高中数学学业水平考试知识点必修15太经典了.docx
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高中数学学业水平考试知识点必修15太经典了
高中数学学业水平测试知识点
必修一
一、集合与函数概念
并集:
由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合,如果遇到重复的只取一次。
记作:
A∪B交集:
由集合A和集合B的公共元素所组成的集合,如果遇到重复的只取一次记作:
A∩B补集:
就是作差。
nnnn1、集合a1,a2,...,an的子集个数共有2个;真子集有2–1个;非空子集有2–1个;非空的真子有2–2个
2、求yf(x)的反函数:
解出xf1(y),x,y互换,写出yf1(x)的定义域;函数图象关于y=x对称。
3、
(1)函数定义域:
①分母不为0;②开偶次方被开方数0;③指数的真数属于R、对数的真数0.
4、函数的单调性:
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<()f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增(减)函数,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质。
5、奇函数:
是f(-x)=-f(x),函数图象关于原点对称(若x0在其定义域内,则f(0)0);偶函数:
是f(-x)=f(x),函数图象关于y轴对称。
6、指数幂的含义及其运算性质:
x
(1)函数ya(a0且a1)叫做指数函数。
(2)指数函数yax(a0,a1)当0a1为减函数,当a1为增函数;
①aaarsrs;②(a)a;③(ab)ab(a0,b0,r,sQ)。
rsrsrrr
(3)指数函数的图象和性质
7、对数函数的含义及其运算性质:
(1)函数ylogax(a0,a1)叫对数函数。
(2)对数函数ylogax(a0,a1)当0a1为减函数,当a1为增函数;
1
①负数和零没有对数;②1的对数等于0:
loga10;③底真相同的对数等于1:
logaa1,
(3)对数的运算性质:
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么:
①logaMNlogaMlogaN;②logaMNlogaMlogaN;
③logaMnnlogaM(nR)。
(4)换底公式:
logablogcb
logca(a0且a1,c0且c1,b0)
(5)对数函数的图象和性质:
8、幂函数:
函数yx叫做幂函数(只考虑1,2,3,1,1的图象)。
2
9、方程的根与函数的零点:
如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数yf(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也就是方程f(x)0的根。
必修二
一、直线平面简单的几何体
1、长方体的对角线长l2a2b2c2;正方体的对角线长l
2、球的体积公式:
v3a24
3 R3;球的表面积公式:
S4 R
3、柱体、锥体、台体的体积公式:
2
1V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高);V锥体=Sh(S为底面积,h为柱体高)3
1V台体=(S’+S+S)h(S’,S分别为上、下底面积,h为台体高)3
4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理:
(1)四公理三推论:
公理1:
若一条直线上有两个点在一个平面图形表示:
a//b
6、两个平面平行的判定定理:
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。
b符号表示:
abP//。
图形表示:
a//b//a
7、.直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与已知平面相交,那么交线与这条直线平行。
符号表示:
aa//b。
图形表示:
ba//
8、两个平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们交线的平行。
符号表示:
//,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么a,ba//b9、直线与平面垂直的判定定理:
这条直线垂直于这个平面。
符号表示:
a,b,abP,la,lbl
10、.两个平面垂直的判定定理:
一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
符号表示:
l,l
3
11、直线与平面垂直的性质:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
符号表示:
aa//b。
b
12、平面与平面垂直的性质:
如果两个平面互相垂直,那么在其中一个平面率:
ktan,k(,);直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则斜率为
ky2y1
x2x1
2、直线的五种方程:
(1)点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).
(2)斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).
(3)两点式yy1
y2y1xx1x2x1((P1(x1,y1)、P2(x2,y2);(x1x2)、(y1y2)).
(4)截距式x
ay
b1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0)
(5)一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).
3、两条直线的平行、重合和垂直:
(1)若l1:
yk1xb1,l2:
yk2xb2
①l1‖l2k1k2且b1≠b2;
②l1与l2重合时k1k2且bb2;
③l1l2k1k21.
