六年级奥数教材.docx
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六年级奥数教材
六年级奥数教材
第一讲抽屉放苹果……………………………………………(3)
第二讲列举法解题……………………………………………(8)
第三讲谈容斥原理……………………………………………(13)
第四讲判断与推理……………………………………………(17)
第五讲数的奇偶性……………………………………………(24)
第六讲立体图形的计算………………………………………(28)
第七讲旋转体的计算…………………………………………(36)
第八讲长方体和正方体………………………………………(49)
第九讲简便与巧算……………………………………………(59)
第十讲分数、百分数应用题…………………………………(63)
第十一讲工程问题……………………………………………(69)
第十二讲包含与排除…………………………………………(74)
第十三讲比和比例应用题……………………………………(77)
第十四讲简易一次不定方程…………………………………(82)
第十五讲平面图形的面积……………………………………(84)
第十六讲牛吃草问题…………………………………………(90)
第十七讲方阵问题……………………………………………(95)
第十八讲立体图形的接、割…………………………………(98)
第十九讲倒推法解题………………………………………(105)
第二十讲对应法解题………………………………………(111)
第二十一讲综合练习一……………………………………(117)
第二十二讲综合练习二……………………………………(122)
第二十三讲综合练习三……………………………………(127)
第二十四讲综合练习四……………………………………(132)
第二十五讲综合练习五……………………………………(137)
第二十六讲综合练习六……………………………………(143)
第二十七讲综合练习七……………………………………(148)
第二十八讲综合练习八……………………………………(152)
第一讲抽屉放苹果
抽屉放苹果,问题很简单,然而,简单的问题却能变化出很多复杂的数学问题。
例如,给你3个苹果,让你把它们放到2个抽屉里,那么可以肯定有一个抽屉至少有2个苹果。
这个问题看似简单,但要完全清楚地说明白,就需给出证明。
反证法:
如果命题的结论不成立,这就是说,每个抽屉里至少多放1只苹果。
于是,2只抽屉里至少共有2只苹果。
而已知有3个苹果放在2个抽屉里,这样与假设相矛盾。
以上所证明的数学原理叫“抽屉原理”。
基本的抽屉原理认为:
1、如果把x+1个物体放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有不止一个这种物体;
2、把xm+1个物体放到m个抽屉里,那么肯定有一个抽屉里至少有x+1个物体。
通俗地可以这样说:
“东西多,抽屉少,那么至少有两个东西放在同一个抽屉里。
”
例1:
任意3个自然数,总有2个自然数的和是2的倍数。
例2:
某学校有32名学生是在1月份出生的,那么其中至少有两个学生的生日是在同一天。
为什么?
例3:
班上有49个人,老师至少拿几本书,随意分给大家,才能保证至
少有一个同学能得到两本书?
例4:
幼儿园买来不少猪、狗、马塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么至少几个小朋友才能保证有两人选的玩具相同。
例5:
把135块饼干分给16个小朋友,若每个小朋友至少要分到一块饼干,那么不管怎样分,一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。
为什么?
例6:
有一个布袋里有红色、黄色、蓝色袜子各10只,问最少要拿多少只才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子。
例7:
一个幼儿班有40名小朋友,现有各种玩具125种。
把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?
例8:
从1000、1001、1002……1992、1993中,任取498个数,其中定有两个数是互质数。
自己练
1、奥林匹克俱乐部四年级有三个班,一天四年级有5个同学在公园里相遇,这五个同学至少有几人是在同一班级?
为什么?
2、有红、黄、蓝三种颜色的球各6个,混合后放在一个布袋里,一次至少摸出几只,才能保证有两只是同色的?
3、某校四
(1)班学生56人都是同年生的,能否说明至少有2人在同一星期过生日?
4、抽屉里有4支红铅笔和3支蓝铅笔,如果闭着眼睛摸,一次必须拿几支,才能保证至少有1支蓝铅笔?
5、某校有370位1982年出生的同学,那么其中至少有几个同学的生日是同一天的?
6、在一只箱子里有4种形状相同、颜色不同的小木块若干个,一次最少要取多少块才能保证其中至少有10个木块的颜色相同?
