八年级数学上册 第六章 一次函数教案 北师大版教案.docx
- 文档编号:13030841
- 上传时间:2023-06-10
- 格式:DOCX
- 页数:72
- 大小:164.64KB
八年级数学上册 第六章 一次函数教案 北师大版教案.docx
《八年级数学上册 第六章 一次函数教案 北师大版教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《八年级数学上册 第六章 一次函数教案 北师大版教案.docx(72页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
八年级数学上册第六章一次函数教案北师大版教案
§6.1函数
知识与技能目标:
1.初步掌握函数概念,能判断两个变量间的关系是否可看做函数.
2.根据两个变量间的关系式,给定其中一个量,相应地会求出另一个量的值.
3.会对一个具体实例进行概括抽象成为数学问题.
过程与方法目标:
1.通过函数概念,初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
2.经历具体实例的抽象概括过程,进一步发展学生的抽象思维能力.
情感态度与价值观目标:
1.经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想.
2.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
教学重点
1.掌握函数概念.
2.判断两个变量之间的关系是否可看做函数.
3.能把实际问题抽象概括为函数问题.
教学难点
1.理解函数的概念.
2.能把实际问题抽象概括为函数问题.
教学方法
主导式学习法.
教具准备
投影片两张:
第一张:
例题(记作§6.1A);
第二张:
练习(记作§6.1B).
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,导入新课
[师]同学们,你们看图5—1上面那个像车轮状的物体是什么吗?
[生]是摩天轮.
[师]你们坐过吗?
[生]没有.
[师]尽管没有坐过,但我们也可以想像一下坐在上面的感觉.
[生]因为是轮,当轮在转动的时候,人可由高处到低处或由低处到高处,所以特别刺激.
[生]因为人随着转,所以一会儿高,一会儿低.
[师]也就是说,当你坐在摩天轮上时,人的高度随时在变化,那么变化是否有规律呢?
[生]应该有规律,因为人随轮一直做圆周运动.所以人的高度过一段时间就会重复一次,即转动一圈高度就重复一次.
[师]大家分析的非常有道理,摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系,请看图5—1,反映了旋转时间t(分)与摩天轮上一点的高度h(米)之间的关系.
大家从图上可以看出,每过6分钟摩天轮就转一圈.高度h完整地变化一次.而且从图中大致可以判断给定的时间所对应的高度h.下面根据图5—1进行填表.
[生]当t为0时,h约为3米,
当t为1分时,h约为11米,
当t为2分时,h约为37米,
当t为3分时,h约为45米,
当t为4分时,h约为37米,
当t为5分时,h约为11米.……
[师]对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?
[生]确定.
[师]在这个问题中,我们研究的对象有几个?
分别是什么?
[生]研究的对象有两个,是时间t和高度h.
[师]非常正确.生活中充满着许许多多变化的量,你了解这些变量之间的关系吗?
如弹簧的长度与所挂物体的质量,输液时间与相应时间内的水滴数目……了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界,下面我们就去研究一些有关变量的问题.
Ⅱ.讲授新课
一、做一做
1.按如图所示画圆圈,并填写下表.
层数n
1
2
3
4
5
…
圆圈总数
1
3
6
10
15
…
[师]在这个问题中的变量有几个?
分别是什么?
[生]变量有两个,是层数与圆圈总数.
投影片(§6.1A)
2.在平整的路面上,某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米,一般地有经验公式S=
,其中V表示刹车前汽车的速度(单位:
千米/时).
(1)计算当V分别为50,60,100时,相应的滑行距离S是多少?
(2)给定一个V值,你能求出相应的S值吗?
[师]这个问题对大家来说难度不大,所以我直接让大家进行计算并回答.
[生]
(1)当V=50时,S=
=
(米)
当V=60时,S=
=12(米)
当V=100时,S=
(米)
(2)给定一个V值,就能求出相应的S值.
二、议一议
[师]在上面我们共研究了三个问题,下面大家探讨一下,在这三个问题中的共同点是什么?
相异点又是什么呢?
[生]相同点是:
这三个问题中都研究了两个变量.
不同点是:
在第一个问题中,是以图象的形式表示两个变量之间的关系;第二个问题中是以表格的形式表示两个变量间的关系;第三个问题是以代数表达式来表示两个变量间的关系的.