(2)若l1:
A1xB1yC10,l2:
A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①l1||l2A1A2B1B2C1C2;②l1l2A1A2B1B20
4
4、两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式│P1P2│=(x2x1)(y2y1)5、两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的中点坐标公式M(
x1x2
2
22
,
y1y2
2
)
Ax0By0C
AB
2
2
6、点P(x0,y0)到直线(直线方程必须化为一般式)Ax+By+C=0的距离公式d=
7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d=
C2C1AB
2
2
8、圆的方程:
标准方程xaybr,圆心a,b,半径为r;
2
2
2
一般方程xyDxEyF0,(配方:
(x
22
D2
)(y
2
E2
)
2
D2E24F)
4
D2E24F0时,表示一个以(D,E)为圆心,半径为1
2
2
2
D2E24F的圆;
9、点与圆的位置关系:
点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:
若d
2
2
2
dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆+bx+c=0(a
AB=(x2x1)2(y2y1)2
=k
2
2
(x1x2)4x1x2x1x2=1k2)
=
1k
2
y1y2b24aca
(1
1k
2
)(y1y2)24y1y2
=k
2
13、空间直角坐标系,两点之间的距离公式:
⑴xoy平面上的点的坐标的特征A(x,y,0):
竖坐标z=0
5
xoz平面上的点的坐标的特征B(x,0,z):
纵坐标y=0
yoz平面上的点的坐标的特征C(0,y,z):
横坐标x=0
x轴上的点的坐标的特征D(x,0,0):
纵、竖坐标y=z=0
y轴上的点的坐标的特征E(0,y,0):
横、竖坐标x=z=0
z轴上的点的坐标的特征E(0,0,z):
横、纵坐标x=y=0
(y2-y1)(z2-z1)⑵│P1P2│=x2-x1)
必修三
算法初步与统计:
222
以下是几个基本的程序框流程和它们的功能
一、算法的三种基本结构:
(1)顺序结构
(2)条件结构(3)循环结构
二、算法基本语句:
1、输入语句:
输入语句的格式:
INPUT“提示内容”;变量。
2、输出语句:
输出语句的一般格式:
PRINT“提示内容”;表达式。
3、赋值语句:
赋值语句的一般格式:
变量=表达式。
4、条件语句
(1)“IF—THEN—ELSE”语句。
5、循环语句:
直到型循环结构“DO—LOOPUNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。
三.三种常用抽样方法:
1、简单随机抽样;2.系统抽样;3.分层抽样。
4.统计图表:
包括条形图,折线图,饼图,茎叶图。
6
四、频率分布直方图:
具体做法如下:
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);
(2)决定组距与组数;(3)将数据分组;(4)列频率分布表;(5)画频率分布直方图。
注:
频率分布直方图中小正方形的面积=组
频率距×频率。
组距
2、频率分布直方图:
计算公式:
各组频数之和=样本容量,各组频率之和=1
3、茎叶图:
茎表示高位,叶表示低位。
折线图:
连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图。
4、刻画一组数据集中趋势的统计量:
平均数,中位数,众数。
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数;
将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在中间位置上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数;
5、刻画一组数据离散程度的统计量:
极差,极准差,方差。
(1)极差一定程度上表明数据的分散程度,对极端数据非常敏感。
(2)方差,标准差越大,离散程度越大。
方差,标准差越小,离散程度越小,聚集于平均数的程度越高。
(3)计算公式:
标准差:
s方差:
s2[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]n
ˆ,截距为aˆx+aˆ=bˆ,即回归方程为yˆ(此直线必过点(,)直线回归方程的斜率为b)。
6、频率分布直方图:
在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,方长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1。
五、随机事件:
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
一般用大写字母A,B,C„表示.
随机事件的概率:
在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
由定义可知0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0。
1、事件间的关系:
(1)互斥事件:
不能同时发生的两个事件叫做互斥事件;
(2)对立事件:
不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件;
(3)包含:
事件A发生时事件B一定发生,称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);
(4)对立一定互斥,互斥不一定对立。
2、概率的加法公式:
(1)当A和B互斥时,事件A+B的概率满足加法公式:
P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)
(2)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).
3、古典概型:
(1)正确理解古典概型的两大特点:
1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事件出现的可能性相等;
(2)掌握古典概型的概率计算公式:
4、几何概型:
(1)几何概率模型:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型。
7
(2)几何概型的特点:
1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等.
(3)几何概型的概率公式:
5、排列:
(1)、排列数公式:
An=n(n1)(nm1)=
n
m
n!
(nm)!
.(n,m∈N,且mn).0!
=1
*
(2)、全排列:
n个不同元素全部取出的一个排列;Ann!
n(n1)(n2)321n(n1)!
;6、组合:
(1)、组合数公式:
C=必修四
一、三角函数
1、弧度制:
(1)、180弧度,1弧度(
m
n
Anm
mAm
=
n(n1)(nm1)
12m
=
n!
m!
(nm)!