7、学校组织去浏览狼山、江边、南郊公园,规定每人最少去一处,最多去两处游览,那么至少应有多少个同学才能保证有两个同学游览的地方一样?
8、有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球若干个,每个人可以从中任意选择两个,那么需要多少人才能保证至少有4人选的小球颜色相同?
为什么?
9、四
(2)班共有学生42人开展第二课堂活动,他们从学校大队部借来图书212本,是否有人至少能借到6本或6本以上的图书?
10、把152本书分给17个同学,如果每个同学至少要拿一本书,那么不管怎样分,一定会有两个同学得到的本数相同,为什么?
11、有黑色、白色、黄色的筷子各8根,混杂地放在一起,黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子,问至少要取多少根才能保证达到要求?
12、在一只箱子里放着红、白、黑三种颜色的手套各6副,如想闭着眼睛从中取出两副颜色不同的手套,问至少要取多少只才能达到要求?
第二讲列举法解题
例1:
甲乙两人打乒乓球,谁先连胜头两局谁赢,如果没有人连胜头两局,谁先胜三局谁赢,问共有多少种可能?
例2:
有黄、红、绿、蓝、黑五种颜色的铅笔,每两种颜色的铅笔为一组,最多可以配成不重复的几组?
例3:
从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车,从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船,某人从甲地经乙地到丙地可有几种走法?
例4:
某月底,甲、乙、丙三人领取了数额不同的奖金,如果甲把自己的一部分资金分给乙、丙两人,使乙、丙两人的奖金数额各增加一倍,然后乙又拿出一部分奖金分给甲、丙两人,使甲、丙两人的奖金数额各增加一倍,接着丙再拿出一部分奖金分给甲、乙两人,使甲、乙两人奖金数额各增加一倍,这时三人的奖金数额都是24元。
问甲、乙、丙三人原来各领奖金多少元?
例5:
有一张伍元币,4张贰元币,8张壹元币,要拿出8元钱,可以有几种拿法?
例6:
某校六年级有甲、乙、丙、丁四个班级开展“纪律”、“卫生”评比竞赛。
学校制作了“纪律优胜”和“卫生优胜”两面锦旗,奖给卫生、纪律最好的班级。
想一想,可能出现多少种不同的得奖情况,并叙述你的推理方法。
例7:
新学期开学了,10个同学见了面,如果每两个同学都握一次手,那么共握手多少次?
自己练
1、有一个五分币,四个二分币,八个一分币,要取9分钱,有几种取法?
2、一个工人将弹子装进两种盒子中,每个大盒子装12颗,小盒子装5颗,恰好装完。
如果弹子一共99颗,盒子数大于10,这两种盒子各有多少个?
3、从甲村到乙村有三条路可走,从乙村到丙村有两条路可走。
问从甲村经乙村到再到丙村有几条不同的路可走?
4、两个人的年龄和是36岁,而各自的年龄数都是质数,他们各自的年龄可能分别是多少岁?
5、从“0、7、5、3”四张数字卡片中,选三张排成三位数,能排成多少个不同的三位数?
其中能同时被动2、5整除的三位数有多少个?
能同时被2、3、5整除的三位数是多少个?
6、用2张一角币,4张五角币可配成多少种不同的钱数?
7、两人同打一靶,各打五枪都命中。
成绩都是三十一,红心每人中一枪。
其余中环不重复,各枪成绩是多少。
我请你来排仔细。
8、某铁路上有11个车站,有一个收集火车票的爱好者,决定收集这条线路上每个车站发售的通往其他各车站的火车票,他一共收集了多少张?
9、有2分、5分和1角的人民币各若干枚,要从中取出0.2元,有多少种取法?
10、甲、乙、丙三人照相,如果乙一定要站在中间,可以照多少张不同的相片?
如果没有规定,可照几张不同的照片?
11、有糖块144颗,平均分成若干份,每份不得少于是10颗,也不能多于40颗,共有几种分法?
12、从1~100的自然数中,每次取出两个不同的自然数相加,使其和大于100,共有几种不同的取法?
13、今有长度为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的线路各一条,如果以其中的三条作为三边作三角形:
(1)三边中一边为3厘米的三角形有几个?