[师]非常棒,可见大家是经过了一番研究的,而且大家的研究水平已有很大提高,在学习的过程中就应该以这种探索的精神去解决问题,不仅能把知识学深、学透,更重要的是培养了大家解决问题的能力.这位同学基本上总结的是全面的.
上面分别以图象、表格、代数表达式三种形式呈现了生活化的场景,通过对这三个问题的研究,让大家明确“给定其中某一个变量的值,相应地就确定了另一个变量的值”这一共性。
三、函数的概念
在上面各例中,都有两个变量,给定其中某一个变量(自变量)的值,相应地就确定了另一个变量(因变量)的值.
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
四、例题讲解
已知菱形ABCD的对角线AC长为4,BD的长x在变化,则菱形的面积为y=
×4×x,即y=2x.
本题中有n个变量,能把其中某个变量看成另一个变量的函数吗?
[生]本题中有两个变量,即BD的长x,菱形的面积y,y是x的函数.
Ⅲ.课堂练习
投影片(§6.1B)
下列变化过程得出的函数关系式是否正确,如果错误,请指出正确的结果;如果正确,指出式子中的自变量和因变量.
(1)设一长方体盒子高为10cm,底面是正方形,这个长方体的体积V(cm3)与底面边长a(cm)的关系式为V=10a2;
(2)某市出租车起步价是7元(路程小于或等于2千米),超过2千米每增加1千米加收1.6元,出租车车费y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式为y=1.6(x-2)+7(x≥2);
(3)计划花500元购买篮球,所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系为n=
;
(4)用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S(m2)与一边长l(m)之间的关系式为S=l(60-l).
[师]请大家先独立思考,再进行交流.
[生]解:
(1)因为长方体的体积为长乘宽乘高,而长、宽、高分别为10、a、a.所以V=10a2正确.自变量是a,因变量是V.
(2)y=1.6(x-2)+7(x≥2)正确,其中x是自变量,y是因变量.
(3)n=
正确.
其中a是自变量,n是因变量.
(4)S=l(60-l)错误.
因为60m是矩形的周长,所以相邻两边的和为30cm,其中一边长为l(m),则另一边长为(30-l)m,所以S=l(30-l).
Ⅳ.课时小结
本节课应掌握如下内容.
1.初步掌握函数概念,能判断两个变量间的关系是否可看做函数.
2.在一个函数关系式中,能识别自变量与因变量,给定自变量的值,相应地会求出函数的值.
3.函数的三种表达形式
(1)图象;
(2)表格;
(3)代数表达式.
Ⅴ.课后作业
习题1
1.解:
这个图象反映了距离S与高度h两个变量之间的关系.
2.当S=0米时,h=2.0米.
当S=1米时,h=2.5米.
当S=2米时,h=2.65米.
当S=3米时,h=2.5米.
当S=4米时,h=2.0米.
当S=5米时,h=1.2米.
当S=6米时,h=0米.
(3)当距离S取0米至6米之间的一个确定的值时,相应的高度h确定.
(4)高度h可以看成距离S的函数.
Ⅵ.活动与探究
为了加强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准;每户每月的用水不超过10吨时,水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x吨(x>10),应交水费y元,请用方程的知识来求有关x与y的关系式,并判断其中一个变量是否为另一变量的函数.
解:
y=1.2×10+(x-10)×1.8
即y=12+1.8x-18
∴y=1.8x-6
其中变量y是变量x的函数
∵y=1.8x-6
∴x=
∴x也可以看成y的函数.
板书设计
§6.1函数
一、做一做(S随V变化)
二、议一议(两个变量间的关系)
三、函数的概念
四、例题讲解(菱形的面积与对角线的关系)
五、课堂练习
六、课时小结
七、课后作业
§6.2一次函数
知识与技能目标:
1.理解一次函数和正比例函数的概念,以及它们之间的关系.
2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
过程与方法目标:
1.经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力.
2.通过由已知信息写一次函数表达式的过程,发展学生的数学应用能力.
情感态度与价值观目标:
1.通过函数与变量之间的关系的联系,一次函数与一次方程的联系,发展学生的数学思维.
2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力.
教学重点
1.一次函数、正比例函数的概念.
2.一次函数、正比例函数的关系.
3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.
教学难点
一次函数知识的运用.
教学方法
老师引导学生自学法.
教具准备
投影片三张:
第一张:
补充练习(记作§6.2A);
第二张:
补充练习(记作§6.2B);
第三张:
补充练习(记作§6.2C).