(n,m∈N,且mn);Cn1。
*
180
)5718’;弧长公式:
l||r(l为所对的弧长,r为半径,
正负号的确定:
逆时针为正,顺时针为负)。
2、三角函数:
(1)、定义:
yxyx
sin cos tan cot
rrxy2
2
sin
4、同角三角函数基本关系式:
sincos1tan
cos
5、诱导公式:
(众变横不变,符号看象限)正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正。
tancot1
sin()sincos()costan()tancot()cot
8
sin(90)cos
cos(90)sin
tan(90)cot
cot(90tan
sin(90)cos
cos(90)sin
tan(90)cot
cot(90)tan
sin(180)sincos(180)costan(180)tancot(180)cotsin(180)sincos(180)costan(180)tancot(180)cot
sin(270)cos
cos(270)sin
tan(270)cot
cot(270)tan
sin(270)cos
cos(270)sins
tan(270)cot
cot(270)tan
6、两角和与差的正弦、余弦、正切:
sin(360)sincos(360)costan(360)tancot(360)cotsin(360)sincos(360)costan(360)tancot(360)cot
S():
sin()sincoscossin
S():
sin()sincoscossin
C():
cos(a)coscossinsinC():
cos(a)coscossinsin
T():
tan()tantanT():
tan()tantan1tantan1tantan
tan+tan=tan(+)(1tantan)tan-tan=tan(-)(1tantan)
7、辅助角公式:
asinxbcosxaa2b2sinx22abbcosx22ab
a2b2(sinxcoscosxsin)2b2sin(x)
8、二倍角公式:
(1)、S2:
sin22sincos
C2:
cos2cos2sin212sin22cos21
T2:
tan2
2tan1tan29
(2)、降次公式:
(多用于研究性质)
sincos
12
sin2sin2
12
12
1cos2
2
11
cos2
22
cos2
1cos2
2
cos2
9、在ysin,ycos,ytan,ycot四个三角函数中只有ycos是偶函数,其它三个是寄函数。
(指数
函数、对数函数是非寄非偶函数)
10、在三角函数中求最值(最大值、最小值);求最小正周期;求单调性(单调第增区间、单调第减区间);求对称轴;
求对称中心点都要将原函数化成标准型;
Asin(x)b
yAcos(x)byAtan(x)bAcot(x)b
再求解。
11、三角函数的图象与性质:
12.函数yAsinx的图象:
(1)用“图象变换法”作图
由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象,有两种主要途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一:
先平移后伸缩
ysinxysin(x)平移||个单位向左(0)或向右(0)
纵坐标变为原来的A倍yAsin(x)横坐标不变
ysinxysin(x)平移||个单位,向左(0)或向右(0)ysin(x)纵坐标不变1横坐标变为原来的倍
法二:
先伸缩后平移
(0)或向右(0)ysinxysinx向左ysin(x)横坐标变为原来的
纵坐标不变1倍
A倍纵坐标变为原来的yAsin(x)横坐标不变平移||个单位
当函数yAsin(x)(A>0,0,x[0,))表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T
间内往复振动的次数f
二、平面向量
1、平面向量的概念:
2,它叫做振动的周期;单位时1T2,它叫做振动的频率;x叫做相位,叫做初相(即当x=0时的相位)。
1在平面内,具有大小和方向的量称为平面向量.
2向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
,记作.3向量的大小称为向量的模(或长度)
4模(或长度)为0的向量称为零向量;模为1的向量称为单位向量.
5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量,记作a.
6方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,那么
(1)结合律:
λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:
(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:
λ(ab)=λa+λb.
11
3、向量的数量积的运算律:
(1)a·b=b·a(交换律);
(2)(a)·b=(a·b)=a·b=a·(b);(3)(ab)·c=a·c+b·c.
4、平面向量基本定理:
如果e1、e2是同一平面(ax1,y1,bx2,y2)
7、重要结论:
(1)、两个向量平行:
a//bab(R),a//bx1y2x2y10
(2)、两个非零向量垂直abx1x2y1y20
(3)、P分有向线段P1PPP2,1P2的:
设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),且Px1x2
x则定比分点坐标公式中点坐标公式1
yy1y2
三、空间向量11、空间向量的概念:
(空间向量与平面向量相似)
x1x2
x2
yy1y2
2
1在空间中,具有大小和方向的量称为空间向量.
2向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
,记作.3向量的大小称为向量的模(或长度)
4模(或长度)为0的向量称为零向量;模为1的向量称为单位向量.
12
5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量,记作a.
6方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、实数与空间向量a的乘积a是一个向量,称为向量的数乘运算.当0时,a与a方向相同;当0时,
a与a方向相反;当0时,a为零向量,记为0.a的长度是a的长度的倍.
3、设,为实数,a,b是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律.
分配律:
abab;结合律:
aa.
4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.
5、向量共线的充要条件:
对于空间任意两个向量a,bb0,a//b的充要条件是存在实数,使ab.
6、平行于同一个平面的向量称为共面向量.
yC;或对空7、向量共面定理:
空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x,y,使x
C间任一定点,有xy;或若四点,,,C共面,则
xyzCxyz1.
8、已知两个非零向量a和b,在空间任取一点,作a,b,则称为向量a,b的夹角,记作
a,b.两个向量夹角的取值范围是:
a,b0,.
9、对于两个非零向量a和b,若a,b,则向量a,b互相垂直,记作ab.2
10、已知两个非零向量a和b,则abcosa,b称为a,b的数量积,记作ab.即abacosa,b.零向量
与任何向量的数量积为0.
11、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积.
12、若a,b为非零向量,e为单位向量,则有1eaaeacosa,e;
2aba与b同向
,aaa,a;2abab0;3ababa与b反向
ab4cosa,bab.
13、量数乘积的运算律:
1abba;2ababab;
a3bcacbc.
14、空间向量基本定理:
若三个向量a,b,c不共面,则对空间任一向量p,存在实数组x,y,z,使得
13
pxaybzc.
15、三个向量a,b,c不共面,则所有空间向量组成的集合是
ppxaybzc,x,y,zR.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,
a,b,c称为空间的一个基底,a,b,c称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
16、设e1,e2,e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以e1,e2,
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