第1章 第4节 数列在日常经济生活中的应用.docx
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第1章第4节数列在日常经济生活中的应用
§4 数列在日常经济生活中的应用
学习目标
1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”,“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义.
知识点一 单利、复利
思考1 第一月月初存入1000元,月利率0.3%,按单利计息,则每个月所得利息是否相同?
答案 按单利计息,上一个月的利息在下一个月不再计算利息,故每个月所得利息是一样的.
思考2 第一月月初存入1000元,月利率0.3%,按复利计息,则每个月所得利息是否相同?
答案 不同.因为按复利计息,上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金,所以每个月的利息是递增的.
梳理 一般地,
(1)单利是指:
仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.
利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和为a(1+rx).
(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期的本金是不同的.
利息按复利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和a(1+r)x.
知识点二 数列应用问题的常见模型
1.整存整取定期储蓄
一次存入本金金额为A,存期为n,每期利率为p,到期本息合计为an,则an=A(1+np).其本质是等差数列已知首项和公差求第n项问题.
2.定期存入零存整取储蓄
每期初存入金额A,连存n次,每期利率为p,则到第n期末时,应得到本息合计为:
nA+
Ap.其本质为已知首项和公差,求前n项和问题.
3.分期付款问题
贷款a元,分m个月将款全部付清,月利率为r,各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止.其本质是贷款按复利整存整取,还款按复利零存整取,到贷款全部还清时,贷款本利合计=还款本利合计.
1.复利在第二次计息时,将上一次的本利和当作本金.(√)
2.增长率=
.(√)
3.同一笔钱,相同的利率,用单利计息和用复利计息收益是一样的.(×)
类型一 等差数列模型
例1 第一年年初存入银行1000元,年利率为0.72%,那么按照单利,第5年末的本利和为________元.
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
答案 1036
解析 设各年末的本利和为{an},
由an=a(1+nr),其中a=1000,r=0.72%,
∴a5=1000×(1+5×0.72%)=1036(元).
即第5年末的本利和为1036元.
反思与感悟 把实际问题转化为数列模型时,一定要定义好数列,并确认该数列的基本量包括首项,公比(差),项数等.
跟踪训练1 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始,每个月的1号都存入100元,存期三年,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.问到期时,李先生一次可支取本息多少元?
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
解 设第n个月存入的100元到期利息为an,
则a1=100×2.7‰×36,
{an}是公差为100×2.7‰的等差数列.
∴数列{an}的前36项和S36=36a1+
d
=36×100×2.7‰×36+18×35×100×2.7‰=179.82,
3年共存入本金100×36=3600(元).
∴到期一次可支取3600+179.82=3779.82(元).
类型二 等比数列模型
例2 现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用1年期自动转存业务,则5年末的本利和是________万元.
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 8×1.0255
解析 定期自动转存属于复利问题,设第n年末本利和为an,则
a1=8+8×0.025=8×(1+0.025),
a2=a1+a1×0.025=8×(1+0.025)2,
a3=a2+a2×0.025=8×(1+0.025)3,
∴a5=8×(1+0.025)5,
即5年末的本利和是8×1.0255.
反思与感悟 在建立模型时,如果一时搞不清数列的递推模式,可以先依次计算前几项,从中寻找规律.
跟踪训练2 银行一年定期储蓄存款年息为r,按复利计算利息;三年定期储蓄存款年息为q,按单利计算利息.银行为吸收长期资金,鼓励储户存三年定期的存款,那么q的值应大于________.
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案
[(1+r)3-1]
解析 设储户开始存入的款数为a,由题意得,a(1+3q)>a(1+r)3,∴q>
[(1+r)3-1].
类型三 分期付款
例3 用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套,如果购买时先付5万元,以后每年付2万元加上欠款利息.签订购房合同后1年付款一次,再过1年又付款一次,直到还完后为止,商定年利率为10%,则第5年该付多少元?
