九年级数学上册基本概念梳理.docx
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九年级数学上册基本概念梳理
第21章一元二次方程
21.1一元二次方程
【课前视野】
一、知识清单
1、一元二次方程的定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项;c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数,二次项系数a是不等于0的实数.
3、一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.
4、在实际问题中列一元二次方程
在解决实际问题时,要全面、系统地申清问题的已知和未知,以及它们之间的数量关系,找出并全面表示问题的相等关系,设出未知数,用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系,即列出一元二次方程.
【释难解疑】
重点:
一元二次方程的定义。
必须同时满足三个条件:
①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.
例1.下列方程中,关于x的一元二次方程是()
A.(x+1)2=2(x+1)B.
C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x2﹣1
答案:
A.
解析:
下列方程中,关于x的一元二次方程是(x+1)2=2(x+1),选项B为分式方程,选项C中a可能为0,选项D是一元一次方程。
21.2.1配方法
【课前视野】
一、知识清单
1、直接开平方法
形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
2、配方法
(1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;
②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;
⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.
【释难解疑】
1、用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:
x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).
法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
例1、解方程:
x2﹣6=﹣2(x+1)
解析:
先把方程化为一般形式,确保二次项系数为1,然后方程两边同时加一次项系数一半的平方。
解:
方程整理得:
x2+2x=4,
配方得:
x2+2x+1=5,即(x+1)2=5,
开方得:
x+1=±
,
解得:
x1=﹣1+
,x2=﹣1﹣
.
2、运用整体思想,把适当的部分看做整体,然后运用直接开平方法。
.
例2、(3x﹣1)2=(x+1)2.
解析:
运用直接开平方法即可。
解:
方程两边直接开方得:
3x﹣1=x+1,或3x﹣1=﹣(x+1),
∴2x=2,或4x=0,
解得:
x1=1,x2=0.
21.2.2公式法
【课前视野】
一、知识清单
1、一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时,方程无实数根.
2、用公式法解一元二次方程
用公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,方程无实数根);
③在b2-4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.
【释难解疑】
1、易错点:
在运用根的判别式时,一定要注意二次项系数不能为0这个限制条件。
例1:
(2016•抚顺)若关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣x+1=0有实数根,则a的取值范围为 .
答案:
a≤
且a≠1.
解析:
∵一元二次方程(a﹣1)x2﹣x+1=0有实数根,
∴a﹣1≠0即a≠1,且△≥0,即有△=(﹣1)2﹣4(a﹣1)=5﹣4a≥0,解得a≤
,
∴a的取值范围是a≤
且a≠1.
2、重点:
利用求根公式求解,首先确定a,b,c的值,然后检验方程是否有解,若有解,代入公式即可求解.
例2、解方程:
2m2+3m﹣1=0.
解析:
这个方程中,a=2,b=3,c=﹣1,经检验方程有根后代入求根公式求解即可。
解:
a=2,b=3,c=﹣1
∴b2﹣4ac=32﹣4×2×(﹣1)
=9+8=17>0
∴
∴
=
=
.
21.2.3因式分解法
【课前视野】
一、知识清单
1、用因式分解法解一元二次方程
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
【释难解疑】
难点:
十字相乘法,或者是也可以看做x2+(a+b)x+ab型的二次三项式。
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
例1:
三角形的两边分别2和6,第三边是方程x2﹣10x+21=0的解,则三角形周长为( )
A.11B.15C.11或15D.不能确定
答案:
B.
解析:
方程x2﹣10x+21=0,变形得:
(x﹣3)(x﹣7)=0,
解得:
x1=3,x2=7,
若x=3,三角形三边为2,3,6,不合题意,舍去,
则三角形的周长为2+6+7=15.
21.2.4一元二次方程的根与系数关系
【课前视野】
一、知识清单
一元二次方程的根与系数关系
若二次项系数为1,常用以下关系:
x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=-p,x1x2=q,反过来可得p=-(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.
【释难解疑】
重点:
常用根与系数的关系解决以下问题:
①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件.
例1:
(2016•贵港)若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b,且a2﹣ab+b2=18,则
+
的值是( )
A.3B.﹣3C.5D.﹣5
答案:
D.
解析:
∵a、b为方程x2﹣3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根,
∴a+b=3,ab=p,
∵a2﹣ab+b2=(a+b)2﹣3ab=32﹣3p=18,
∴p=﹣3.
当p=﹣3时,△=(﹣3)2﹣4p=9+12=21>0,
∴p=﹣3符合题意.
+
=
=
=
﹣2=
﹣2=﹣5.