(2)三边中两边分别是3厘米、4厘米的有几个?
(3)一共可以作几个不同的三角形?
第三讲容斥原理
在数的计算中,有这样一类问题。
如:
六
(1)班同学在《少年报》和《儿童世界》两种报刊中,至少要订一份。
其中,订阅《少年报》的有25人,订《儿童世界》的有31人,订阅两种报刊的有4人,求六
(1)班学生数。
要求六
(1)班学生数,不能简单地用25+31直接求得,这是因为重复包含的4人加了两次,所以,六
(1)班人数应为25+31-4=52(人)。
以上例题告诉我们,这种有重复包含的问题,解题时应考虑排除由于相互包含而多计算的部分。
这一原理,我们称为包含排除原理。
即容斥原理。
正确运用这一原理,可以帮助我们解答抽象的数学问题。
例1:
求50以内5的倍数和7的倍数的数的个数。
例2:
在1到500这500个数中,不能被7和9整除的数共有多少个?
例3:
某班50个学生,每人至少参加一个兴趣小组,其中有37人参加科技组,25人参加作文组,求同时参加两个兴趣小组的人数相当于全班人数的百分之几?
例4:
50名同学参加兴趣小组,参加生物组的40人,参加数学组28
人,两个兴趣小组均参加的有几人?
只参加生物组跟只参加数学组人数的比是多少?
例5:
一家电维修站,有80%的人精通彩电修理业务,有70%的人精通
冰箱修理业务,10%的人两项业务都不熟悉,求两项业务都精通的人占总数的百分之几?
例6:
全班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣,其中30人喜欢作文,32人喜欢数学,21人喜欢自然,既喜欢作文又喜欢数学的15人,既喜欢数学又喜欢自然的12人,既喜欢作文又喜欢自然的14人,三门都喜欢的有8人,求全班总人数?
例7:
某班有52人,其中会下棋的有48人,会画画的有37人,会跳舞的有39人,这个班三项都会的至少有几人?
自己练
1、六
(1)班54名学生都订了报纸,其中订阅《儿童报》的有34人,订阅《少年报》的有30人,有多少人订阅了两种报纸?
2、1~200中,能被3和5整除的数共有几个?
3、1~1000中不能被5和7整除的数共有几个?
4、六
(1)班有58人参加三项课外活动小组,其中32人参加文学组,24人参加美术组,30人参加音乐组,既参加文学组又参加美术组的有13人,既参加美术组又参加音乐组的有12人,既参加文学组又参加音乐组的有11人,三项活动小组都参加的有几人?
5、两辆汽车从A、B两地同时出发相向而行,客车每小时行32千米,货车每小时行30千米,两车相遇后又离去。
已知出发5小时后两车相距93千米,求AB两地相距多少千米?
6、100个学生中,每人至少懂一种外语,其中75人懂法语,83人懂英语,65人懂日语,懂三种语言的有50人,懂得两种外语的有几人?
7、100个青年中,会骑自行车的83人,会游泳的75人,两样都不会的有10人,两样都会的有几人?
8、通师二附第14届秋季运动会中,参加100米短跑的共156人,比参加200米短跑的少40人,比参加50米短跑的多26人,同时参加50米和100米短跑的有74人,同时参加200米和100米的有80人,是同时参加50米和200米人数的2倍,同时参加50米、100米和200米的有30人,求这界运动会中参加50米、100米和200米的共有多少人?
9、五(6)有54人参加秋游活动,其中35人喜欢玩“捉特务”,45人喜欢玩“老鹰捉小鸡”,40人喜欢踢足球,50人喜欢跳牛皮筋,你是否可以肯定这班至少有多少学生对这四项都喜欢。
10、某班学生参加语文、数学、英语三科考试,90分以上的语文有21人,数学有19人,英语有20人,语文、数学都在90分以上的有9人,数学、英语在90分以上的有7人,语文、英语都在90分以上的有8人,另有5人三科都在90分以下,这个班最多能有多少人?
11、分母是385的最简真分数共有多少个?