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,导入新课
[师]在上节课我们已学习过函数的概念,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数(fanction),其中x是自变量,y是因变量.在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题.大家能不能举一些例子呢?
[生]假设某人骑自行车的速度为10公里/时,则他骑自行车用的时间t(小时)和所走过的路程S之间的关系为S=10t,这就是一个函数关系式,t是自变量,y是因变量,y是t的函数.
[生]上网的费用为2元/时,则上网t小时,费用y是y=2t,这也是一个函数关系式,t是自变量,y是t的函数.
[生]李明有20元钱,他要买2个笔记本,设每个笔记本为x元(x<10),则所剩的钱y与x之间的关系为y=20-2x,这也是一个函数关系式,其中x是自变量,y是x的函数.
[师]非常好,可见大家对函数的概念已理解了,并且大家能把身边的事和函数联系在一起,这确实是相当不错的,学习的目的就是要把所学知识运用于实际生活中,所以大家就应把生活中的问题联系到所学知识中.在以后的学习中大家还要继续发扬下去.
刚才三位同学举出了三个函数关系式,即s=10t;y=2t;y=20-2x这三个关系式一样吗?
本节课就来研究此问题。
Ⅱ.讲授新课
[师]有关函数问题在我们日常生活中随处可见,如弹簧秤有自然长度,在弹性限度内,随着所挂物体的重量的增加,弹簧的长度相应的会拉长,那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系.究竟有什么样的关系,请看:
一、试一试
某弹簧的自然长度为3厘米.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米.
(1)计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度,并填入下表:
x/千克
y/厘米
(2)你能写出x与y之间的关系式吗?
[生]
(1)计算如下:
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
3
3.5
4
4.5
5
5.5
(2)当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,当增加1千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体每增加1千克,弹簧就伸长0.5厘米,所挂物体为x千克,弹簧就伸长0.5x厘米,则弹簧总长为原长加伸长的长度,即y=3+0.5x.
[师]这位同学不仅做的对,而且分析得非常好.
二、做一做
某辆汽车油箱中原有汽油100升,汽车每行驶50千米耗油9升.
(1)完成下表:
汽车行驶路程x/千米
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量y/升
你能写出x与y之间的关系吗?
[生]解:
(1)表格中依次填100升,91升,82升,73升,64升,46升.
(2)y=100-
×9,即y=100-0.18x
因为剩余油量等于原有汽油减去耗去的油,每行驶50千米耗油9升,当行驶x千米时,耗油应为
×9升,所以y=100-0.18x.
三、一次函数,正比例函数的概念.
[师]上面的两个函数关系式为y=3+0.5x,y=100-0.18x,大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系吗?
[生]左边是因变量y,右边是含自变量的代数式.
[生]自变量和因变量的指数都是一次.
[师]请大家从形式上加以考虑.
[生]形式为y=kx+b,k,b为常数.
[师]若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(linearfunction)(x为自变量,y为因变量).特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.
四、例题讲解
[例1]写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断,y是否为x的一次函数?
是否为正比例函数?
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;
(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系;
(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y(厘米).
[师]这个例题主要是要考查大家对正比例函数和一次函数的概念的理解.请大家根据自己的理解回答问题.
[生]解:
(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数;
(2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.
(3)这棵树每月长高2厘米,x个月长高了2x厘米,因而y=50+2x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.
[例2]我国现行个人工资薪金税征收办法规定:
月收入低于800元的部分不收税;月收入超过800元但低于1300元的部分征收5%的所得税……如某人月收入1160元,他应缴个人工资薪金所得税为(1160-800)×5%=18(元)
(1)当月收入大于800元而又小于1300元时,写出应缴所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式.
(2)某人月收入为960元,他应缴所得税多少元?
(3)如果某人本月缴所得税19.2元,那么此人本月工资薪金是多少元?
[师]分析,所缴税等于应缴税的工资部分乘以5%,即(x-800)×5%;当月收入为960元时,应缴税为(960-800)×5%;如果已知缴税19.2元,首先应判断应缴税的工资是否在范围之内,即是否在800~1300之间,如果是则可用
(1)中的方法求解;若不在这个范围之内,税率将不全是5%,在800~1300之间的按5%计算,超过1300的另按税率计算.
