中考数学一轮复习尺规作图专项练习题.docx
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中考数学一轮复习尺规作图专项练习题
中考一轮复习:
尺规作图专项练习题
1.请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:
∠α,直线 l 及 l 上两点 A,B.
求作:
ABC,使点 C 在直线 l 的上方,且∠ABC=90°,∠BAC=∠α.
2.如图,在△ABC 中,点 D 是 AB 边上的一点.
(
(
)请用尺规作图法,在 ABC 内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,DE 交 AC 于 E; 不
要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在
(1)的条件下,若=2,求的值.
3.已知:
AC 是 ABCD 的对角线.
(1)用直尺和圆规作出线段 AC 的垂直平分线,与 AD 相交于点 E,连接 CE.(保留作
图痕迹,不写作法);
(2)在
(1)的条件下,若 AB=3,BC=
,求DCE 的周长.
4.如图,已知等腰△ABC 顶角∠A=36°.
(1)在 AC 上作一点 D,使 AD=BD(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和
证明,最后用黑色墨水笔加墨);
(
)求证:
BCD 是等腰三角形.
5.如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上.
(1)尺规作图:
作∠BAC 的平分线,与⊙O 交于点 D;连接 OD,交 BC 于点 E(不写
;
作法,只保留作图痕迹,且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)
(2)探究 OE 与 AC 的位置及数量关系,并证明你的结论.
6.如图,在
ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3.
(1)尺规作图:
不写作法,保留作图痕迹.
①作∠ACB 的平分线,交斜边 AB 于点 D;
②过点 D 作 BC 的垂线,垂足为点 E.
(2)在
(1)作出的图形中,求 DE 的长.
7.在 5×3 的方格纸中,△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)在图 1 中画出线段 BD,使 BD∥AC,其中 D 是格点;
(2)在图 2 中画出线段 BE,使 BE⊥AC,其中 E 是格点.
8.【阅读理解】
用 10cm×20cm 的矩形瓷砖,可拼得一些长度不同但宽度均为 20cm 的图案.已知长度为
10cm、20cm、30cm 的所有图案如下:
【尝试操作】
如图,将小方格的边长看作 10cm,请在方格纸中画出长度为 40cm 的所有图案.
【归纳发现】
观察以上结果,探究图案个数与图案长度之间的关系,将下表补充完整.
图案的长度
所有不同图案的个数
10cm
1
20cm
2
30cm
3
40cm 50cm 60cm
9.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的高.请用尺规作图法,求作△ABC 的外
接圆.(保留作图痕迹,不写作法)
10.已知:
∠AOB.
求作:
∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.
作法:
①以 O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA,OB 于点 C,D;
②画一条射线 O′A′,以点 O′为圆心,OC 长为半径画弧,交 O′A′于点 C′;
③以点 C′为圆心,CD 长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点 D′;
④过点 D′画射线 O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.
根据上面的作法,完成以下问题:
(1)使用直尺和圆规,作出∠A′O′B′(请保留作图痕迹).
(2)完成下面证明∠A′O′B′=∠AOB 的过程(注:
括号里填写推理的依据).
证明:
由作法可知 O′C′=OC,O′D′=OD,D′C′=,
∴
′O′
′≌COD()
∴∠A′O′B′=∠AOB.()
11.如图,点 M 和点 N 在∠AOB 内部.
(1)请你作出点 P,使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等,且到∠AOB 两边的距离也相等
(保留作图痕迹,不写作法);
(2)请说明作图理由.
12.按要求解答下列各题:
(1)如图①,求作一点 P,使点 P 到∠ABC 的两边的距离相等,且在△ABC 的边 AC
;
上.(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)如图②,B、C 表示两个港口,港口 C 在港口 B 的正东方向上.海上有一小岛 A 在
港口 B 的北偏东 60°方向上,且在港口 C 的北偏西 45°方向上.测得 AB=40 海里,求
小岛 A 与港口 C 之间的距离.(结果可保留根号)
:
13.尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法)
如图,已知△ABC,请根据“SAS”基本事实作出△DEF,使△DEF≌△ABC.
14.如图,⊙O 的直径 AB=10,弦 AC=8,连接 BC.