第四讲判断与推理
分析推理是运用已知的若干判断去获得一个新判断的思维方法。
在推理过程中,常常需要否定一些错误的可能性,去获得正确的结论。
正确的逻辑推理必须遵循同一律、矛盾律、排中律和理由充足律四条基本规律。
同一律:
指的是在同一论证过程中,每一个概念和判断都应具有同一种意义。
矛盾律:
指的是在同一论证过程中,对同一对象的两个互相矛盾的判断至少有一个是错误的。
例如"所有的小学生都喜欢打球"与"有的小学生不喜欢打球"这两个互相矛盾的判断中,必有一个是错误的。
值得指出的是,矛盾律只指出两个互相矛盾的判断不能同时成立。
排中律:
指的是在同一论证过程中,对同一对象互相否定的两个判断中,有一个且只有一个是正确的。
例如“这个数等于8”与“这个数不等于8”是两个互相否定的判断,其中必有一个且只有一个是正确的,不可能两者都对,也不可能两者都错。
理由充足律:
指的是在同一论证过程中,正确的判断必须有充足的理由。
运用分析,推理方法去解决某些问题时,要经过认真思考,理清头绪,选准突破口,把条件条理化,有时还需通过图表或一些计算去获得所需要的结论。
例1:
在一桩盗窃案中,有两个嫌疑犯甲和乙,另有四个证人正在受到询问。
第一个证人说:
“我只知道甲未盗窃。
”
第二个证人说:
“我只知道乙未盗窃。
”
第三个证人的证词是:
“前面两个证词中至少有一个是真的。
”
第四个证人最后说:
“我可以肯定第三个证人的证词是假的。
”
通过调查研究,已证实第四个证人说了实话,那么盗窃犯是谁?
例2:
一位法官在审理一起盗窃案中,对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问,四人分别供述如下:
甲说:
“罪犯在乙,丙,丁三人中。
”
乙说:
“我没有作案,是丙偷的。
”
丙说:
“在甲和丁中间有一个是罪犯。
”
丁说:
“乙说的是事实。
”
通过调查研究,已证实四人中有两人说了假话,另外两人说的是真话,那么罪犯是谁?
例3:
一位学者在几年前逝世,逝世时的年龄是他出生年数的1/29,如果这位学者在1955年主持过一次学术讨论会,求他当时的年龄。
例4:
甲、乙、丙三人被蒙上眼睛,告诉他们每个人头上都带了一顶帽子,帽子的颜色不是红的就是绿的,在这以后,就去掉蒙眼睛的布,要求每个人如果看见别人(一个人或两个人)戴的红帽子就举起手,并且谁能断定自己头上的帽子的颜色,谁就马上离开房间。
三人碰巧戴的都是红帽子,因此三个人都举了手,几分钟后,丙首先走开了,他是怎么推导出自己头上帽子的颜色的?
例5:
三只口袋里分别装有两个红球、两个白球、一红一白球,但口袋外贴的标签都是错的,请从一只口袋里取出一只球,使你能根据这个球的颜色说出三只口袋里球的颜色。
例6:
有100个人,其中至少有1人说假话,这100人里任意2个人总有1个说真话,问说真话的有多少人?
说假话的有多少人?
例7:
有9只乒乓球,它们的大小形状一样,其中有一个次品比其它正品的重量轻一点。
你能不能用一台天平称两次(不用砝码),就把次品挑出来。
例8:
在国际饭店的宴会桌旁,甲、乙、丙、丁四位朋友进行有趣的交谈,用了中、英、法、日四种语言,知道的情况如下:
(1)甲、乙、丙各会两种语言,丁只会一种语言;
(2)有一种语言四人中有三人都会;
(3)甲会日语,丁不会日语,乙不会英语;
(4)甲与丙,丙与丁不能直接交谈,乙与丙可以直接交谈;
(5)没有人既会日语、又会法语。
问:
甲、乙、丙、丁各会什么语言?
自己练
1、小黄和小兰都想买一本<<从算术到代数>>的书,小黄缺一分钱,小兰缺六角五分钱,用他们俩人的钱合起来买一本,钱还是不够,问这本书的价格是多少?
