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图形的平移与旋转文档
图形的平移与旋转
(一)图形的平移
1、平移的概念:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小.
注:
(1)平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换.
(2)图形的平移有两个要素:
一是图形平移的方向,二是图形平移的距离,这两个要素是图形平移的依据.
(3)图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.
2.平移的基本性质:
由平移的基本概念知,经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离,平移不改变图形的形状和大小,因此平移具有下列性质:
经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
3.简单的平移作图
平移作图:
确定一个图形平移后的位置所需条件为:
①图形原来的位置;②平移的方向;③平移的距离.
例题精讲
例1、、以下现象:
①电梯的升降运动;②飞机在地面沿直线滑行;③风车的转动,④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是()
A.②③B、②④C.①②D.①④
例2、观察图1-3-8图案,在A、B、C、D四幅图案中,能通过图案图1-3-7的平移得到的是()
例3、如图1―3―12图案中可以看作由图案自身的一部分经过平移后而得到的是()
例4、将长度为3cm的线段向上平移20cm,所得线段的长度是()
A.3cmB.23cmC.20cmD.17cm
例5、如图,经过平移,小船上的点A移到了点B,作出平移后的小船。
A
B
针对性训练:
1、下面的四幅图案中,哪个图案是由左边的图案平移()
2、下列四个图形中,不能通过基本图形平移得到的是()
3、如右图,若线段AB是由线段CD平移面得到的,则线段AB与CD的关系
是且
4、下列说法正确的是()
A.由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等
B.我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方向的平移”
C.小明第一次乘观光电梯,随着电梯向上升,他高兴地对同伴说:
“太棒了,我现在比大楼还高呢,我长高了!
”
D.在图形平移过程中,图形上可能会有不动点
5、如果同一平面的两个图形通过平移,不论其起始位置如何,总能完全重合,则这两个图形是()
A.两个点B.两个半径相等的圆
C.两个点或两个半径相等的圆D.两个等边三角形
6、关于平移的说法,下列正确的是()
A.经过平移对应线段相等B.经过平移对应角可能会改变
C.经过平移对应点所连的线段不相等D.经过平移图形会改变
7、如右图,矩形ABCD经过平移后成为矩形EFGH,矩形长
和宽分别为6和4,图中DE=5,那么矩形ABCD平移的
距离为_________
8、如图,将图形沿虚线的方向平移到新的位置,画出平移后的图形;
(二)图形的旋转
1.旋转的概念:
图形绕着某一点(固定)转动的过程,称为旋转,这一固定点叫做旋转中心.
理解旋转这一概念应注意以下两点:
(1)旋转和平移一样是图形的一种基本变换
(2)图形旋转的决定因素是旋转中心、旋转方向和旋转的角度.
2.旋转的基本性质:
图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角都相等,图形的形状、大小都不发生变化.
3.简单图形的旋转作图
两种情况:
(1)给出绕着旋转的定点,旋转方向和旋转角的大小;
(2)给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点.
作图步骤:
(1)作出图形的几个关键点旋转后的对应点;
(2)顺次连接各点得到旋转后的图形.
以上这种方法可概括为“以局部定整体”的作图法,体现了点、线、面之间的转化关系,作图过程应遵循点动成线,线动成面的基本规律.
4.图案设计:
图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的.
例题精讲
例1、如图可以看作正△OAB绕点O通过( )旋转所得到的
A.3次 B.4次 C.5次 D.6次
例2、如下图所示,图形
经过_______变化成图形
,
图
(2)
图(3)
图
(1)
图形
经过______变化成图形
例3、△ABC是等腰直角三角形,如图1-3-30,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上一点,△ACD经过旋转到达△ABE的位置,则其旋转角的度数为()
A.90°B.120°C.60°D.45°
例4、在下图中,将大写字母E绕点O按逆时针方向旋转90°后,再向左平移4个格,请作出最后得到的图案.