(1)尺规作图:
作弦 CD,使 CD=BC(点 D 不与 B 重合),连接 AD;(保留作图痕迹,
不写作法)
(2)在
(1)所作的图中,求四边形 ABCD 的周长.
15.如图,四边形 ABCD 是矩形.
(1)用尺规作线段 AC 的垂直平分线,交 AB 于点 E,交 CD 于点 F(不写作法,保留作
图痕迹);
(2)若 BC=4,∠BAC=30°,求 BE 的长.
.已知:
在ABC 中,AB=AC.
(
)求作:
ABC 的外接圆.(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(
)若ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4,BC=6,则 S⊙O=.
17.如图,AD 是△ABC 的角平分线.
(1)作线段 AD 的垂直平分线 EF,分别交 AB、AC 于点 E、F;(用直尺和圆规作图,
标明字母,保留作图痕迹,不写作法.)
(2)连接 DE、DF,四边形 AEDF 是形.(直接写出答案)
.如图,ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=8.
(1)用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)若
(1)中所作的垂直平分线交 BC 于点 D,求 BD 的长.
19.尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法)
如图,已知∠α 和线段
,求作ABC,使∠A=∠α,∠C=90°,AB=a.
20.如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,E 为 AB 的中点,请仅用无刻度的直
尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).
(1)在图 1 中,画出△ABD 的 BD 边上的中线;
(2)在图 2 中,若 BA=
,画出ABD 的 AD 边上的高.
21.已知:
如图,∠ABC,射线 BC 上一点 D.
求作:
等腰△PBD,使线段 BD 为等腰△PBD 的底边,点 P 在∠ABC 内部,且点 P 到∠
ABC 两边的距离相等.
22.图①、图②、图③均是 6×6 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方
形的边长为 1,点 A、B、C、D、E、F 均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻
度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.
(1)在图①中以线段 AB 为边画一个△ABM,使其面积为 6.
(2)在图②中以线段 CD 为边画一个△CDN,使其面积为 6.
(3)在图③中以线段 EF 为边画一个四边形 EFGH,使其面积为 9,且∠EFG=90°.
23.图①,图②均为 4×4 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.在图①中已画
出线段 AB,在图②中已画出线段 CD,其中 A、B、C、D 均为格点,按下列要求画图:
(1)在图①中,以 AB 为对角线画一个菱形 AEBF,且 E,F 为格点;
(2)在图②中,以 CD 为对角线画一个对边不相等的四边形 CGDH,且 G,H 为格点,
∠CGD=∠CHD=90°.
24.在 6×6 的方格纸中,点 A,B,C 都在格点上,按要求画图:
(1)在图 1 中找一个格点 D,使以点 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形.
(2)在图 2 中仅用无刻度的直尺,把线段 AB 三等分(保留画图痕迹,不写画法).
25.如图,在 7×5 的方格纸 ABCD 中,请按要求画图,且所画格点三角形与格点四边形的
顶点均不与点 A,B,C,D 重合.
(1)在图 1 中画一个格点△EFG,使点 E,F,G 分别落在边 AB,BC,CD 上,且∠EFG
=90°.
(2)在图 2 中画一个格点四边形 MNPQ,使点 M,N,P,Q 分别落在边 AB,BC,CD,
DA 上,且 MP=NQ.
中考一轮复习:
尺规作图专项练习题
参考答案与试题解析
1.请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:
∠α,直线 l 及 l 上两点 A,B.
求作:
ABC,使点 C 在直线 l 的上方,且∠ABC=90°,∠BAC=∠α.
【分析】先作∠DAB=α,再过 B 点作 BE⊥AB,则 AD 与 BE 的交点为 C 点.
【解答】解:
如图,△ABC 为所作.
2.如图,在△ABC 中,点 D 是 AB 边上的一点.
(
(
)请用尺规作图法,在 ABC 内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,DE 交 AC 于 E; 不
要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在
(1)的条件下,若=2,求的值.
【分析】
(1)利用基本作图(作一个角等于已知角)作出∠ADE=∠B;
(2)先利用作法得到∠ADE=∠B,则可判断 DE∥BC,然后根据平行线分线段成比例
定理求解.