购房款全部付清后实际共付多少元?
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
解 购买时先付5万元,余款20万元按题意分10次分期还清,每次付款数组成数列{an},
则a1=2+(25-5)·10%=4(万元);
a2=2+(25-5-2)·10%=3.8(万元);
a3=2+(25-5-2×2)·10%=3.6(万元),…,
an=2+[25-5-(n-1)·2]·10%=
(万元)(n=1,2,…,10).
因而数列{an}是首项为4,公差为-
的等差数列.
a5=4-
=3.2(万元).
S10=10×4+
=31(万元).
因此第5年该付3.2万元,购房款全部付清后实际共付36万元.
反思与感悟 建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则.不易理解时就先试行规则,从中观察归纳找到规律.
跟踪训练3 某企业在今年年初贷款a万元,年利率为γ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计5年还清,则每年应偿还( )
A.
万元B.
万元
C.
万元D.
万元
考点 等比数列的前n项和应用题
题点 等比数列的前n项和应用题
答案 B
解析 根据已知条件知本题属于分期付款问题,设每年应偿还x万元,则
x[(1+γ)4+(1+γ)3+…+1]=a(1+γ)5,
∴x·
=a(1+γ)5
故x=
(万元).
1.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天它飞出去找回了5个小伙伴;第2天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程断续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( )
A.65只B.66只C.216只D.36只
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 B
解析 设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂,则a1=1,a2=5a1+a1=6a1,a3=5a2+a2=6a2,…,
∴{an}是首项为1,公比为6的等比数列.
∴a7=a1·q7-1=66.
2.某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,……,按照这种规律进行下去,6小时后细胞的存活数是( )
A.32B.31C.64D.65
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 D
解析 可递推下去,4小时后分裂成18个并死去一个,5小时后分裂成34个并死去一个;6小时后分裂成66个并死去一个,65个存活.
3.一群羊中,每只羊的重量数均为整千克数,其总重量为65千克,已知最轻的一只羊重7千克,除去一只10千克的羊外,其余各只羊的千克数恰构成一等差数列,则这群羊共有( )
A.6只B.5只C.8只D.7只
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
答案 A
解析 依题意除去一只羊外,其余n-1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列.
设a1=7,d>0,Sn-1=65-10=55,
∴(n-1)a1+
d=55,
即7(n-1)+
=55,
∴(n-1)
=55.
∵55=11×5且(n-1)为正整数,
为正整数.
∴
解得n=6.
1.数列应用问题的常见模型
(1)一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时,那么该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差,其一般形式是:
an+1-an=d(d为常数).
(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时,那么该模型是等比模型.
(3)如果容易找到该数列任意一项an+1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题.
2.数列综合应用题的解题步骤
(1)审题——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.
(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.
(3)求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答.
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
一、选择题
1.夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度,已知山脚气温为26度,山顶气温为14.1度,那么此山相对山脚的高度为( )
A.1600米B.1700米
C.1800米D.1900米
考点 等差数列的应用题
题点 等差数列的应用题
答案 B
解析 从山脚到山顶气温的变化成等差数列,首项为26,末项为14.1,公差为-0.7,设数列的项数为n,则14.1=26+(n-1)×(-0.7),解得n=18,所以山的高度为h=(18-1)×100=1700(米).
2.通过测量知道,温度每降低6℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温27℃时,该元件的电子数目接近( )
A.860个B.1730个
C.3072个D.3900个
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 C
解析 由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,
=10
,
可得,a11=3·210=3072,故选C.
3.一个卷筒纸,其内圆直径为4cm,外圆直径为12cm,一共卷60层,若把各层都视为一个同心圆,π=3.14,则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( )
A.14mB.15m
C.16mD.17m
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
答案 B
解析 纸的厚度相同,且各层同心圆直径成等差数列,则l=πd1+πd2+…+πd60=60π·
=480×3.14=1507.2(cm)≈15m,故选B.