例2:
(2016•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)当x12+x22=6x1x2时,求m的值.
解析:
(1)根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根,可得△≥0,据此求出m的取值范围;
(2)根据根与系数的关系求出x1+x2,x1•x2的值,代入x12+x22=6x1x2求解即可.
解:
(1)∵原方程有两个实数根,
∴△=(﹣2)2﹣4(m﹣1)≥0,
整理得:
4﹣4m+4≥0,
解得:
m≤2;
(2)∵x1+x2=2,x1•x2=m﹣1,x12+x22=6x1x2,
∴(x1+x2)2﹣2x1•x2=6x1•x2,
即4=8(m﹣1),
解得:
m=
.
∵m=
<2,
∴符合条件的m的值为
.
21.3实际问题与一元一次方程
第1课时用一元二次方程解决传播问题
【课前视野】
一、知识清单
1、列方程解决实际问题的一般步骤是:
审清题意设未知数,列出方程,解所列方程求所列方程的解,检验和作答.
2.列一元二次方程解应用题的“六字诀”1.审:
理解题意,明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.2.设:
根据题意,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.3.列:
根据题中的等量关系,用含所设未知数的代数式表示其他未知量,从而列出方程.4.解:
准确求出方程的解.5.验:
检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.6.答:
写出答案.
【释难解疑】
重点1、数字问题:
个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为10b+a;涉及三个联系偶数问题时,通常设为2n-2,2n,2n+2,或者设中间数为x,,其他两数为2x-2和2x+2.
例1、一直角三角形的三边正好是三个连续偶数,求这个直角三角形的三边。
解析:
根据连续偶数相差是2,设中间的偶数是x,则另外两个是x﹣2,x+2根据勾股定理即可解答.
解:
根据连续偶数相差是2,设中间的偶数是x,则另外两个是x﹣2,x+2根据勾股定理,得
(x﹣2)2+x2=(x+2)2,
x2﹣4x+4+x2=x2+4x+4,
x2﹣8x=0,
x(x﹣8)=0,
解得:
x1=8,x2=0(0不符合题意,应舍去),
所以它的三边是6,8,10.
故答案为:
6、8、10.
重点2、在关于传播性问题中常见的出题背景为:
相互握手、互赠礼物、球赛、疾病传染等,本质上属于同一类问题。
例2、学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间都进行了一次比赛),共进行了21场比赛,那么有 个球队参加了这次比赛.
解析:
赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),x个球队比赛总场数=
.即可列方程求解.
解:
设有x个队,每个队都要赛(x﹣1)场,但两队之间只有一场比赛,
x(x﹣1)÷2=21,
解得x=7或﹣6(舍去).
故应邀请7个球队参加比赛.
故答案为:
7.
21.3实际问题与一元一次方程
第2课时用一元二次方程解决增长率问题
一、知识清单
1、增长率问题:
通常是在某商品原价的基础上连续两(多)次涨价,求平均增长率。
2、降价率问题:
通常是在某商品原价的基础上连续两(多)次降价,求平均降价率。
【释难解疑】
变化率问题常用公式:
a(1+x)n=b(其中a是起始量,x是平均变化率,n是变化的次数,b是终止量)。
起始量经过一次变化后达到a(1+x);第二次变化后达到a(1+x)2;第三次变化后达到a(1+x)3;……以此类推。
例1、“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2014年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆.若该商城前每个月的自行车销量的月平均增长率相同,设月平均增长率为x,由题意可得方程:
.
解析:
设该商城月平均增长率为x.等量关系为:
1月份的销售量×(1+增长率)2=3月份的销售量,把相关数值代入求解即可.
解:
设该商城2、3月份的月平均增长率为x,
根据题意列方程:
64(1+x)2=100.
故答案为:
64(1+x)2=100.
21.3实际问题与一元一次方程
第3课时用一元二次方程解决几何图形问题
一、知识清单
常见的几何图形问题:
①利用勾股定理列一元二次方程,求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、梯形的面积,以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系,列比例式,通过两内项之积等于两外项之积,得到一元二次方程.
【释难解疑】
重点1、在解决甬道问题或者边框问题时,灵活运用“平移变换”对分离的图形面积进行“整体表示”,使问题简化。
例1、如图,一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人形通道.
(1)求人行通道的宽度;
(2)一名园丁要对这56米2的绿地进行绿化,他在绿化了16米2后将效率提高了25%,结果提前1小时完成任务,求园丁原计划每小时完成多少米2.