【解答】解:
(1)如图,∠ADE 为所作;
(2)∵∠ADE=∠B
∴DE∥BC,
∴==2.
3.已知:
AC 是 ABCD 的对角线.
(1)用直尺和圆规作出线段 AC 的垂直平分线,与 AD 相交于点 E,连接 CE.(保留作
图痕迹,不写作法);
(2)在
(1)的条件下,若 AB=3,BC=
,求DCE 的周长.
【分析】
(1)利用基本作图作 AC 的垂直平分线得到 E 点;
(2)利用平行四边形的性质得到 AD=BC=5,CD=AB=3,再根据线段垂直平分线上
的性质得到 EA=
,然后利用等线段代换计算DCE 的周长.
【解答】解:
(1)如图,CE 为所作;
(2)∵四边形 ABCD 为平行四边形,
∴AD=BC=5,CD=AB=3,
∵点 E 在线段 AC 的垂直平分线上,
∴EA=EC,
∴△DCE 的周长=CE+DE+CD=EA+DE+CD=AD+CD=5+3=8.
4.如图,已知等腰△ABC 顶角∠A=36°.
(1)在 AC 上作一点 D,使 AD=BD(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和
证明,最后用黑色墨水笔加墨);
(
)求证:
BCD 是等腰三角形.
【分析】
(1)作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D;
(2)利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ ABC=∠C=72°,再利用 DA=
DB 得到∠ABD=∠A=36°,所以∠BDC=
°,从而可判断BCD 是等腰三角形.
【解答】
(1)解:
如图,点 D 为所作;
(2)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C= (180°﹣36°)=72°,
∵DA=DB,
∴∠ABD=∠A=36°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°,
∴∠BDC=∠C,
∴△BCD 是等腰三角形.
5.如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上.
(1)尺规作图:
作∠BAC 的平分线,与⊙O 交于点 D;连接 OD,交 BC 于点 E(不写
;
作法,只保留作图痕迹,且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)
(2)探究 OE 与 AC 的位置及数量关系,并证明你的结论.
【分析】
(1)利用基本作图作 AD 平分∠BAC,然后连接 OD 得到点 E;
(2)由 AD 平分∠BAC 得到∠BAD= ∠BAC,由圆周角定理得到∠BAD= ∠BOD,
则∠BOD=∠BAC,再证明 OE 为△ABC 的中位线,从而得到 OE∥AC,OE=AC.
【解答】解:
(1)如图所示;
(2)OE∥AC,OE= AC.
理由如下:
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD= ∠BAC,
∵∠BAD= ∠BOD,
∴∠BOD=∠BAC,
∴OE∥AC,
∵OA=OB,
∴OE 为△ABC 的中位线,
∴OE∥AC,OE= AC.
6.如图,在
ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3.
(1)尺规作图:
不写作法,保留作图痕迹.
①作∠ACB 的平分线,交斜边 AB 于点 D;
②过点 D 作 BC 的垂线,垂足为点 E.
(2)在
(1)作出的图形中,求 DE 的长.
【分析】
(1)利用基本作图,先画出 CD 平分∠ACB,然后作 DE⊥BC 于 E;
(2)利用 CD 平分∠ACB 得到∠BCD=
°,再判断CDE 为等腰直角三角形,所以
DE=
,然后证明BDE∽△BAC,从而利用相似比计算出 DE.
【解答】解:
(1)如图,DE 为所作;
(2)∵CD 平分∠ACB,
∴∠BCD= ∠ACB=45°,
∵DE⊥BC,
∴△CDE 为等腰直角三角形,
∴DE=CE,
∵DE∥AC,
∴△BDE∽△BAC,
∴=,即=,
∴DE= .
7.在 5×3 的方格纸中,△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)在图 1 中画出线段 BD,使 BD∥AC,其中 D 是格点;
(2)在图 2 中画出线段 BE,使 BE⊥AC,其中 E 是格点.
【分析】
(1)将线段 AC 沿着 AB 方向平移 2 个单位,即可得到线段 BD;
(2)利用 2×3 的长方形的对角线,即可得到线段 BE⊥AC.