解:
(1)当月收入大于800元而小于1300元时,
y=0.05×(x-800);
(2)当x=960时,
y=0.05×(960-800)=8(元);
(3)当x=1300时,
y=0.05×(1300-800)=25(元)
∵25>19.2
∴此人本月工资少于1300元.
设此人本月工资是x元,则
0.05×(x-800)=19.2
∴x=1184
即此人本月工资薪金是1184元.
Ⅲ.课堂练习
(一)随堂练习
1.解:
y=2.2x
y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
2.解:
y=100+8x
y是x的一次函数.
(二)补充练习
投影片(§6.2A)
1.在下列函数中,x是自变量,y是因变量,哪些是一次函数?
哪些是正比例函数?
y=2x;y=-
;
y=-3x+1;y=x2
[生]解:
y=2x是一次函数,也是正比例函数.
y=-3x+1是一次函数.
投影片(§6.2B)
2.某商店出售某商品时,在进价的基础上加一定的利润,其数量x与售价y的关系如下表所示,请根据表中所提供的信息,列出y与x的函数关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
1
2
3
4
…
售价y/元
8+0.4
16+0.8
24+1.2
32+1.6
…
[生]
∵8+0.4=8×1+0.4×1
16+0.8=8×2+0.4×2
24+1.2=8×3+0.4×3
32+1.6=8×4+0.4×4……
∴y=8x+0.4x=8.4x
当x=2.5时
y=8.4×2.5=21(元)
投影片(§6.2C)
3.为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某城市规定用水收费标准如下:
每户每月用水量不超过6米3时,水费按0.6元/米3收费;每户每月用水量超过6米3时,超过的部分按1元/米3收费.设某户每月用水量为x米3,应缴水费y元.
(1)写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时,y与x之间的函数关系式,并判断它们是否为一次函数.
(2)已知某户5月份的用水量为8米3,求该用户5月份的水费.
[生]解:
(1)每月用水量不超过6米3时,
y=0.6x,y是x的一次函数,也是正比例函数;
每月用水量超过6米3时.
y=x-2.4.
y是x的一次函数.
(2)y=8-2.4=5.6(元)
答:
该用户5月份的水费为5.6元.
Ⅳ.课时小节
本节课学习了如下内容:
1.一次函数、正比例函数的概念,以及它们之间的关系,正比例函数是一次函数的特殊情况.正比例函数是一次函数,一次函数不一定是正比例函数.
2.会根据已知信息写出一次函数的表达式.
Ⅴ.课后作业
2.解:
(1)y=50+0.4x;
(2)当x=152时,y=50+0.4×152=110.8(元);
(3)200-50=150
=375(分)
即该用户本月可通话375分.
3.解:
(1)y=0.6x;
(2)当x=152时,y=0.6×152=91.2(元);
(3)200÷0.6≈333(分)
即该用户本月可通话333分.
Ⅵ.活动与探究
某电信公司手机的A类收费标准如下:
不管通话时间多长,每部手机每月必须缴月租费50元,另外,每通话1分交费0.4元;B类收费标准如下:
没有月租费,但每通话1分收费0.6元,完成下列各题.
(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系式;
(2)若每月通话时间为300分,你选择哪类收费方式?
(3)每月通话时间多长时,按A、B两类收费标准缴费,所缴话费相等?
(4)你选择哪类收费标准?
解:
(1)A类收费的关系式为:
y1=50+0.4x;
B类收费方式的关系式为:
y2=0.6x;
(2)当x=300分时,
y1=50+0.4×300=170(元)
y2=0.6×300=180(元)
所以每月通话时间为300分时,应选择A类收费方式.
(3)当y1=y2,即50+0.4x=0.6x时,
∴x=250(分)时,两类收费方式所缴话费相等.
(4)∵y1=50+0.4x,y2=0.6x
当y1<y2,即50+0.4x<0.6x,x>250时,选择A类收费方式;
当y1=y2,即50+0.4x=0.6x,x=250时,选择A、B两类收费方式都可以;
当y1>y2,即50+0.4x>0.6x,x<250时,选择B类收费方式.
板书设计
§6.2一次函数
一、试一试
二、做一做(确定函数关系式)
三、一次函数、正比例函数的概念及关系
四、例题讲解
五、课堂练习
六、课时小节
七、课后作业
§6.3.1一次函数的图象
(一)
知识与技能目标:
1.理解函数图象的概念.
2.经历作图过程,初步了解作函数图象的一般步骤.
3.理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.
4.能熟练作出一次函数的图象.
