罗尔定理.ppt
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第三章导数的应用,二、拉格朗日中值定理,一、罗尔定理,3.2微分中值定理,费尔马(fermat)引理,一、罗尔(Rolle)定理,且,存在,证:
设,则,费马,证毕,罗尔(Rolle)定理,满足:
(1)在区间a,b上连续,
(2)在区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),使,证:
故在a,b上取得最大值,M和最小值m.,若M=m,则,因此,若Mm,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,则由费马引理得,注意:
(1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.,例如,使,
(2)定理条件只是充分的.,本定理可推广为,在(a,b)内可导,且,在(a,b)内至少存在一点,物理解释:
变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:
例1证明方程,有且仅有一个等于0的根.,证:
1)存在性.,显然,是方程的根.,2)唯一性.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,所以在此区间上至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!
设,二、拉格朗日中值定理,
(1)在区间a,b上连续,满足:
(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:
利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,拉氏,作辅助函数,显然,在a,b上连续,在(a,b)内可导,证:
问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,证毕,且,拉格朗日中值定理的有限增量形式:
推论:
若函数,在区间I上满足,则,在I上必为常数.,令,则,例3验证拉格朗日中值定理对函数,在区间,上的正确性.,解:
令,解得,例4证明不等式,证:
设,由拉格朗日中值定理条件,因为,所以,例4证明等式,证:
设,由推论可知,(常数),令x=0,得,自证:
费尔马(16011665),费马,法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:
历经358年,直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德,鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决.,引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.,拉格朗日(17361813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都可直接或,间接地追溯到他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,
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