【解答】解:
(1)如图所示,线段 BD 即为所求;
(2)如图所示,线段 BE 即为所求.
8.【阅读理解】
用 10cm×20cm 的矩形瓷砖,可拼得一些长度不同但宽度均为 20cm 的图案.已知长度为
10cm、20cm、30cm 的所有图案如下:
【尝试操作】
如图,将小方格的边长看作 10cm,请在方格纸中画出长度为 40cm 的所有图案.
【归纳发现】
观察以上结果,探究图案个数与图案长度之间的关系,将下表补充完整.
图案的长度
所有不同图案的个数
10cm
1
20cm
2
30cm
3
40cm
5
50cm
8
60cm
13
【分析】根据已知条件作图可知 40cm 时,所有图案个数 5 个;猜想得到结论;
【解答】解:
如图
根据作图可知 40cm 时,所有图案个数 5 个
50cm 时,所有图案个数 8 个;
60cm 时,所有图案个数 13 个;
故答案为 5,8,13;
9.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的高.请用尺规作图法,求作△ABC 的外
接圆.(保留作图痕迹,不写作法)
【分析】作线段 AB 的垂直平分线,交 AD 于点 O,以 O 为圆心,OB 为半径作⊙O,⊙O
即为所求.
【解答】解:
如图所示:
⊙O 即为所求.
10.已知:
∠AOB.
求作:
∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.
作法:
①以 O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA,OB 于点 C,D;
②画一条射线 O′A′,以点 O′为圆心,OC 长为半径画弧,交 O′A′于点 C′;
③以点 C′为圆心,CD 长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点 D′;
④过点 D′画射线 O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.
根据上面的作法,完成以下问题:
(1)使用直尺和圆规,作出∠A′O′B′(请保留作图痕迹).
(2)完成下面证明∠A′O′B′=∠AOB 的过程(注:
括号里填写推理的依据).
证明:
由作法可知 O′C′=OC,O′D′=OD,D′C′=DC,
∴
′O′
′≌COD(SSS)
∴∠A′O′B′=∠AOB.(全等三角形的对应角相等)
【分析】
(1)根据题意作出图形即可;
(2)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论.
【解答】解:
(1)如图所示,∠A′O′B′即为所求;
(2)证明:
由作法可知 O′C′=OC,O′D′=OD,D′C′=DC,
∴
′O′
′≌COD(SSS)
∴∠A′O′B′=∠AOB.(全等三角形的对应角相等)
故答案为:
DC,SSS,全等三角形的对应角相等.
11.如图,点 M 和点 N 在∠AOB 内部.
(1)请你作出点 P,使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等,且到∠AOB 两边的距离也相等
(保留作图痕迹,不写作法);
(2)请说明作图理由.
【分析】
(1)根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图;
(2)根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答.
【解答】解:
(1)如图,点 P 到点 M 和点 N 的距离相等,且到∠AOB 两边的距离也相
等;
(2)理由:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点
的距离相等.
12.按要求解答下列各题:
(1)如图①,求作一点 P,使点 P 到∠ABC 的两边的距离相等,且在△ABC 的边 AC
;
上.(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)如图②,B、C 表示两个港口,港口 C 在港口 B 的正东方向上.海上有一小岛 A 在
港口 B 的北偏东 60°方向上,且在港口 C 的北偏西 45°方向上.测得 AB=40 海里,求
小岛 A 与港口 C 之间的距离.(结果可保留根号)
【分析】
(1)利用尺规作∠BAC 的角平分线交 AC 于点 P,点 P 即为所求.
(2)作 AD⊥BC 于 D.解直角三角形求出 AD,再利用等腰直角三角形的性质即可解决
问题.
【解答】解:
(1)如图,点 P 即为所求.
(2)作 AD⊥BC 于 D.
在
ABD 中,∵AB=40 海里,∠ABD=30°,
∴AD= AB=20(海里),
∵∠ACD=45°,
∴AC=AD=20(海里).
答:
小岛 A 与港口 C 之间的距离为 20
海里.
:
13.尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法)
如图,已知△ABC,请根据“SAS”基本事实作出△DEF,使△DEF≌△ABC.