过程与方法目标:
1.已知解析式作函数的图象,培养学生数形结合的意识和能力.
2.在探究活动中发展学生的合作意识和能力.
情感态度与价值观目标:
1.经历作图过程,归纳总结作函数图象的一般步骤,发展学生的总结概括能力.
2.加强新旧知识的联系,促进学生新的认知结构的建构.
教学重点
1.能熟练地作出一次函数的图象.
2.归纳作函数图象的一般步骤.
3.理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.
教学难点
理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系.
教学方法
讲、议结合法.
教具准备
投影片两张:
第一张:
补充练习(§6.3.1A);
第二张:
补充练习(§6.3.1B).
教学过程
Ⅰ.导入新课
[师]上节课我们学习了一次函数及正比例函数的概念,正比例函数与一次函数的关系,并能根据已知信息列出x与y的函数关系式,本节课我们来研究一下一次函数的图象及性质.
Ⅱ.讲授新课
一、函数图象的概念
[师]要研究一次函数的图象,首先应知道什么叫图象?
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象(graph).
假设在代数表达式y=2x中,自变量x取1时,对应的因变量y=2,则我们可在直角坐标系内或描出表示(1,2)的点,再给x的另一个值,对应又一个y,又可知直角坐标系内描出一个点,所有这些点组成的图形叫该函数y=2x的图象.由此看来,函数图象是满足函数表达式的所有点的集合.
那么应如何作函数的图象呢?
二、作一次函数的图象
[例1]作出一次函数y=
x+1的图象.
[师]根据图象的定义,需要先找点.所以要先列表,找满足条件的点,再描点,连线.
解:
列表
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=
x+1
…
0
1
2
…
描点:
以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.
连线:
把这些点依次连接起来,得到y=
x+1的图象如下,它是一条直线.
[师]从刚才我们作图的情况来总结一下,作一次函数的图象有哪些步骤呢?
[生]①列表;②描点;③连线.
三、做一做
(1)作出一次函数y=-2x+5的图象.
(2)在所作的图象上取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,并验证它们是否满足关系式y=-2x+5.
[生]列表
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=-2x+5
…
9
7
5
3
1
…
描点:
以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.
连线:
把这些点依次连接起来,得到y=-2x+5的图象,它是一条直线.
图象如下:
在图象上找点A(3,-1),B(4,-3)
当x=3时,y=-2×3+5=-1.
当x=4时,y=-2×4+5=-3.
∴(3,-1),(4,-3)满足关系式y=-2x+5.
四、议一议
(1)满足关系式y=-2x+5的x、y所对应的点(x,y)都在一次函数y=-2x+5的图象上吗?
(2)一次函数y=-2x+5的图象上的点(x,y)都满足关系式y=-2x+5吗?
(3)一次函数y=kx+b的图象有什么特点?
[师]请大家分组讨论,然后回答.
[生]满足关系式y=-2x+5的x,y所对应的点(x,y)都在一次函数y=-2x+5的图象上.
(2)一次函数y=-2x+5的图象上的点(x,y)都满足关系式y=-2x+5.
[师]由此看来,满足函数关系式y=-2x+5的x,y所对应的点(x,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 八年级数学上册 第六章 一次函数教案 北师大版教案 八年 级数 上册 第六 一次 函数 教案 北师大
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)
文档标签
- 第2章二次函数北师大学年九年级
- 一次函数学年北师大
- 八年级上册数学第4章一次函数
- 北师大年级一次函数
- 年秋八年级数学上册一次函数教学案新版北师大版八年
- 北师大八年级数第一章
- 北师大年级数学第一次
- 北师大数学一次函数
- 北师版八年级数第一章
- 北师大八年级数第六
- 北师大数学六章刘姐
- 北师大版八年级数学上册第2章教案北师大八年
- 第4章一次函数北师大八年
- 一次函数北师大年级上册
- 一次函数北师大八年
- 北师大版数学八年级上册第4章443
- 年级北师大一次函数
- 一次函数学年八年级数学上册《一次函数》教案北师大版doc
- 二次函数九年级下册数学
- 小学年级数学第二次
- 北师大九年级下册第二
- 三年级数学下册第二次
- 北师大版九年级数学下册第二章二次函数练习题北师大九年级
- 年级下册数学二次
- 北师大年级数学第二
- 北师大第十二数学第二
- 北师大年级第二实数