针对性训练
1、下列说法正确的是()
A.旋转后的图形的位置一定改变B.旋转后的图形的位置一定不变
C.旋转后的图形的位置可能不变D.旋转后的图形的位置和形状都发生变化
2、、下列关于旋转和平移的说法错误的是()
A.旋转需旋转中心和旋转角,而平移需平移方向和平移距离
B.旋转和平移都只能改变图形的位置
C.旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化
D.旋转和平移的定义是相同的
3、从10点到10点40分,分针转过的角度为()
A.60°B.30°C.120°D.240°
4、下列说法不正确的是()
A.旋转后的图形与原来图形面积相4B.旋转后的图形改变了图形的大小
C.旋转不改变图形的大小D.旋转不改变图形的形状
5、如图l-3-60,△ABC是直角三角形,BC是斜边·将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,已知AP=3,则PP′的长度为()
A.3B.3
C.5
D.4
6、如图l-3-61,图形围绕自己的旋转中心最少需旋转()之后,能够与它自身相重合.
A.60○B.20○C.90○D.120○
当堂训练:
1、将长为5cm的线段,沿某一直线平移,所得线段长度与原线段()
A.相等。
B.大于C.小于D.不确定
2、如图1―3―58的图案中,可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是()
3、有以下现象:
①温度计中,液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④传送带上瓶装饮料的移动,其中属于平移的是()
A、①③B、①②C、②③D、②④
4、下列说法正确的是()
A.在平移过程中,对应线段,对应点所连的线段可能会在一条直线上
B.在平移过程中,对应线段,对应点所连的线段一定在一条直线上
C.在平移过程中,对应线段,对应点所连的线段一定不在一条直线上
D.平移后对应点所连的线段相等但不一定平行
5、下列说法正确的是()
A.平移前后两个图形对应点连线平行且相等B.平移前后对应线段不相等
C.平移前后对应角不一定相等D.平移前后大小可能改变
6、如图l-3-59,ΔA′B′C′是ΔABC平移而得到的,下列说法错误的是()
A.AB=A′B′B.∠A=∠A′
C.∠C=∠C′D、A′C′=BC
7、平移过程中,所得到的图形与原图形()
A.不等B.相同C.不完全相等D.无法判定
8、下列说法不正确的是()
A.旋转中心在旋转过程中是不动的
B.旋转形成的图形是由旋转中心和旋转角共同决定的
C.旋转不改变图形的形状和大小
D.旋转改变图形的形状但不改变大小
9、下列说法错误的是()
A.经过旋转,图形上的各点绕旋转中心沿相同方向转动的角度不同
B.经过旋转、图形上的每一点都要旋转中心沿相同方向转动相同的角度
C.经过旋转任意一对对应点与旋转中心的连线所欢的角都是旋转角
D.经过旋转、对应点到旋转中心距离相等
10、图1-3-63中的“笑脸”是图1-3-62逆时针旋转90○形成的是()
11、图1-3-64中的图形,是由基本图案多边形ABCDE旋转而成的,它的旋转角为()
A.30○B.60○C.90○D.150○
12、下列关于旋转和平移的说法正确的是()
A.旋转使图形的形状发生改变
B.由旋转得到的图形一定可以通过平移得到
C.平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小
D.对应点到旋转中心距离相等
13、将△
平移后,A点移到A1点,请作出平移后的图形△A1B1C1
A1
·
14、将△
平移后,AB移到DE点,请作出平移后的图形△DEF
15、将“F”按箭头方向移动3cm,作出平移后的图形
16、作出△ABC绕B点逆时针旋转60º后的图形。
17、如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为D。
试确定顶点B对应点的位置,以及旋转后的三角形。
(保留痕迹,不写作法)
18、请你作出四边形ABCD绕点O顺时针旋转60度后的图形。
(三)图形的轴对称
1.轴对称图形的定义
如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相_,那么这个图形叫做轴对称图形.
2.轴对称的定义
把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够和另一个图形重合,那么这两个图形关于直线对称,两个图形关于直线对称也称轴对称.这条直线叫做对称轴.
3.轴对称变换的基本性质
(1)对应点所连的线段被对称轴.
(2)对应线段相等,对应角相等.
4.轴对称和轴对称图形的区别
轴对称涉及两个图形,是两个图形的位置关系;轴对称图形是对一个图形本身而言的.
5.镜面对称原理
(1)镜中的像与原来的物体_轴对称______.
(2)镜子中的像改变了原来物体的左右位置,即像与物体左右位置互换.
(四)中心对称图形和中心对称
1.在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,能与原来的图形重合,这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心,旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点.
2.在平面内,一个图形绕某一定点旋转180°,它能够与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点成中心对称,这个点叫做对称中心,旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点.
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系
区别:
(1)中心对称是指两个图形的位置关系,而中心对称图形是指具有某种性质的一类图形;
(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上,而中心对称图形的对称点在同一个图形上.
