1、九年级数学上册基本概念梳理第21章 一元二次方程21.1 一元二次方程【课前视野】一、 知识清单1、一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程2、一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫一元二次方程的一般形式其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数3、一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，
2、一元二次方程的解也称为一元二次方程的根4、在实际问题中列一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程【释难解疑】重点：一元二次方程的定义。必须同时满足三个条件： 整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； 只含有一个未知数； 未知数的最高次数是2例1下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A（x+1）2=2（x+1） B Cax2+bx+c=0 Dx2+2x=x21答案：A解析：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2
3、=2（x+1），选项B为分式方程，选项C 中a可能为0，选项D是一元一次方程。21.2.1 配方法【课前视野】一、知识清单1、直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。2、配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法（2）用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为ax2+bx+c=0（a0）的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可
4、以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解【释难解疑】1、用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a0）；ax2=b（a，b同号且a0）；（x+a）2=b（b0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a0）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”例1、解方程：x26=2（x+1）解析：先把方程化为一般形式，确保二次项系数为1，然后方程两边同时加一次项系数一半的平方。解：方程整理得：x2+2x=4，配方得：x2+2x+1=5，即（x+1）2=5，开方得：x+1=，解得：x1=1+，x2=12、运用整体思想，把适
5、当的部分看做整体，然后运用直接开平方法。例2、（3x1）2=（x+1）2解析：运用直接开平方法即可。解：方程两边直接开方得：3x1=x+1，或3x1=（x+1），2x=2，或4x=0，解得：x1=1，x2=021.2.2 公式法【课前视野】一、知识清单1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根2、用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；求出b2-4ac的值（若b2-4a
6、c0，方程无实数根）；在b2-4ac0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根【释难解疑】1、易错点：在运用根的判别式时，一定要注意二次项系数不能为0这个限制条件。例1：（2016抚顺）若关于x的一元二次方程（a1）x2x+1=0有实数根，则a的取值范围为答案：a且a1解析：一元二次方程（a1）x2x+1=0有实数根，a10即a1，且0，即有=（1）24（a1）=54a0，解得a，a的取值范围是a且a12、重点：利用求根公式求解，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解例2、解方程：2m2+3m1=0解析：这个方程中，a=2，b=3，c=1，经检验方
7、程有根后代入求根公式求解即可。解： a=2，b=3，c=1b24ac=3242（1）=9+8=170=21.2.3因式分解法【课前视野】一、知识清单1、用因式分解法解一元二次方程因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）【释难解疑】难点：十字相乘法，或者是也可以看做x2+（a+b）x+ab型的二次三项式。x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）例1: 三角形的两边分别2和6，第三边是方程x210
8、x+21=0的解，则三角形周长为（）A11 B15 C11或15 D不能确定答案：B解析：方程x210x+21=0，变形得：（x3）（x7）=0，解得：x1=3，x2=7，若x=3，三角形三边为2，3，6，不合题意，舍去，则三角形的周长为2+6+7=1521.2.4 一元二次方程的根与系数关系【课前视野】一、知识清单一元二次方程的根与系数关系若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数【释难解疑】重点：常用根与系数的关系解
9、决以下问题：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等判断两根的符号求作新方程由给出的两根满足的条件，确定字母的取值这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a0，0这两个前提条件例1：（2016贵港）若关于x的一元二次方程x23x+p=0（p0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2ab+b2=18，则+的值是（）A3 B3 C5 D5答案：D解析：a、b为方程x23x+p=0（p0）的两个不相等的实数根，a+b=3，ab=p，a2ab+b2=（a+b）23ab=323p=1
10、8，p=3当p=3时，=（3）24p=9+12=210，p=3符合题意+=2=2=5例2：（2016孝感）已知关于x的一元二次方程x22x+m1=0有两个实数根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值解析：（1）根据一元二次方程x22x+m1=0有两个实数根，可得0，据此求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可解：（1）原方程有两个实数根，=（2）24（m1）0，整理得：44m+40，解得：m2；（2）x1+x2=2，x1x2=m1，x12+x22=6x1x2，（x1+x2）22x1x2
