人教版高中数学选修22全套教案高中数学选修22.docx
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人教版高中数学选修22全套教案高中数学选修22
第一章导数及其应用
§1.1.1变化率问题
教学目标:
1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点:
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;
教学难点:
平均变化率的概念.
教学过程:
一.创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题:
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二.新课讲授
(一)问题提出
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增
加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
43
气球的体积V(单位:
L)与半径r(单位:
dm)之间的函数关系是V(r)r33
如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)
分析:
⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了r
(1)r(0)0.62(dm)气球的平均膨胀率为r
(1)r(0)0.62(dm/L)
10
⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了r
(2)r
(1)0.16(dm)
气球的平均膨胀率为r
(2)r
(1)0.16(dm/L)
r(V2)r(V1)
21可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考:
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少
问题2高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:
s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?
思考计算:
0t0.5和1t2的平均速度v
在0t0.5这段时间里,vh(0.5)h(0)4.05(m/s);
0.50在1t2这段时间里,vh
(2)h
(1)8.2(m/s)
21
65探究:
计算运动员在0t这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
49⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
265探究过程:
如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,h()h(0),49
h(49)h(0)所以v490(s/m),
650
49
65
虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动,并非49
静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(二)平均变化率概念:
1.上述问题中的变化率可用式子
f(x2)f(x1)表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
x2x1
2.若设xx2x1,ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替
x2,同样fyf(x2)f(x1))
3.则平均变化率为y
f
f(x2)f(x1)
f(x1x)f(x1)
x
x
x2x1
x
思考:
观察函数f(x)的图象
三.典例分析
例1.已知函数f(x)=x2x的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1x,2y),则y.
x.
解:
2y(1x)2(1x),∴y(1x)(1x)23x
xx
例2.求yx2在xx0附近的平均变化率。
22
解:
y(x0x)x0,所以
22222
y(x0x)x0x02x0xxx0
2x0x
xxx
2
所以yx2在xx0附近的平均变化率为2x0x
四.课堂练习
2
1.质点运动规律为st23,则在时间(3,3t)中相应的平均速度为.
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.253t
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.五.回顾总结:
1.平均变化率的概念;2.函数在某点处附近的平均变化率
六.布置作业
导数与导函数的概念
教学目标:
1、知识与技能:
理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法;理解导数的几何意义;理解导函数的概念和意义;
2、过程与方法:
先理解概念背景,培养解决问题的能力;再掌握定义和几何意义,培养转化问题的能力;最后求切线方程,培养转化问题的能力
3、情感态度及价值观;让学生感受事物之间的联系,体会数学的美。
教学重点:
1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用
教学难点:
1、导数概念的理解;2、导函数的理解、认识和运用
教学过程:
一、情境引入
在前面我们解决的问题:
1、求函数f(x)x2在点(2,4)处的切线斜率。
yf(2x)f(x)4x,故斜率为4xx
2
2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是Vt21,求tto时的瞬时速度。
Vv(tot)v(to)2tot,故斜率为4
tto
二、知识点讲解
上述两个函数f(x)和V(t)中,当x(t)无限趋近于0时,V(V)都无限趋近于一个常tx
数。
归纳:
一般的,定义在区间(a,b)上的函数f(x),xo(a,b),当x无限趋近于0时,
yf(xox)f(xo)无限趋近于一个固定的常数A,则称f(x)在xxo处可导,并称A为
xx
f(x)在xxo处的导数,记作f'(xo)或f'(x)|xxo,上述两个问题中:
(1)f'
(2)4,
2)V'(to)2to
三、几何意义:
我们上述过程可以看出
f(x)在xx0处的导数就是f(x)在xx0处的切线斜率。
四、例题选讲
例1、求下列函数在相应位置的导数
1)
f(x)x21,x2
2)f(x)2x1,
x2
3)f(x)3,x2
例2、函数
f(x)满足f'
(1)2,
则当x无限趋近于0时,
1)
f(1x)f
(1)
2x
2)
f(12x)f
(1)
x
变式:
设f(x)在x=x0处可导,
3)f(x04x)f(x0)无限趋近于1,则f(x0)=
(4)f(x04x)f(x0)无限趋近于1,则f(x0)=
x
(5)当△x无限趋近于0,f(x02x)f(x02x)所对应的常数与f(x0)的关系。
x
总结:
导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
例3、若f(x)(x1)2,求f'
(2)和(f
(2))'注意分析两者之间的区别。
例4:
已知函数f(x)x,求f(x)在x2处的切线。
导函数的概念涉及:
f(x)的对于区间(a,b)上任意点处都可导,则f(x)在各点的导数也随x
的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为f(x)的导函数,记作f'(x)五、小结与作业
§1.1.2导数的概念
教学目标:
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数教学重点:
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念;教学难点:
导数的概念.
教学过程:
一.创设情景
h
一)平均变化率
65
(二)探究:
计算运动员在0t这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
265探究过程:
如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,h()h(0),
49
65
0(s/m),
h(65)h(0)所以v49
65
0
49
65
虽然运动员在0t6459这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
.新课讲授
1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?
比如,t2时的瞬时速度是多少?
考察t2附近的情况:
思考:
当t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势?
结论:
当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v都趋近于一个确定的值13.1.
从物理的角度看,时间t间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度,因此,运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s
为了表述方便,我们用limh(2t)h
(2)13.1
t0
表示“当t2,t趋近于0时,平均速度v趋近于定值13.1”小结:
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
limf(x0x)f(x0)limf
x0xx0x
我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数,记作f'(x0)或y'|xx,即
f(x0)lixm0
f(x0x)f(x0)
x
说明:
(1)导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
2)xxx0,当x0时,
xx0,所以f(x0)lixm0f(x)f(x0)
xx0
三.典例分析
例1.