解析:
(1)设人行通道的宽度为x米.将两个绿地平移到一起,然后用含x的是表示绿地的长与宽,最后依据面积为56平方米列方程求解即可;
(2)设园丁原计划每小时完成x米2.接下来,依据园丁按计划完成40平方米与时间完成40平方米的时间差为1小时列方程求解即可.
解:
(1)设人行通道的宽度为x米.
根据题意得:
(20﹣3x)(8﹣2x)=56.
整理得:
3x2﹣32x+52=0.
解得:
x1=2,x2=29(舍去).
答:
人行通道的宽2米.
(2)设园丁原计划每小时完成x米2.
+1.
解得:
x=8.
经检验x=8是原方程的解.
答:
园丁原计划每小时完成8米2.
根据题意得:
8米2
第22章二次函数
22.1二次函数的图像和性质
22.1.1二次函数
【课前视野】
二、知识清单
1、二次函数的定义
一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y═ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.
2、在实际问题中列二次函数
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意,建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.
【释难解疑】
重点1:
二次函数的定义
判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为整式,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.
例1.已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
解析:
根据一次函数与二次函数的定义求解.
解:
(1)根据一次函数的定义,得:
m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1;
∴当m=0时,这个函数是一次函数;
(2)根据二次函数的定义,得:
m2﹣m≠0
解得m1≠0,m2≠1
∴当m1≠0,m2≠1时,这个函数是二次函数.
22.1二次函数的图像和性质
22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质
【课前视野】
一、知识清单
1、二次函数y=ax2的图像
二次函数的图像是一条抛物线,顶点在原点,对称轴是y轴。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
2、二次函数y=ax2的性质
当a>0时,在对称轴的左边,y随x的增大而减小;在对称轴的右边,y随x的增大而增大。
当a<0时,在对称轴的左边,y随x的增大而增大;在对称轴的右边,y随x的增大而
减小。
【释难解疑】
重点1:
抛物线的开口的大小:
二次函数中|a|的值越小,则函数图象的开口也越大;二次函数中|a|的值越大,则函数图象的开口也越小。
例1.抛物线y=
x2,y=﹣3x2,y=﹣x2,y=2x2的图象开口最大的是( )
A.y=
x2B.y=﹣3x2C.y=﹣x2D.y=2x2
答案:
A.
解析:
∵二次函数中|a|的值越小,则函数图象的开口也越大,
又∵
,
∴抛物线y=
x2,y=﹣3x2,y=﹣x2,y=2x2的图象开口最大的是y=
x2.
重点2:
当二次项系数的绝对值互为相反数时,二次函数的图像关于x轴轴对称。
例2.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=
x2与y=﹣
x2的图象,则阴影部分的面积是 .
答案:
8.
解析:
∵函数y=
x2与y=﹣
x2的图象关于x轴对称,
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半,
而边长为4的正方形面积为16,
所以图中的阴影部分的面积是8.
故答案为8.
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
第1课时二次函数y=ax2+k的图像和性质
【课前视野】
一、知识清单
1、二次函数y=ax2+k的图像
二次函数y=ax2+k的图像顶点在(0,k),由二次函数y=ax2的图像沿y轴向上(下)平移k个单位长度得到,对称轴是y轴。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
2、二次函数y=ax2+k的性质
当a>0时,在对称轴的左边,y随x的增大而减小;在对称轴的右边,y随x的增大而增大。
当a<0时,在对称轴的左边,y随x的增大而增大;在对称轴的右边,y随x的增大而
减小。
【释难解疑】
重点1:
二次函数y=ax2+k与二次函数y=ax2的区别主要在于顶点的位置,除此之外,图像的对称轴、开口的方向与大小、变大变小的趋势都一致。
例1、抛物线y=3x2,y=﹣3x2,y=x2+3共有的性质是( )
A.开口向上B.对称轴是y轴
C.都有最高点D.y随x的增大而增大
解析:
y=3x2开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为原点;
y=﹣3x2开口向下,对称轴为y轴,有最高点,顶点为原点;
y=x2+3开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为(0,3).
答案:
B.
:
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
第2课时二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
【课前视野】
一、知识清单
1、二次函数a(x-h)2的图像
二次函数a(x-h)2的图像顶点在(h,0),由二次函数y=ax2的图像沿x轴向左(右)平移k个单位长度得到,对称轴是y轴。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
2、二次函数a(x-h)2的性质
当a>0时,在对称轴的左边,y随x的增大而减小;在对称轴的右边,y随x的增大而增大。
当a<0时,在对称轴的左边,y随x的增大而增大;在对称轴的右边,y随x的增大而
减小。
【释难解疑】
重点1:
二次函数a(x-h)2与二次函数y=ax2的区别有两个方面:
顶点的位置不同,对称轴不同。
相同点:
开口的大小、方向,变大变小的趋势。
例1.有一个二次函数y=a(x﹣k)2的图象,三位同学分别说出了它的一些特点:
甲:
开口向上
乙:
对称轴是直线x=2
丙:
与y轴的交点到原点的距离为2
满足上述全部特点的二次函数的解析式为 .