2、小华用四角六分买了几支铅笔,铅笔的支数不知道,只知道分两种,一种是七分钱一支的,另一种是五分钱一支的,请你算算小华共买了几支铅笔?
3、红,黄,蓝三种颜色的小球各10个,混放在一只口袋里,蒙上眼睛,要求用手从袋子里取红、蓝球各一个,问至少要取多少个才能保证达到要求?
4、有A,B,C,D,E,F六个人坐在圆桌周围打牌,已知E与C相隔一人,并坐在C的右面,D坐在A的对面,B与F相隔一人并坐在F的右面,F与A不相邻。
请将A,B,C,D,E,F的位置画图标出。
5、要分配A、B、C、D、E五人中的若干人去执行任务,分配时考虑到下列条件:
(1)若A去,则B去;
(2)B、C两人中去一人;
(3)D、E两人中至少去一人;
(4)C、D两人都去或都不去;
(5)若E去,则A、D都去。
试问:
应该让哪些人去?
要说明理由。
6、甲、乙、丙、丁四人比赛乒乓球,每两人都要赛一场,结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙三人胜的场数相同,问丁胜了几场?
7、现在有甲、乙、丙三人同时说了如下三句话:
甲说:
“乙正在说谎。
”
乙说:
“丙正在说谎。
”
丙说:
“甲、乙都在说谎。
”
请判断三人中谁说的是真话,谁说的是假话?
8、某校数学竞赛,A、B、C、D、E这五位同学取得了前五名,老师对他们说:
“祝贺你们取得了好成绩,你们猜一下名次结果。
”
A说:
“B是第三,C是第五。
”
B说:
“D是第二,E是第四。
”
C说:
“A是第一,E是第四。
”
D说:
“C是第一,B是第二。
”
E说:
“D是第二,A是第三。
”
老师说他们每个都只猜对了一半,那么这五个人实际名次顺序如何呢?
9、甲、乙、丙三队参加田径对抗赛,赛前约定,各项比赛第一、二、三名分别记5分、2分、1分;累计得分最多者,就是优胜者。
现在知道甲获百米赛跑第一名;丙获得优胜,累计得分22分,甲、乙各得9分,判断三队在比赛中所得名次个数的情况。
10、如果在81个零件中混杂了一个重量较轻的次品,用天平(不用砝码)最少称几次才能把次品找出来?
若240个呢?
11、一台天平,只有30克和5克的两只砝码,如何将300克药粉分成150克、100克和50克三份?
12、甲、乙、丙三人各说一句话,甲说:
乙、丙都说假话;乙说:
我从不说假话;丙说:
乙说的是假话。
你能确定谁说的是假话,谁说的是真话吗?
13、有三名工人,一名是电工,一名是车工,一名是钳工,又知道下面三种说法只有一种是对的。
(1)甲是车工;
(2)乙不是车工;(3)丙不是钳工。
请问他们各是什么工种?
14、张、王、李三个人在甲、乙、丙三个工厂里,分别当车工、钳工、电工。
已知:
(1)张不在甲厂;
(2)王不在乙厂;(3)在甲厂的不是钳工;(4)在乙厂的是车工;(5)王不是电工。
这三个人分别在哪个厂?
干什么工种?
15、李老师,王老师,张老师在语文、数学、思想品德、自然、音乐和图画六门课中,每人分别都教两门。
已知:
(1)思想品德老师与数学老师是好朋友;
(2)王老师最年轻;
(3)自然老师比语文老师年纪大;
(4)李老师常向自然老师和数学老师说起他的学生;
(5)王老师、音乐老师和语文老师常在一起下棋。
请分析一下,三位老师各教哪两门功课?