(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
2
分析:
先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+(Δx)
解:
法一(略)
再求
6x再求
limf6
x0x
3x23123(x212)
法二:
y|x1lim3x31lim3(x1)lim3(x1)6
x1x1x1x1x1x1
2
2)求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
解:
y(1x)2(1x)23xxx
2
y(1x)2(1x)2xx
lixm(03
x)3
例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:
C)为f(x)x27x15(0x8),计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:
在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f'
(2)和f'(6)
根据导数定义,ff(2x)f(x0)
xx
22
(2x)27(2x)15(227215)x3x3x
所以f
(2)limlim(x3)3同理可得:
f(6)5
在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5,说明在2h附近,原油温度大约以
3C/h的速率下降,在第6h附近,原油温度大约以5C/h的速率上升.
注:
一般地,f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
四.课堂练习1.质点运动规律为st23,求质点在t3的瞬时速度为.
2.求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数.
3.例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
五.回顾总结:
1.瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.导数的概念六.布置作业
§1.1.3导数的几何意义
教学目标:
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题;教学重点:
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义;教学难点:
导数的几何意义.
教学过程:
一.创设情景
(一)平均变化率、割线的斜率
(二)瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况,导数f(x0)的几何意义是什么呢?
二.新课讲授
(一)曲线的切线及切线的斜率:
如图3.1-2,当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么?
图3.1-2
我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题:
⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?
⑵切线PT的斜率k为多少?
容易知道,割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时,kn无限趋近xnx0
于切线PT的斜率k,
即klixm0
f(x0x)f(x0)
x
f(x0)
P处的切线的斜率
说明:
(1)设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点
这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法
②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解
如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与
曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
即f(x0)lim①求出P点的坐标;
说明:
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤
②求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim
f(x0x)f(x0)k,得到曲线在点(x0,f(x0))
(二)导数的几何意义:
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率,f(x0x)f(x0)k
的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
是一个确定的数,那么,当x变化时,
(二)导函数:
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作:
f(x)或y,即:
f(xx)f(x)
即:
f(x)ylim注:
在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
(三)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系。
1)函数在一点处的导数f(x0),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。
2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数
3)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值,这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。
三.典例分析
例1:
(1)求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.
(2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
222
[(1x)21](121)2xx2
解:
(1)y|x1lixm0
lixm0
2,
x
所以,所求切线的斜率为
2,
因此,所求的切线方程为
y22(x1)即2xy0
2)因为y|x1lim
3x2
312lim3(x212)
x1x1x1
lim3(x1)6
所以,所求切线的斜率为
2
(2)求函数f(x)=x
y36(x1)即6xy30
解:
y(1x)2(1x)2xx
3x
f
(1)lixm0yx
2
(1x)2(1x)2
x
例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x26.5x10,根据图像,请描述、比较曲线h(t)
在t0、t1、t2附近的变化情况.
解:
我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线,刻画曲线h(t)在上述
lixm(03x)3
三个时刻附近的变化情况.
(1)当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴,所以,在tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当tt1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0,所以,在tt1附近曲线下降,即
2
函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减.
(3)当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0,所以,在tt2附近曲线下降,即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减.
从图3.1-3可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢.
例3.(课本例3)如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位:
mg/mL)随时间t(单位:
min)变化的图象.根据图像,估计t0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).
解:
血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.
如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作t0.8处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48),则它的斜率为:
k0.480.911.4所以f(0.8)1.4
1.00.7下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
t
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度瞬时变化率f'(t)
0.4
0
-0.7
-1.4
四.课堂练习
1.求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线;2.求曲线yx在点(4,2)处的切线.
五.回顾总结1.曲线的切线及切线的斜率;2.导数的几何意义
六.布置作业
§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标:
21
1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、yx2、y的导数公式;
x
2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.21教学重点:
四种常见函数yc、yx、yx2、y的导数公式及应用
x21教学难点:
四种常见函数yc、yx、yx2、y的导数公式
x教学过程:
一.创设情景
我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数yf(x),如何求它的导数呢?
由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.
二.新课讲授
1.函数yf(x)c的导数
根据导数定义,因为yxf(xxx)f(x)cxc0所以ylixm0xylixm000
函数
导数
yc
y0
y0表示函数yc图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0.若yc表示路程关于时
间的函数,则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.
2.函数yf(x)x的导数因为yf(xx)f(x)
x
lixm011
函数
导数
yx
y1
x
x
xxxy
xxx1,所以ylixm0yx
y1表示函数yx图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为间的函数,则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
1.若yx表示路程关于时
3.函数yf(x)x2的导数
因为yf(xx)f(x)(xx)2x2
xxx
x22xx(x)2x2x
所以ylimylim(2xx)2x
y2x表示函数yx2图像(图3.2-3)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变
函数
导数
2yx
y2x
化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:
当x0时,随着x的增加,函数yx2减少得越来越慢;当x0时,随着x的增加,函数yx2增加得越来越快.若yx2表示路程关于时间的函数,则y2x可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.
1
4.函数yf(x)的导数因为
x
11yf(xx)f(x)xxxxxx
x(xx)1
2
x(xx)xxxx
所以ylixm0yx
lixm(0
21)1222xxxx
(2)推广:
若三.课堂练习:
四.回顾总结五.布置作业
函数
导数
yc
y'0
yx
y'1
2yx
y'2x
1
'1
y
y2
x
x
yf(x)xn(nQ
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