4.某放射性物质的质量每天衰减3%,若此物质衰减到其质量的一半以下,则至少需要的天数是(参考数据lg0.97=-0.0132,lg0.5=-0.3010)( )
A.22B.23
C.24D.25
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 B
解析 依题意有(1-3%)n<0.5,
所以n>
≈22.8,故选B.
5.某人从2009年1月1日起,且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期),若年利率r保持不变,且每年到期后存款均自动转为新一年定期,至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数(单位为元)为( )
A.a(1+r)7
B.
[(1+r)7-(1+r)]
C.a(1+r)8
D.
[(1+r)8-(1+r)]
考点 等比数列的前n项和应用题
题点 等比数列的前n项和应用题
答案 B
解析 2009年存入钱为a元,2010年本息和为a+a(1+r),
2011年本息和为a+a(1+r)+a(1+r)2,
2012年本息和为a+a(1+r)+a(1+r)2+a(1+r)3,
2013年本息和为a+a(1+r)+a(1+r)2+a(1+r)3+a(1+r)4,
2014年本息和为a+a(1+r)+a(1+r)2+a(1+r)3+a(1+r)4+a(1+r)5,
2015年本息和为a(1+r)+a(1+r)2+a(1+r)3+a(1+r)4+a(1+r)5+a(1+r)6,
故选B.
6.某厂在2010年年底制定生产计划,要使2020年年底的总产量在原有基础上翻两番(变为原来的四倍),则年平均增长率为( )
A.
-1B.
-1C.
-1D.
-1
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 A
解析 设年增长率为x,2010年总产量为1,到2020年年底翻两番后的总产量为4,故1·(1+x)10=4,∴x=
-1.
二、填空题
7.小王每月除去所有日常开支,大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行a元,存期1年(存12次),到期取出本息和.假设一年期零存整取的月利率为r,每期存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为________元.
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
答案 78ar
解析 依题意得,小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+…+3ar+2ar+ar=78ar.
8.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a吨,由此预测,该区下一年的垃圾量为________吨,2016年的垃圾量为________吨.
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案 a(1+b) a(1+b)7
解析 2009年产生的垃圾量为a吨,下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基础之上增长了ab吨,所以下一年的垃圾量为a(1+b)吨;2016年是从2009年起再过7年,所以2016年的垃圾量是a(1+b)7吨.
9.某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平,则这三次价格平均回升率是________.
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案
-1
解析 设6月份降价前的价格为a,三次价格平均回升率为x,则a×90%×(1+x)3=a,
∴1+x=
,x=
-1.
10.某大楼共有20层,有19人在第1层上了电梯,他们分别要去第2层至第20层,每层1人,而电梯只允许停1次,可只使1人满意,其余18人都要步行上楼或下楼,假设乘客每向下走1层的不满意度为1,每向上走一层的不满意度为2,所有人的不满意度之和为S,为使S最小,电梯应当停在________层.
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
答案 14
解析 设停在第x层,则
S=[1+2+…+(20-x)]×2+[1+2+…+(x-2)]=
+421,
∴当x=
时取最小值,
而x∈{2,3,…,20},
∴当x=14时取最小值.
三、解答题
11.家用电器一件,现价2000元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买后一个月付款一次,每月付款一次,共付12次,购买后一年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少?
(1.00812=1.1).
考点 等比数列的前n项和应用题
题点 等比数列的前n项和应用题
解 方法一 设每期应付款x元.
第1期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x(1+0.008)11(元).
第2期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x(1+0.008)10(元),…,
第12期付款没有利息.
所以各期付款连同利息之和为
x(1+1.008+…+1.00811)=
x,
又所购电器的现价及其利息之和为2000×1.00812,
于是有
x=2000×1.00812,
解得x=
=176(元).
即每期应付款176元.