答案:
y=
(x﹣2)2.
解析:
∵二次函数y=a(x﹣k)2的图象开口向上,
∴a>0,
∵对称轴为直线x=2,
∴k=2,
∴二次函数y=a(x﹣k)2的解析式为y=a(x﹣2)2,
∵与y轴的交点到原点的距离为2,
∴与y轴交于点(0,2)或(0,﹣2),
把(0,2)代入得,2=4a,
∴a=
,
把(0,﹣2)代入得,﹣2=4a,
∴a=﹣
(舍去)
∴解析式为:
y=
(x﹣2)2.
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
【课前视野】
一、知识清单
1、二次函数y=a(x﹣h)2+k的图像
二次函数y=a(x﹣h)2+k的图像顶点在(h,k),对称轴是x=h轴。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
2、二次函数a(x-h)2的性质
当a>0时,在对称轴的左边,y随x的增大而减小;在对称轴的右边,y随x的增大而增大。
当a<0时,在对称轴的左边,y随x的增大而增大;在对称轴的右边,y随x的增大而
减小。
【释难解疑】
重点1:
二次函数y=a(x﹣h)2+k的图像可以看作是二次函数y=ax2的图像向左(右)平移h个单位,向上(下)平移k个单位得到。
不同点:
顶点、对称轴
相同点:
开口大小、方向,变大变小的趋势。
例1、对于抛物线y=﹣(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(﹣1,3);
④x>1时,y随x的增大而减小,
其中正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析:
①∵a=﹣<0,
∴抛物线的开口向下,正确;
②对称轴为直线x=﹣1,故本小题错误;
③顶点坐标为(﹣1,3),正确;
④∵x>﹣1时,y随x的增大而减小,
∴x>1时,y随x的增大而减小一定正确;
综上所述,结论正确的个数是①③④共3个.
答案:
C.
例2、已知二次函数y=﹣(x﹣4)2+4
(1)写出其图象的开口方向,对称轴和顶点坐标;
(2)x取何值时,①y=0,②y>0,③y<0.
解析:
(1)二次函数y=﹣(x﹣4)2+4为抛物线的顶点式,根据顶点式可确定开口方向,对称轴及顶点坐标;
(2)求出图象与x轴的交点坐标,可确定①y=0,②y>0,③y<0时,x的取值.
解:
(1)∵二次函数y=﹣(x﹣4)2+4中,a=﹣1<0,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=4,顶点坐标为(4,4);
(2)当y=0时,﹣(x﹣4)2+4=0,解得x=2或x=6.
①x=2或x=6时,y=0;
②2<x<6时,y>0;
③x<2或x>6时,y<0.
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
【课前视野】
一、知识清单
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣
,
),对称轴直线x=﹣
,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:
当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣
时,y随x的增大而减小;x>﹣
时,y随x的增大而增大;x=﹣
时,y取得最小值
,即顶点是抛物线的最低点.当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣
时,y随x的增大而增大;x>﹣
时,y随x的增大而减小;x=﹣
时,y取得最大值
,即顶点是抛物线的最高点.
【释难解疑】
重点1:
在解决二次函数y=ax2+bx+c的问题时,通常是化为顶点式,这样便于判断图像的顶点、对称轴,进而确定变大变小的趋势。
例1、(2016•广州)对于二次函数y=﹣
+x﹣4,下列说法正确的是( )
A.当x>0时,y随x的增大而增大B.当x=2时,y有最大值﹣3
C.图象的顶点坐标为(﹣2,﹣7)D.图象与x轴有两个交点
解析:
∵二次函数y=﹣
+x﹣4可化为y=﹣
(x﹣2)2﹣3,
又∵a=﹣
<0
∴当x=2时,二次函数y=﹣
x2+x﹣4的最大值为﹣3.
答案:
B.
易错点1:
二次函数解析式中的a、b、c各司其职。
其中,a决定图像的开口方向;c决定与y轴的交点坐标;a与b共同决定对称轴的位置;b2﹣4ac的正负决定与x轴的交点个数。
另外还有一些特殊的关系需要在题目中灵活处理。
例2、(2016•达州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0
②4a+2b+c>0
③4ac﹣b2<8a
④
<a<
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