例题精讲
例1.下列图形中,即是中心对称又是轴对称图形的是
A、等边三角形B、平行四边形C、梯形D、矩形
例2.正方形是轴对称图形,它的对称轴共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
例3.下列汽车标志中,可以看作是中心对称图形的是
例4.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
例5.、如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为
例6、如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2cm,点E在BC上,且AE=CE.若将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点B1重合,则AC=cm.
例7、(2012黑龙江省绥化市,22,6分)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点均在格点上,O、M也在格点上.
(1)画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90o后所得的△A2B2C2;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗?
如果是轴对称图形,请画出对称轴.
例8如图,下列网格中,每个小方格的边长都是1.
分别作出四边形
关于
轴、
轴、原点的对称图形;
求出四边形
的面积.
例9.(2011湖南永州3分)永州市新田县的龙家大院至今已有930多年历史,因该村拥有保存完好的“三堂九井二十四巷四十八栋”明清建筑,而申报为中国历史文化名村.如图是龙家大院的一个窗花图案,它具有很好的对称美,这个图案是由:
①正六边形;②正三角形;③等腰梯形;④直角梯形等几何图形构成,在这四种几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(只填序号).
针对性训练
1、下列图形中,是中心对称图形的是
2、下列图形是中心对称图形的是
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
4、在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是
A、直角三角形B、正五边形C、正方形D、等腰梯形
5、下列图形不是轴对称图形的是
6、如图,∠A=30°,∠C′=60°,△ABC与△A'B'C'关于直线
对称,则∠B=▲
7、如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为
A.3B.4C.5D.6
8、如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB、AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为
A、
B、2C、3D、4
9、每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形,梯形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)在平面直角坐标系中画出梯形ABCD关于直线AD的轴对称图形
;
(2)点P是y轴上一个动点,请直接写出所有满足△POA是等腰三角形的动点P的坐标.
拓展训练
1、如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长都是2cm,求两个正方形重叠部分的面积.
2、已知边长为1个单位的等边三角形ABC,
(1)将这个三角形绕它的顶点C按顺时针方向旋转30○作出这个图形;
(2)再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60○、90○、120○,作出这些图形.
3、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,请你用对称和旋转的知识回答下列问题:
(l)△ADE和△ADF关于直线AD对称吗?
为什么?
(2)把△BDE绕点D顺时针旋转160○后能否与△CDF重合?
为什么?
(3)把△BDE绕点D旋转多少度后,此时的△BDE和△CDF关于直线BC对称?
4、如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=4,将ABC沿射线CB方向平移到△A′B′C′的位置.
(1)若平移距离为3,求ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积;
(2)若平移距离为x(0≤x≤4),求△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积y与x的关系式.
5、把两个等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起,(如图①)三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合,现将三角板EFG绕O点旋转(旋转角
满足条件:
0°<
<90°,则在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系?
四边形CHGK的面积有什么变化?
试说明你的结论.
①②
6、如图,设P是等边△ABC内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,求
的度数.
7、已知△ABC中,AD⊥BC与D、E为BC的中点,且∠BAE=∠EAD=∠CAD,求∠BAC的度数.
8、若△ABC中,∠A=90°,AB=5,AC=12,自A分别向∠ABC,∠ACB的平分线引垂线AD,AE,D、E为垂足,求DE的长.
9、如图,延长△ABC的一边到D,使得CD=BC.自B作BC的垂线交DA的延长线于E,若AD=3AE,判断△ABC的形状.
10、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=8,D为BC上的一点,过D作DF⊥BC,交AB于F,交CA的延长线于E,求DE+DF的长.
11、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=12°,∠DBC=36°,∠ACB=48°,∠ACD=24°,求∠ADB的度数.
12、如图,在△ABC中∠A=2∠B,CD平分∠ACB,设BC=a,AC=b,求AD的长.
13、等腰梯形的两条对角线相互垂直,一条对角线的长度是5cm,求梯形的面积.
14、如图,ABCDE为五边形,AD是一条对角线,若∠ADC>∠EAD,∠DAB<∠EDA.试比较AB+BC+CD与AE+ED的大小,并说明你的结论.
15、如图,甲、乙两个单位分别位于一条封闭街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问:
(1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?
注意,桥必须与街道垂直.
(2)桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等?
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