方法二 设每期应付款x元,则
第1期还款后欠款2000×(1+0.008)-x
第2期还款后欠款(2000×1.008-x)×1.008-x
=2000×1.0082-1.008x-x,
…,
第12期还款后欠款2000×1.00812-(1.00811+1.00810+…+1)x,
第12期还款后欠款应为0,
所以有2000×1.00812-(1.00811+1.00810+…+1)x=0.
∴x=
=176(元).
即每期应还款176元.
12.假设某市2009年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年年底
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
(1.085≈1.47)
考点 等差数列的前n项和应用题
题点 等差数列前n项和应用题
解
(1)设中低价房面积构成数列{an},由题意可知{an}是等差数列.其中a1=250,d=50,
则Sn=250n+
×50=25n2+225n.
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.
∴到2018年年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积构成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列.
其中b1=400,q=1.08,则bn=400×1.08n-1.
由题意可知an>0.85bn,
有250+(n-1)·50>400×1.08n-1×0.85.
由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n=6,
∴到2014年年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
13.为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换10000辆燃油型公交车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比一年多投入a辆.设an,bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,设Sn,Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.
(1)求Sn,Tn,并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn;
(2)该市计划用7年时间完成全部更换,求a的最小值.
考点 等比数列的前n项和应用题
题点 等比数列的前n项和应用题
解
(1)依题意知,数列{an}是首项为128,公比为1+50%=
的等比数列;
数列{bn}是首项为400,公差为a的等差数列,
所以数列{an}的前n项和Sn=
=256·
,
数列{bn}的前n项和Tn=400n+
a.
所以经过n年,该市更换的公交车总数Fn=Sn+Tn=256
+400n+
a.
(2)易知Fn是关于n的单调递增函数,
依题意得F7≥10000,
即256
+400×7+
a≥10000,
解得a≥
,
又a∈N+,所以a的最小值为147.
四、探究与拓展
14.如图是毕达哥拉斯的生长程序:
正方形上连接着一个等腰直角三角形,等腰直角三角形的直角边上再连接正方形,…,设起始正方形的边长为
,若共有1023个正方形,则最小正方形的边长为________.
考点 等比数列的应用题
题点 等比数列的应用题
答案
解析 由题意可知,正方形的边长构成以
为首项,
为公比的等比数列.
设连接n次后可得到1023个正方形.
由题意可知,1+2+…+2n=1023,
∴n=9,∴最小正方形的边长为
×
9=
.
15.某软件公司新开发一款学习软件,该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情,每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币).该软件提供了三种奖励方案:
第一种,每闯过一关奖励40慧币;第二种,闯过第一关奖励4慧币,以后每一关比前一关多奖励4慧币;第三种,闯过第一关奖励
慧币,以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍).游戏规定:
闯关者需在闯关前任选一种奖励方案.
(1)设闯过n(n≤12,且n∈N+)关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为An,Bn,Cn,试求出An,Bn,Cn的表达式;
(2)如果你是一名闯关者,为了得到更多的慧币,你应如何选择奖励方案?
考点 等比数列的前n项和应用题
题点 等比数列的前n项和应用题
解
(1)第一种奖励方案中,闯过各关所得慧币构成常数列,
∴An=40n(n≤12,且n∈N+).
第二种奖励方案中,闯过各关所得慧币构成首项为4,公差为4的等差数列,
∴Bn=4n+
×4=2n2+2n(n≤12,且n∈N+).
第三种奖励方案中,闯过各关所得慧币构成首项为
,公比为2的等比数列,
∴Cn=
=
(2n-1)(n≤12,n∈N+).
(2)令An>Bn,即40n>2n2+2n(n≤12,n∈N+),
解得0
令An>Cn,即40n>
(2n-1)(n≤12,n∈N+),
可得0 ∴当0 综上可知,若冲过的关数小于10时,应选用第一种奖励方案;若冲过的关数大于等于10时,应选用第三种奖励方案.
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