3);
3
2)
AC为对角线时,
0,解得
n
2
,故C(2,0)、D(0,-1);
1
3)
AD为对角线时,
m
,解得
0
2,故C(-2,0)、D(0,1).
1
D
CO
【动点综述】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样,“三定一动”中动点是在平面中,横纵坐标都不确定,需要用两个字母表示,这样的我们姑且称为“全动点”,而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上,用一个字母即可表示点坐标,称为“半动点”.
从上面例子可以看出,虽然动点数量不同,但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标.若
把一个字母称为一个“未知量”也可理解为:
全动点未知量=半动点未知量×2.
找不同图形的存在性最多可以有几个未知量,都是根据图形决定的,像平行四边形,只能有2个未知量.究其原因,在于平行四边形两大性质:
(1)对边平行且相等;
(2)对角线互相平分.
但此两个性质统一成一个等式:
xAxCxBxD,
yAyCyByD
两个等式,只能允许最多存在两个未知数,即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量.
由图形性质可知未知量,由未知量可知动点设计,由动点设计可化解问题.
【2019宜宾中考】
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线yax22xc与直线ykxb都经过A(0,3)、B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线AB的解析式;
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点?
若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点,当△PAB面积最大时,求点P的坐标,并求△PAB面积的最大值.
分析】
1)抛物线:
yx22x3,直线AB:
yx3;
2)考虑EC∥MN,故若使点M、N、C、E是平行四边形,则EC=MN即可,
∵E(1,-2)、C(1,-4),
∴EC=2,
设M点坐标为(m,m-3)(m>1),则N点坐标为m,m22m3,
由题意得:
m23m2,
m23m2,解得:
m1317,m2317(舍),
22
2
m3m2,解得:
m32,m4对应P点坐标为(2,-1).
综上,P点坐标为3217,3217或(2,-1).
3)铅垂法可解.
2018河南中考(删减)】
如图,抛物线yax26xc交x轴于A、B两点,交y轴于点C.直线yx5经过B、C.
1)求抛物线的解析式;
2)过点A的直线交直线BC于点M.当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标.
分析】
1)yx26x5;
2)考虑到AM∥PQ,故只需AM=PQ即可.
过点A作BC的平行线,与抛物线交点即为P点,
易得直线AP的解析式:
yx1,
联立方程:
x26x5x1,解得:
x11(舍),x24,
故对应P点坐标为(4,3);
5411341
2,2
【2018郴州中考(删减)】
如图,已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
分析】
1)抛物线:
yx22x3;
2)由题意可知CP、DM为对角线,
考虑DM在直线x=-1上,故CP中点在直线x=-1上,
∵点C坐标为(0,3),故点P横坐标为2,代入解析式得P(2,3),易知M点坐标为(1,6).
已知抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C点,A点3,点D为抛物线的顶点.
B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标.
分析】
1)抛物线:
y2x24x2;
33
14故P3坐标为2,134.
两定两动:
x轴+抛物线】
2018·济宁中考删减)如图,已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3,0),B(1,0),
C(0,3).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是
分析】
1)抛物线:
yx22x3;
故对应的P(2,-3);
综上所述,P点坐标为(2,-3)、17,3、17,3
两定两动:
对称轴+抛物线】
2019·包头中考删减)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yax2bx2(a0)与x
轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.
1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴;
2)若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
1)抛物线:
y2
24
xx
2,
对称
轴:
直线
x=1;
3
3
2)设M点坐标为
22m,m
4
m2
N点坐
标为
1,n
3
3
又B(3,0)、C
(0,2)
3
0
m1
若BC为对角线,
由题意得:
22
4
,解得
0
2
m
m
2
n
3
3
故M点坐标为(
2,2);
3
1
m0
若BN为对角线,
由题意得:
22
4
,解得
0
n
m
m
2
2
3
3
10
故M点坐标为4,10;
分析】
3
n0
m4
4,n
3
两定两动:
斜线+抛物线】
2019·咸宁中考删减)如图,在平面直角坐标系中,直线y1x2与x轴交于点A,
与y轴交于点B,抛物线y
2
12
x2bxc经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.
2
(1)求该抛物线的解析式;
(2)已知E,F分别是直线
AB和抛物线上的动点,当B,O,E,F为顶点的四边形是
平行四边形时,直接写出所有符合条件的E点的坐标.
分析】
两定两动:
抛物线+抛物线】
(2019·连云港中考删减)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L1:
yx2bxc过点
123
C(0,3),与抛物线L2:
yx2x2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P、Q
22
分别是抛物线L1、L2上的动点.
1)求抛物线L1对应的函数表达式;
2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点P的坐标.
分析】
1)L1解析式:
yx22x3;
2)虽然两个动点均在抛物线上,仍可用设点坐标的方法求解.
12n2
设P点坐标为m,m2
2m3,Q点坐标为
n,
2,
又C(0,-3)、A(2,
-3),
02mn
①若CA为对角线,
由题意得;
3
2
3m
2m
3n2,
2
解得:
nm53或
m0
n2
舍),故
P点坐标为
-3,12);
m2n
②若CP为对角线,
由题意得:
2
3m2m
12
n
2
3n2,
2
解得:
nm13或
4
3,故
10
3
P点坐标为(
3,
0)
13;
;
9
③若CQ为对角线,
由题意得:
0n2
12
3n2
2
m
3
n
2
3m
2
22m3
m
解得:
n
11或
nm20(舍),故P点坐标为
-1,
0).
综上所述,P点坐标为(-3,12)、(3,0)、
13
9
-1,0).
【四动点构造】
(2019·锦州中考删减)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y3x3的图像与x轴
4
交于点A,与y轴交于B点,抛物线yx2bxc经过A,B两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DCx轴于点C,交直线AB于点E.
(1)求抛物线的函数表达式
(2)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合),点G是线段AB上的动点.连接DF,
FG,当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时,请直接写出点G的坐标.
分析】
1)抛物线:
yx213x3;
4
2)本题4个点皆为动点,使四边形DEGF为平行四边形易,而使周长最大难.
3213
设E点坐标为m,3m3,则D点坐标为m,m213m3,
542m
4
44
设F点坐标为n,n2
13
n3
4
,则G点坐标为
n,3n3,
4
2
13
3
2
DEm2
m3
m3
m4m,
4
4
2
13
3
2
FGn2
n3
n3
n24n,
4
4
由DE=FG,
可得:
m24m
n24n,
∵m≠n,∴
mn4
∴CDEGF
4m
5
5m
2
2m3m10,
139G点坐标为143,196
当m时,四边形DEGF是平行四边形且周长最大,此时
过点G作GH⊥CD交CD于H点,则EG*5nm
4
又DEm4m,
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- 二次 函数 压轴 平行四边形 存在 问题