【分析】先作一个∠D=∠A,然后在∠D 的两边分别截取 ED=BA,DF=AC,连接 EF
即可得到△DEF;
【解答】解:
如图,
△DEF 即为所求.
14.如图,⊙O 的直径 AB=10,弦 AC=8,连接 BC.
(1)尺规作图:
作弦 CD,使 CD=BC(点 D 不与 B 重合),连接 AD;(保留作图痕迹,
不写作法)
(2)在
(1)所作的图中,求四边形 ABCD 的周长.
【分析】
(1)以 C 为圆心,CB 为半径画弧,交⊙O 于 D,线段 CD 即为所求.
(2)连接 BD,OC 交于点 E,设 OE=x,构建方程求出 x 即可解决问题.
【解答】解:
(1)如图,线段 CD 即为所求.
(2)连接 BD,OC 交于点 E,设 OE=x.
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC=
= =6,
∵BC=CD,
∴=,
∴OC⊥BD 于 E.
∴BE=DE,
∵BE2=BC2﹣EC2=OB2﹣OE2,
∴62﹣(5﹣x)2=52﹣x2,
解得 x= ,
∵BE=DE,BO=OA,
∴AD=2OE=,
∴四边形 ABCD 的周长=6+6+10+
15.如图,四边形 ABCD 是矩形.
= .
(1)用尺规作线段 AC 的垂直平分线,交 AB 于点 E,交 CD 于点 F(不写作法,保留作
图痕迹);
(2)若 BC=4,∠BAC=30°,求 BE 的长.
【分析】
(1)根据线段的垂直平分线的作图解答即可;
(2)利用含 30°的直角三角形的性质解答即可.
【解答】解:
(1)如图所示:
(2)∵四边形 ABCD 是矩形,EF 是线段 AC 的垂直平分线,
∴AE=EC,∠CAB=∠ACE=30°,
∴∠ACB=60°,
∴∠ECB=30°,
∵BC=4,
∴BE=.
.已知:
在ABC 中,AB=AC.
(
)求作:
ABC 的外接圆.(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(
)若ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4,BC=6,则 S⊙O=25π.
【分析】
(1)作线段 AB,BC 的垂直平分线,两线交于点 O,以 O 为圆心,OB 为半径
作⊙O,⊙O 即为所求.
(2)在
OBE 中,利用勾股定理求出 OB 即可解决问题.
【解答】解:
(1)如图⊙O 即为所求.
(2)设线段 BC 的垂直平分线交 BC 于点 E.
由题意 OE=4,BE=EC=3,
在
OBE 中,OB=
=5,
∴S 圆O=π•52=25π.
故答案为 25π.
17.如图,AD 是△ABC 的角平分线.
(1)作线段 AD 的垂直平分线 EF,分别交 AB、AC 于点 E、F;(用直尺和圆规作图,
标明字母,保留作图痕迹,不写作法.)
(2)连接 DE、DF,四边形 AEDF 是菱形.(直接写出答案)
【分析】
(1)利用尺规作线段 AD 的垂直平分线即可.
(2)根据四边相等的四边形是菱形即可证明.
【解答】解:
(1)如图,直线 EF 即为所求.
(2)∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠AOE=∠AOF=90°,AO=AO,
∴△AOE≌△AOF(ASA),
∴AE=AF,
∵EF 垂直平分线段 AD,
∴EA=ED,FA=FD,
∴EA=ED=DF=AF,
∴四边形 AEDF 是菱形.
故答案为菱.
.如图,ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=8.
(1)用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)若
(1)中所作的垂直平分线交 BC 于点 D,求 BD 的长.
【分析】
(1)分别以 A,B 为圆心,大于 AB 为半径画弧,两弧交于点 M,N,作直线
MN 即可.
(2)设 AD=BD=x,在
ACD 中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.
【解答】解:
(1)如图直线 MN 即为所求.
(2)∵MN 垂直平分线段 AB,
∴DA=DB,设 DA=DB=x,
在
ACD 中,∵AD2=AC2+CD2,
∴x2=42+(8﹣x)2,
解得 x=5,
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