11、=6x1x2，即4=8（m1），解得：m=m=2，符合条件的m的值为21.3实际问题与一元一次方程第1课时 用一元二次方程解决传播问题【课前视野】一、知识清单1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答2. 列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系 2设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数 3列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程 4解：准确求出方程的解 5验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题 6答：写出答案【释难解疑】重点1、数字
12、问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a；涉及三个联系偶数问题时，通常设为2n-2，2n，2n+2，或者设中间数为x,，其他两数为2x-2和2x+2.例1、一直角三角形的三边正好是三个连续偶数，求这个直角三角形的三边。解析：根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x2，x+2根据勾股定理即可解答解：根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x2，x+2根据勾股定理，得（x2）2+x2=（x+2）2，x24x+4+x2=x2+4x+4，x28x=0，x（x8）=0，解得：x1=8，x2=0（0不符合题意，应舍去），所以它的三边是6，8，10故答案为：6、8
13、、10重点2、在关于传播性问题中常见的出题背景为：相互握手、互赠礼物、球赛、疾病传染等，本质上属于同一类问题。例2、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了21场比赛，那么有个球队参加了这次比赛解析：赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=即可列方程求解解：设有x个队，每个队都要赛（x1）场，但两队之间只有一场比赛，x（x1）2=21，解得x=7或6（舍去）故应邀请7个球队参加比赛故答案为：721.3实际问题与一元一次方程第2课时 用一元二次方程解决增长率问题一、知识清单1、增长率问题：通常是在某商品原价的基础上连续两（多）次涨价，求平均增长率。
14、2、降价率问题：通常是在某商品原价的基础上连续两（多）次降价，求平均降价率。【释难解疑】变化率问题常用公式：a（1+x）n=b（其中a是起始量，x是平均变化率，n是变化的次数，b是终止量）。起始量经过一次变化后达到a（1+x）；第二次变化后达到a（1+x）2；第三次变化后达到a（1+x）3；以此类推。例1、“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商城的自行车销售量自2014年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆若该商城前每个月的自行车销量的月平均增长率相同，设月平均增长率为x，由题意可得方程：解析：设该商城月平均增长率为x等量关系为：1
15、月份的销售量（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可解：设该商城2、3月份的月平均增长率为x，根据题意列方程：64（1+x）2=100故答案为：64（1+x）2=10021.3实际问题与一元一次方程第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题一、知识清单常见的几何图形问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长利用三角形、矩形、菱形、梯形的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程【释难解疑】重点1、在解决甬道问题或者边框问题时，灵活运用“平移变换”对分离的图形面积进行“整体表示”
16、，使问题简化。例1、如图，一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人形通道（1）求人行通道的宽度；（2）一名园丁要对这56米2的绿地进行绿化，他在绿化了16米2后将效率提高了25%，结果提前1小时完成任务，求园丁原计划每小时完成多少米2解析：（1）设人行通道的宽度为x米将两个绿地平移到一起，然后用含x的是表示绿地的长与宽，最后依据面积为56平方米列方程求解即可；（2）设园丁原计划每小时完成x米2接下来，依据园丁按计划完成40平方米与时间完成40平方米的时间差为1小时列方程求解即可解：（1）设人行通道的宽度为
17、x米根据题意得：（203x）（82x）=56整理得：3x232x+52=0解得：x1=2，x2=29（舍去）答：人行通道的宽2米（2）设园丁原计划每小时完成x米2+1解得：x=8经检验x=8是原方程的解答：园丁原计划每小时完成8米2根据题意得：8米2第22章 二次函数22.1 二次函数的图像和性质22.1.1 二次函数【课前视野】二、 知识清单1、二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项yax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式2、在实际问
18、题中列二次函数根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定【释难解疑】重点1：二次函数的定义判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件例1已知函数y=（m2m）x2+（m1）x+m+1（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解析：根据一次函数与二次函数的定义求解解：（1）根据一次函数的定义，得：m2m=0解得m=0或m=1又m10即m1；当m=0时，这
19、个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2m0解得m10，m21当m10，m21时，这个函数是二次函数22.1 二次函数的图像和性质22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质【课前视野】一、 知识清单1、 二次函数y=ax2的图像二次函数的图像是一条抛物线，顶点在原点，对称轴是y轴。当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。2、 二次函数y=ax2的性质 当a0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。当a0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。【释难解疑】重点1：抛物线的开口的大小：二次函数中|a|
20、的值越小，则函数图象的开口也越大；二次函数中|a|的值越大，则函数图象的开口也越小。例1抛物线y=x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象开口最大的是（）Ay=x2 By=3x2 Cy=x2 Dy=2x2答案：A解析：二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，又，抛物线y=x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象开口最大的是y=x2重点2：当二次项系数的绝对值互为相反数时，二次函数的图像关于x轴轴对称。例2如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x2与y=x2的图象，则阴影部分的面积是答案：8解析：函数y=x2与y=x2的图象关于x轴对称，图中