第五讲数的奇偶性
能被2整除的数叫偶数,不能被2整除的数叫奇数。
自然数中,不是奇数就是偶数,是偶数就不可能是奇数,一个数是奇数还是偶数是这个数自身的属性,称为奇偶性。
在自然数中,我们可以发现奇数、偶数是按着一定次序交替出现的,同时,我们可以证明以下几条规则:
(1)两奇数之和是偶数;
(2)两奇数之差是偶数;
(3)两偶数之和是偶数;
(4)两偶数之差是偶数;
(5)奇数与偶数的和是奇数;
(6)奇数与偶数的差是奇数;
推而广之:
奇数个奇数之和是奇数;偶数个奇数之和是偶数,同样,凭着我们以往的经验,会发现以下的规律是正确无疑的:
(7)奇数×奇数=奇数
(8)偶数×偶数=偶数
(9)奇数×偶数=偶数
(10)一个偶数,若能被奇数整除,商一定是偶数;
(11)如果一个奇数能被另一个奇数整除,商一定是奇数。
例1:
1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5+┄┄+19+┄┄+19的和是奇数还是偶数?
19个
例2:
1-2+3-4+5-6+┄┄+1989-1990+1991的结果是奇数还是偶数?
例3:
33个小朋友做游戏戏,每一次均有8个小朋友向后转,问能不能经过这样若干次的向后转,使所有的小朋友全部转过身去?
例4:
A、B、C是三个任意的自然数,你能否证明:
A—B,B—C,
A—C中定有一个差数能被2整除?
例5:
养鸡户养白鸡和黑鸡各201只,这些鸡上下午在201个鸡窝中下蛋。
请你说明:
有这样一个鸡窝,每天上下午在这鸡窝里下蛋的是不同颜色有两只鸡(若每只鸡每天下一只蛋)。
例6:
50盏红灯排成一排,按顺序分别编上号码,1,2,3,4┄┄50,
每盏灯装有按钮,只要一按按钮,红灯就变成绿灯,再一按,绿灯又成了红灯。
有50个人,第一个人走过来把凡是号码为1的倍数的按钮按一下,接着第2个人把凡是号码为2的倍数的按钮按一下,第3个人把号码为3的倍数的按钮按一下,这样继续下去┄┄当第50个人走过来。
把号码为50的倍数的按钮按一下,问最后有几盏灯是绿灯?
例7:
证明是否存在着这样的整数A、B、C,使得:
A×B×C+A=111┄┄1
1993个1
例8:
数学奥林匹克竞赛初赛试题共22题,计分方法是:
起点分11
分,答对1题加5分,不答1题倒扣1分,答错1题倒扣3分。
试问:
1993个同学参赛,则所有参赛学生得分的总和一定是奇数。
自己练
1、1+4+7+10+13+┄┄+331+334的和,是奇数还是偶数?
2.(1+2+3+4+┄┄+99+100)×(1+2+2+3+3+3+┄┄+11)的积,是奇数还是偶数?
3.自然数M计有115个约数,请你证明M是一个平方数。
4.某班49个同学坐成7行7列,要让49位同学中,每一个人都离开自己的座位坐到邻座上去,此种方案能否实现?
为什么?
5.5只杯子全部杯口朝下,每次翻动其中的4只杯子,能否用这种方法将5只杯子翻过来,使得杯口全部朝上?
6.111┄┄1×999┄┄9的积里共有多少个数字是偶数?
1993个11993个9
7.在1949、1950、1951┄┄1992、1993这45个自然数中,所有偶数和与所有奇数和相差多少?
8.把4粒棋子放在3只玻璃杯中,使每个玻璃杯中的棋子数都是奇数而且不允许有损坏,它该怎样放?
9.1—100这100个数的所有约数的个数和是奇数还是偶数?
10.从1—9这8张牌中任选4张,这4个数所组成的和或是奇数或是偶数,哪种可能性大?
第六讲立体图形的计算
在小学阶段,我们除了学习平面图形外,还认识了一些简单的立体图形,如长方体、正方体(立方体)、直圆柱体,直圆锥体、球体等,并且知道了它们的体积、表面积的计算公式,归纳如下.见下图.
在数学竞赛中,有许多几何趣题,解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计,把形象思维和抽象思维结合起来.
例1:
下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的,求它的表面积.
分析与解答求这个长方体的表面积,如果一面一面地去数,把结果累计相加可以得到答案,但方法太繁.如果仔细观察,会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等.因此列式为:
(9+8+7)×2=48(平方厘米).
答:
它的表面积是48平方厘米.
例2:
一个圆柱体底面周长和高相等.如果高缩短了
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