21、的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而边长为4的正方形面积为16，所以图中的阴影部分的面积是8故答案为822.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质第1课时 二次函数y=ax2+k的图像和性质【课前视野】一、 知识清单1、二次函数y=ax2+k的图像二次函数y=ax2+k的图像顶点在（0，k），由二次函数y=ax2的图像沿y轴向上（下）平移k个单位长度得到，对称轴是y轴。当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。2、二次函数y=ax2+k的性质当a0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。当a0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大；
22、在对称轴的右边，y随x的增大而减小。【释难解疑】重点1：二次函数y=ax2+k与二次函数y=ax2的区别主要在于顶点的位置，除此之外，图像的对称轴、开口的方向与大小、变大变小的趋势都一致。例1、抛物线y=3x2，y=3x2，y=x2+3共有的性质是（）A开口向上 B对称轴是y轴C都有最高点 Dy随x的增大而增大解析：y=3x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；y=3x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；y=x2+3开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为（0，3）答案：B:22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质第2课时 二次函数y= a（x-h）2的图像
23、和性质【课前视野】一、 知识清单1、二次函数a（x-h）2的图像二次函数a（x-h）2的图像顶点在（h，0），由二次函数y=ax2的图像沿x轴向左（右）平移k个单位长度得到，对称轴是y轴。当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。2、二次函数a（x-h）2的性质当a0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。当a0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。【释难解疑】重点1：二次函数a（x-h）2与二次函数y=ax2的区别有两个方面：顶点的位置不同，对称轴不同。相同点：开口的大小、方向，变大变小的趋势。例1有一个二次
24、函数y=a（xk）2的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：开口向上乙：对称轴是直线x=2丙：与y轴的交点到原点的距离为2满足上述全部特点的二次函数的解析式为答案：y=（x2）2解析：二次函数y=a（xk）2的图象开口向上，a0，对称轴为直线x=2，k=2，二次函数y=a（xk）2的解析式为y=a（x2）2，与y轴的交点到原点的距离为2，与y轴交于点（0，2）或（0，2），把（0，2）代入得，2=4a，a=，把（0，2）代入得，2=4a，a=（舍去）解析式为：y=（x2）222.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质【课前视野】
25、一、 知识清单1、二次函数y=a（xh）2+k的图像二次函数y=a（xh）2+k的图像顶点在（h，k），对称轴是x=h轴。当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。2、二次函数a（x-h）2的性质当a0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。当a0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。【释难解疑】重点1：二次函数y=a（xh）2+k的图像可以看作是二次函数y=ax2的图像向左（右）平移h个单位，向上（下）平移k个单位得到。不同点：顶点、对称轴相同点：开口大小、方向，变大变小的趋势。例1、对于抛物线y=（x+1）
26、2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，3）；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A1 B2 C3 D4解析：a=0，抛物线的开口向下，正确；对称轴为直线x=1，故本小题错误；顶点坐标为（1，3），正确；x1时，y随x的增大而减小，x1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是共3个答案：C例2、已知二次函数y=（x4）2+4（1）写出其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）x取何值时，y=0，y0，y0解析：（1）二次函数y=（x4）2+4为抛物线的顶点式，根据顶点式可确定开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）求出图象与x轴的交点
27、坐标，可确定y=0，y0，y0时，x的取值解：（1）二次函数y=（x4）2+4中，a=10，抛物线开口向下，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，4）；（2）当y=0时，（x4）2+4=0，解得x=2或x=6x=2或x=6时，y=0；2x6时，y0；x2或x6时，y022.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质【课前视野】一、 知识清单二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x=，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当a0时，抛物线y=ax2+bx+
28、c（a0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点【释难解疑】重点1：在解决二次函数y=ax2+bx+c的问题时，通常是化为顶点式，这样便于判断图像的顶点、对称轴，进而确定变大变小的趋势。例1、（2016广州）对于二次函数y=+x4，下列说法正确的是（）A当x0时，y随x的增大而增大 B当x=2时，y有最大值3C图象的顶点坐标为（2，7） D图象与x轴有两个交点解析：二次函数y=+x4可化为y=（x2）23，又a=0当x=2时，二次函数y=x2+x4的最大值为3答案：B易错点1：二次函数解析式中的a、b、c各司其职。其中，a决定图像的开口方向；c决定与y轴的交点坐标；a与b共同决定对称轴的位置；b24ac的正负决定与x轴的交点个数。另外还有一些特殊的关系需要在题目中灵活处理。例2、（2016达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1下列结论：abc0 4a+2b+c0 4acb28a a
